第8章 实数能力提升自测卷-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

第8章 实数能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 5．已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 6．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数，0， 1，2，3，则表示数的点P应落在线段（　　） A．上 B．上 C．上 D．上 7．，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 10．对任何正实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，．对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫作一次操作．如对72进行如下操作：．这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是（   ） A．256 B．255 C．225 D．224 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是 ． 12．设的整数部分为，的整数部分为，则 ． 13．新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，， ， ， 运算（二）：，，， 利用以上规律计算： ． 14．若实数x，y，z满足，则的平方根为 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）（1）计算：；     （2）求的值：． 16．（8分）已知，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 17．（8分）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 18．（8分）根据物理学原理可知，用电器的电阻（单位：）、功率（单位：）与它两端的电压（单位：）之间有如下关系：．在一次物理实验中，博学小组测得某个电路中一个小灯泡的电阻为，功率为，求该灯泡两端的电压． 19．（8分）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 20．（8分）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 21．（8分）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 22．（10分）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 实数能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根． 【详解】解：A、是无理数，故该选项符合题意； B、是无限循环小数，属于有理数，故该选项不符合题意； C、是整数，属于有理数，故该选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的求解，根据算术平方根和立方根的定义分别判断各选项即可． 【详解】解：A、负数没有算术平方根，故错误； B、，原写法错误； C、，原写法错误； D、，正确， 故选：D． 4．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算． 通过确定的取值范围，再计算的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴的值在5和6之间． 故选：A． 5．已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B 6．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数，0， 1，2，3，则表示数的点P应落在线段（　　） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】C 【分析】此题主要考查的是实数的比较大小，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决此题的关键．先求出的取值范围，从而求出的取值范围，然后根据数轴即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 由数轴可知表示的点应落在线段上． 故选：C． 7．，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 8．若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，整式的加减． 根据题意得出，因此题干条件可化为，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 即， 故选：B． 9．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 10．对任何正实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，．对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫作一次操作．如对72进行如下操作：．这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是（   ） A．256 B．255 C．225 D．224 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、估算无理数的大小的应用，根据表示不超过a的最大整数，对各选项进行操作，找出只需进行3次操作变为1的最大整数即可解答． 【详解】解：A、256第一次操作，第二次操作，第三次操作，第四次操作， ∴256需要进行4次操作才变为1，不符合题意； B、255第一次操作，第二次操作，第三次操作 ∴255需要进行3次操作才变为1； C、225第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴225需要进行3次操作才变为1； D、224第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴224需要进行3次操作才变为1； ∵， ∴只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是255． 故选：B． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”是解答此题的关键．根据小正方形的面积，求出正方形的面积，再根据算术平方根定义，求出结果即可． 【详解】解：分割图形如下： 这个正方形的面积为：， 故这个正方形的边长是：． 故答案为：． 12．设的整数部分为，的整数部分为，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 估算和的整数部分，通过比较相邻平方数确定和的值，最后代入，进行计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分； ∵ ，即， ∴ 的整数部分； 则． 故答案为：． 13．新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，， ， ， 运算（二）：，，， 利用以上规律计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新运算的定义，当输入为整数时，；当输入为形如（为非零整数）的数时，． 【详解】解：， ， 则． 故答案为：0． 14．若实数x，y，z满足，则的平方根为 ． 【答案】±2 【分析】本题考查的是算术平方根、平方根，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值均为非负数，它们的和为零时，每个部分均为零，从而求出的值． 【详解】解：， ，，， 解得，，． 则， ， 的平方根为， 的平方根为． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）（1）计算：；     （2）求的值：． 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题考查了求算术平方根，求立方根，根据立方根解方程． （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算加法即可； （2）先移项，再根据立方根得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 解得：． 16．（8分）已知，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根及其非负性，立方根的计算，理解题意，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）根据算术平方根及其非负性，可得，可求出a的值，再由立方根的性质可得，可求出b的值，再估算出的大小，可求出c的值． （2）把代入，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：当时，， ∴的平方根为． 17．（8分）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 18．（8分）根据物理学原理可知，用电器的电阻（单位：）、功率（单位：）与它两端的电压（单位：）之间有如下关系：．在一次物理实验中，博学小组测得某个电路中一个小灯泡的电阻为，功率为，求该灯泡两端的电压． 【答案】该灯泡两端的电压是 【分析】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用．根据，得到，代入数据故可求解． 【详解】解：根据题意得，， 代入，得， 整理，得， ， ， 答：该灯泡两端的电压是． 19．（8分）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 【答案】(1)0 (2)5 (3)是关于7的对称数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，实数的运算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，根据x、y都是有理数，得到，据此求出x、y的值，进而计算与的值，再根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵与8是关于4的对称数， ∴， 解得； （2）解：∵与是关于的对称数， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是有理数， ∴都是有理数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与是关于7的对称数． 20．（8分）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 21．（8分）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 22．（10分）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 【答案】(1)2.65 (2)2.646 (3) 【分析】（1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴＞2.6，设＝2.6＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7， ∴r≈0.05，即≈2.65； （2）∵， ∴＞2.64，设＝2.64＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7， ∴r≈0.006，即≈2.646； （3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得， ∴， ∵b＝n2＋m， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式、正方形、矩形的面积，解题的关键是仿照案例画出图形，再根据图形建立等式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $