精品解析：安徽省阜阳市临泉县城关街道张营文坛九年制学校2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

文坛学校2025-2026学年九年级（上）1月月考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，一元二次方程的定义，解不等式，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根． 根据题意可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故选：D． 2. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （﹣2，5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （2，﹣5） 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可. 【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5， ∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等． 3. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）． A. 168（1+x）2=128 B. 168（1﹣x）2=128 C. 168（1﹣2x）=128 D. 168（1﹣x2）=128 【答案】B 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 4. 已知二次函数（）的图象开口向下，并且经过、两点，则下列结论正确的是（） A. 当时，随的增大而增大 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象开口向下和点的坐标，可得对称轴在y轴的左侧，再根据增减性判断即可． 【详解】解：二次函数（）的图象开口向下，经过、两点， 对称轴在y轴的左侧，即， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 则当时，随的增大而减小，选项B符合题意． 故选：B． 5. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解题的关键，一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式，可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， ， 得， 故选：． 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上9，然后利用完全平方公式把方程左边写成完全平方式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：A． 7. 某中学组织九年级学生进行篮球比赛，采用单循环制（每两队之间都赛一场），若共安排了场比赛，则参赛的队伍有（ ） A. 8支 B. 9支 C. 10支 D. 11支 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键，单循环比赛的总场次公式为，其中为队伍数，根据总场次是，列方程求解即可． 【详解】解：设参赛队伍有支，则总比赛场数为， 由得， ， 或， ，（舍）， 参赛的队伍有支， 故选：C． 8. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 0 3 4 3 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在和之间（包含端点） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法求二次函数表达式，解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据二次函数与的部分对应值表，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的图象与性质逐项判断各选项即可得到答案． 【详解】解：由二次函数的与的部分对应值表，可知抛物线过和， 设二次函数表达式为， 将代入可得，， 解得， 二次函数表达式为， A、由，可知抛物线开口向下，选项原说法错误，不符合题意； B、由，可知抛物线与轴交于正半轴，选项原说法错误，不符合题意； C、当时，，选项原说法错误，不符合题意； D、解方程，得，则方程的正根为，该值在和之间（包含端点），故选项说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为，用含的代数式表示、，由三角形的面积公式列方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动， ，，， ， 当时，， ， ， ，， 经检验，都符合的范围， 故选：． 10. 已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，且过点，则下列结论：① ；② ；③当时， 随的增大而增大；④ 抛物线过点 ；⑤ ．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象特征，掌握相关知识是解题的关键，由对称轴和与轴的一个交点坐标，根据对称性可得另一交点为，由此可知，再代入点和，可得，，得到抛物线解析式，再逐一判断各结论． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于， 另一交点关于对称，设为，则， 解得，即另一交点为， ，， 将，代入得： ， ， ， ①，故结论①错误； ②，故结论②正确； ③由，对称轴为直线，可知当时，随的增大而减小，故结论③错误； ④当时，，故结论④错误； ⑤，故结论⑤错误； 只有结论②正确， 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 方程x2=4x的解 __． 【答案】x=0或x=4 【解析】 【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解． 【详解】解：原方程变为 x2﹣4x=0 x（x﹣4）=0 解得x1=0，x2=4， 故答案为：x=0或x=4． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键. 12. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到的抛物线的解析式是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握相关知识是解题的关键，根据“左加右减”，向右平移个单位，可得，根据“上加下减”，向上平移个单位，可得． 【详解】， 向右平移个单位后解析式为：， 再向上平移个单位后解析式为：， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程 的两根分别为 ，，则 ______， ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键，根据一元二次方程根与系数的关系，可直接计算两根之和与两根之积． 【详解】解：， ， ，， 故答案为：，． 14. 已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与轴的交点关于对称轴对称，求出另一交点的坐标，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点的坐标为， 关于的方程的两个根为和． 故答案为：，． 三、计算题（共1小题，共8分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解： ． 四、解答题（共8小题，共82分） 16. 已知关于的方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰的一边，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）7或8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，等腰三角形的周长． （1）证明即可得到无论取任何实数，方程总有实数根； （2）先解方程得到或，再根据等腰分情况计算即可． 【小问1详解】 证明：， 无论取何值，， ∴， 无论取任何实数，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：． ， 或， ∵，两边长、恰好是这个方程的两个根， ∴的三边长为，，， ∴当时，等腰的为，，，此时周长； 当时，等腰的为，，，此时周长； 综上所述，的周长为7或8． 17. 已知二次函数 ． （1）用配方法将 化为 的形式； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）当 取何值时， 随 的增大而减小？ 【答案】（1） （2）开口向上，顶点 ，对称轴 （3）当时，随增大而减小 【解析】 【分析】（1）用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可； （2）根据的正负，以及顶点式特征，可得开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）根据二次函数图象特征，可得当时，随增大而减小． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，， 图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问3详解】 ，，对称轴直线， 当时，随增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数，掌握相关知识是解题的关键． 18. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 19. 