5.3.4利用导数研究二次函数（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

5.3 导数的应用 第五章 导数及其应用 5.3.4 利用导数研究二次函数 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 3 能利用导数解决二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的相关问题. 进一步理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，感受数学的整体性. 体会应用导数工具研究函数性质的优越性. 复习回顾 1 导数与函数的最值 求函数最值的步骤 一般的，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 2. 将所求的各函数值与f(a)，f(b)(端点处) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 1. 求f(x)在区间(a,b)内驻点所对应的函数值； 导数为研究函数的单调性、极值与最值提供了有力的工具. 利用这一工具，我们可以对熟悉的二次函数y = ax2+bx+c (a ≠ 0) 进行回顾和再认识. 以下仅讨论a > 0的情况，a < 0 的情况也可以用类似的方法获得相应的结果 . 2 探究新知 思考：如何利用导数求二次函数的单调区间和极值？ 可以利用导数的正负来判断函数 y = ax2+bx+c (a > 0) 的单调性，并求出它的极值 . x y O 2 探究新知 记f (x)=ax2+bx+c (a > 0) . 对该函数求导，得 f (x)=2ax+b， 令 f (x)=0 ，解得函数有唯一驻点 x0 = － ，可以列表如下： x f (x) f (x) (－∞, － ) － (－ , +∞) － 0 + ↓ 极小值 ↑ 故函数y=f (x)的单调减区间为(－∞, － ), 单调增区间为(－ , +∞) . 函数y=f (x)在 x0 = － 处取得极小值f (－ ) = . 这个极小值也是该函数在R上的最小值. 2 探究新知 记f (x)=ax2+bx+c (a > 0) . 求该函数的零点，就是求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a > 0)的实根. 令△=b2－4ac，则： a > 0 ax2+bx+c=0 的根/ y=ax2+bx+c的零点 △> 0 △= 0 △< 0 思考：如何利用导数求二次不等式？ 无实根/无零点 2 探究新知 记f (x)=ax2+bx+c (a > 0) ，解不等式ax2+bx+c≥0 (a > 0)： (1)当△> 0时，比较函数零点与驻点的大小关系，有 思考：如何利用导数求二次不等式？ x y O x0 x1 x2 因为 y=f (x)在区间(−∞, x0 )上严格减，所以 当x∈(−∞, x1)时，f (x) > f(x1)=0； 当x∈(x1, x0)时，f (x) < f(x1)=0 . 2 探究新知 x y O x0 x1 x2 同样地，因为y=f (x)在区间( x0, +∞)上严格增，所以 当x∈( x0, x2)时，f (x) < f(x2)= 0； 当x∈(x2, +∞)时，f (x) > f(x2)= 0. 此外，f(x1) = f(x2) = 0，f(x0) = < 0. 因此，该不等式的解集为(−∞ , x1]∪[x2 , +∞)， 即 2 探究新知 x y O x1 (x2) 由函数单调性可知，当x∈(−∞, +∞)时， 均有f (x) ≥ f(x0) = f(x1) = f(x2) = 0. 因此，该不等式的解集为R . (2)当△= 0时，有 ， x0 x y O (3)当△< 0时，由函数单调性可知，当x∈(−∞,+∞)时， 均有f (x) ≥ f(x0) = f(－ ) = > 0. 因此，该不等式的解集为R . 2 探究新知 综合以上分析可得： a > 0 不等式ax2+bx+c≥0 的解集 △> 0 △= 0 △< 0 R R 知道了函数的单调性和零点，相应的不等式问题就迎刃而解了. 思考：类似地，你可以利用导数研究二次函数 y = ax2+bx+c (a < 0)的相关性质吗？ 课堂小结 利用导数研究二次函数 6 利用导数确定一元二次函数的单调性，求出一元二次函数的零点，结合单调性写出一元二次不等式的解集 . 素养方法 逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽象. 补充强化练 7 D 补充强化练 7 [－7,－3] 补充强化练 7 C 补充强化练 7 C 补充强化练 7 补充强化练 7 补充强化练 7 补充强化练 7 感谢聆听! 沪教版选择性必修第二册·高二 分析： 抛物线的对称轴，此即. 1．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 分析： 因为，令得， 令得，所以在上单调递增， 令得，所以在上单调递减， 所以，， 所以的值域为. 2．函数在区间的值域为 ． 分析： ，令，得， ∵在区间上的最大值就是函数的大值， 则必有，所以. 3．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 分析：由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a． ①当a＝0时，f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符，舍去； ②当a>0时，f(x)在[－1，2]上递增，f(x)max＝f(2)＝8a＋1＝4，解得； ③当a<0时，f(x)在[－1，2]上递减，f(x)max＝f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3． 综上可知，a的值为或－3． 4．若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a = (    ) A． B．－3 C．或－3 D．4 解：(1)当时，，， ， 因为，， 所以当时，解得，当时，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 5．已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数在区间上的最小值. 解：(2)函数的定义域为， ，， 令，得或（舍）， 当，即时， 当时，，则在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 5．已知函数，其中． (2)当时，函数在区间上的最小值. 当，即时， 当时，，则在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 5．已知函数，其中． (2)当时，函数在区间上的最小值. 当，即时， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在区间上的最小值为， 综上. 5．已知函数，其中． (2)当时，函数在区间上的最小值. $