5.3.3利用导数研究函数的最值（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

5.3 导数的应用 第五章 导数及其应用 5.3.3 利用导数研究函数的最值 学 习 目 标 1 2 3 能结合函数图像，从图形直观的角度，对驻点处与区间两端点处的函数值进行比较. 掌握用导数求给定闭区间上函数的最大值、最小值的一般方法. 能举例说明函数的极值、最值的关系. 导数与函数的极值 定理 设点x=x0是函数y=f(x)的驻点. (1)若在点x0的左侧附近有f ′(x)>0，而在的右侧附近有f ′(x)<0，则函数 y=f(x)在x0处取得极大值； (2)若在点x0的左侧附近有f ′(x)<0，而在的右侧附近有f ′(x)>0，则函数在处取得极小值. 复习回顾 1 x y O x0 f ′(x)>0 f ′(x)<0 极大值f(x0) x y O x0 f ′(x)<0 f ′(x)>0 极小值f(x0) 求函数y=f(x)的单调性及极值的步骤： 1. 求函数f(x)的定义域，x∈ _______； 2. 对函数求导， f (x)=_______； 3. 求函数f(x)的驻点：令f (x)=0，解得x= _______； 4. 列表写出驻点两侧导数f '(x)的正负变化，得出f '(x)符号，及f (x)在定义域内的单调性，先增后减有极大值，先减后增有极小值； 5. 下结论. x f (x) f (x) x1 (x1, x2) x2 0 － 0 极大值 ↓ 极小值 (a, x1) (x2, b) + ↑ + ↑ 复习回顾 1 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点 . 2 探究新知 极值仅考虑函数在某点附近的局部特征，最值反映了函数在定义域上整体的情况. 函数的最大值和最小值统称为最值 . 思考：函数在什么条件下一定有最值? 它们与函数极值的关系如何？ 极大值：f(x1)，f(x3)，f(x5) 极小值：f(x2)，f(x4)，f(x6) 2 探究新知 最大值：f(b) 探究：观察函数f(x)在区间[a , b]上的极值和最值. 最小值：f(x4) 追问1：函数f(x)在区间(a , b)上是否有最值？ 只有最小值，为f(x4)，没有最大值. 2 探究新知 追问2：通过刚才得探究，你有哪些发现？ 在开区间(a,b)内的连续函数f(x)不一定有最大值与最小值，但在闭区间[a,b]上的连续函数必有最值. 有时最值和极值是一致的，(如函数y=sinx)，但有时不一致. 3 新知讲授 一般的，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 思考：如何求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值？ 2. 将所求的各函数值与f(a)，f(b)(端点处) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 1. 求f(x)在区间(a,b)内驻点所对应的函数值； 为什么只要比较这几个点的函数值(甚至不必分析驻点是不是极值点)，就可以求出最值？ 3 新知讲授 思考：最值与极值有什么区别和联系？ 1. 极大(小)值是函数的局部性质，最大（小）值是函数的整体性质； 2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值是唯一的； 3.函数的极大值不一定大于极小值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外). 4.函数的极大(小)值不能在区间(定义域)端点取到，而函数最大（小）值可以在端点取到. 例9 已知 f (x)=－x2+6x－1，求函数y=f (x)在区间[0,7]上的最大值与最小值. 解：对函数求导，得 f (x)=－2x+6， 令 f (x)=0 ，解得 x = 3 ， 从而 x = 3为函数y=f (x)的唯一驻点 . ∵f (3)=8，f (0)=－1，f (7)=－8， ∴f (3)>f (0)>f (7) . 4 举例应用 因此，函数 y=f (x) 在区间[0,7]上的最大值是8， 最小值是－8，如图所示. 例9 已知 f (x) = x3－x+2，求函数y=f (x)在区间[0,3]上的最大值与最小值. 解：对函数求导，得 f (x)=x2－1. 令 f (x)=0 ，解得两个驻点x1 = －1，x2 = . 由于驻点x1 = －1不在区间[0,3]内， 又∵f (1)= ，f (0)=2，f (3)=8， ∴f (3)>f (0)>f (1) . 4 举例应用 因此，函数 y=f (x) 在区间[0,3]上的最大值是8，最小值是 . 5 巩固练习 判断下列说法是否正确，并说明理由： (1) 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值； (2) 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值； (3) 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值； (4) 函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 1 ❌ √ ❌ ❌ 5 巩固练习 求函数y=x2－6x+5，x∈[1, 4]的值域 . 2 解：记f (x)=x2－6x+5，对函数求导，得 f (x)=2x－6. 令 f (x)=0 ，解得函数f (x)的驻点x = 3 . ∵f (3)=－4，f (1)=0，f (4)=－3， ∴f (1)>f (4)>f (3) ， ∴函数 f (x) 在区间[1, 4]上的最大值是0，最小值是－4. ∴函数y=x2－6x+5，x∈[1, 4]的值域为[－4, 0] . 5 巩固练习 求函数y=x3－3x在区间[－ , 0]上的最大值与最小值. 3 解：记f (x)=x3－3x，对函数求导，得 f (x)=3x2－3. 令 f (x)=0 ，解得两个驻点x1 = －1，x2 = . 由于驻点x2 = 1不在区间[－ , 0]内， 又∵f (－1)=2，f (－ )= ，f (0)=0， ∴f (－1)>f (－)>f (0) ， ∴函数 f (x) 在区间[－ , 0]上的最大值是2，最小值是0. 课堂小结 导数与函数的最值 求函数最值的步骤 6 一般的，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 2. 将所求的各函数值与f(a)，f(b)(端点处) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 1. 求f(x)在区间(a,b)内驻点所对应的函数值； 补充强化练 7 1．(多选)若函数f (x)=x3－3x+3，则（     ） A．f (x)在(－1,1)上单调递减 B．f (x)有且仅有两个极值点 C．f (x)只有一个零点 D．当x∈[0, 2]时，的值域为[3, 4] ABC 补充强化练 7 补充强化练 7 2．已知函数f(x)=x + . (1) 证明函数f(x)在(1,+)上单调递增； (2) 求函数f(x)在区间[3,6]上的最大值和最小值． 感谢聆听!