在 中，，，，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分别从 、 同时出发，设运动时间为 （）． （1）用含 的代数式表示 、 的长度； （2）当 为何值时， 的面积等于 ？ （3）当 为何值时， 与 相似？ 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意知，由可得； （2）由，可得关于的一元二次方程，求解即可； （3）①，②，根据对应边成比例，可建立关于方程，求解即可． 【小问1详解】 由题意知：，， ； 【小问2详解】 ， ，即， ， 解得， ， ， 时， 的面积等于 ； 小问3详解】 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 或时，与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相关知识及分类讨论思想是解题的关键． 20. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，掌握相关知识是解题的关键． （1）将、、代入，可求出、、的值，进而可得抛物线的解析式； （2）将二次函数的一般式化为顶点式，可得点坐标，进而可求出的面积． 【小问1详解】 解：将、、代入得： ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，化简可得，得证； （2）运用十字相乘法解一元二次方程，得出两根后，分类讨论，再验证，可求出周长． 【小问1详解】 ， ， 无论取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 ， ， ，， ①当是腰时，另两边中有一边为，而已知一根为，故，，此时周长为， ②当是底时，则另两边相等，故方程的两根相等，即，因为，不符合三角形任意两边之和大于第三边，故舍去， 的周长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． 22. 某公司销售一种商品，成本为每件元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系，其部分数据如下表： 销售单价 （元） 25 30 35 日销售量 （件） 150 100 50 （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若公司要求日销售利润不低于元，求销售单价的取值范围． 【答案】（1） （2）当销售单价为元时，日销售利润最大，最大利润是元． （3）不存在，见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为元，根据题意得，； （3）根据（2）问可知，日销售利润最大是元，日销售利润不低于元不可能存在． 【小问1详解】 解：设一次函数关系式为． 因为点，在一次函数图象上， 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设日销售利润为元． 根据题意得，即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，当销售单价为元时，日销售利润最大，最大利润是元． 小问3详解】 解：根据（2）问可知，日销售利润最大是元，日销售利润不低于元不可能存在，所以销售单价的取值范围不存在． 23. 已知抛物线 （）与 轴交于 、 两点，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一动点，且点在直线的下方，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，过点作 轴于点 ，交直线于点，点是抛物线上一动点，点是直线上一动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）面积最大为，此时 （3）存在，点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，将、、代入，求出、、的值，进而可求出抛物线的解析式； （2）过点作 轴于点 ，交直线于点，则，设点，则点，用含的代数式表示后，可求出面积，化为顶点式后即可求出面积最大值及点的坐标； （3）分是平行四边形的边与对角线两种情况考虑；设，用含的代数式表示后，根据平行四边形对边相等及对角线互相平分，建立关于的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：将、、代入得： ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作 轴于点 ，交直线于点， 则， ，点是抛物线上一动点， 设点， 设直线， 将点，代入得： ， ， ， 点， ， ， ， 时，取得最大值，此时， 面积的最大值为，此时； 【小问3详解】 解：由（2）可得，， ， 当点、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 若是四边形的边，则且， 设，则， ， 得， ①时，， ，， ，， ②时，， ，， ，， 若是平行四边形的对角线，则的中点为， 设，则， 则， 整理得：， 解得：，， ，， 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、铅垂法求三角形的面积、平行四边形存在性问题、抛物线与坐标轴的交点，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文坛学校2025-2026学年九年级（上）1月月考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （﹣2，5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （2，﹣5） 3. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）． A. 168（1+x）2=128 B. 168（1﹣x）2=128 C. 168（1﹣2x）=128 D. 168（1﹣x2）=128 4. 已知二次函数（）的图象开口向下，并且经过、两点，则下列结论正确的是（） A. 当时，随增大而增大 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 5. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 7. 某中学组织九年级学生进行篮球比赛，采用单循环制（每两队之间都赛一场），若共安排了场比赛，则参赛的队伍有（ ） A. 8支 B. 9支 C. 10支 D. 11支 8. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 0 3 4 3 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在和之间（包含端点） 9. 在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（ ） A. B. 或 C. D. 或 10. 已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，且过点，则下列结论：① ；② ；③当时， 随的增大而增大；④ 抛物线过点 ；⑤ ．其中正确的结论有（ ） A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 方程x2=4x的解 __． 12. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线的解析式是 ______． 13. 若关于的一元二次方程 的两根分别为 ，，则 ______， ______． 14. 已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 三、计算题（共1小题，共8分） 15. 解方程：． 四、解答题（共8小题，共82分） 16. 已知关于的方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰的一边，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 17 已知二次函数 ． （1）用配方法将 化为 的形式； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）当 取何值时， 随 的增大而减小？ 18. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 19. 在 中，，，，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分别从 、 同时出发，设运动时间为 （）． （1）用含 的代数式表示 、 的长度； （2）当 为何值时， 的面积等于 ？ （3）当 为何值时， 与 相似？ 20. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 22. 某公司销售一种商品，成本为每件元，经过市场调查发现，该商品日销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系，其部分数据如下表： 销售单价 （元） 25 30 35 日销售量 （件） 150 100 50 （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若公司要求日销售利润不低于元，求销售单价的取值范围． 23. 已知抛物线 （）与 轴交于 、 两点，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一动点，且点在直线的下方，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，过点作 轴于点 ，交直线于点，点是抛物线上一动点，点是直线上一动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $