第1章 3 直角三角形（第2课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该初中数学教案聚焦直角三角形全等的“HL”判定定理，通过回顾已学的三角形全等判定方法，结合“SSA”在一般三角形中不全等的问题，引出直角三角形的特殊判定，搭建新旧知识的学习支架。 资料特色在于通过“做一做”让学生动手画图、剪拼验证，培养几何直观与空间观念（数学眼光），逻辑证明过程渗透推理能力（数学思维），实际问题如滑梯、旗杆例题提升应用意识（数学语言），助力学生深化理解，教师教学更系统高效。

3 直角三角形 第 2 课时 斜边、直角边定理 教学目标 1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”. 2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等. 教学重难点 会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等. 教学过程 一、导入新知 思考：（1）我们学过的判定三角形全等的方法？ （2）两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三 角形全等吗？ （3）如果其中一组等边所对的角是直角呢？ 这节课我们一起来探索并证明直角三角形全等的判定. 二、课堂新授 知识点 直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理） 思考：前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ 回答： （1）两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ （2）两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ （3）两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 思考： （1）如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？ （2）如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ 做一做 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°. 再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB, 把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ 画图思路 （1）先画∠M C′ N=90°. （2）在射线C′M上截取B′C′=BC. （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′ （4）连接A′B′. 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？怎样证明你的结论？ 已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. 证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°, ∴AC2=AB2-BC2(______________).  同理,A′C′2=A′B′2-B′C′2(_____________).  ∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC=A′C′.∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(_____).  “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： 在Rt△ABC 和 Rt△ A′B′C′ 中，AB=A′B′,BC=B′C′, ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 素养考点 直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理） 例1 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF,AC=DF , ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF. ∵ ∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°. 变式训练 如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由. 解:∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD和Rt △ACD中,AB=AC,∠ADB=∠ADC , ∴Rt△ABD≌Rt △ACD（HL）， ∴BD=CD. 例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是 (　 　) 变式训练 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） 例3 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.（应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.） 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，AB=BA,AC=BD . ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. 变式训练 1.如图， ∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. 2.如图，AC，BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AD=BC.求证：AC=BD. 3.如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系. 三、巩固练习 基础巩固题 1. 如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN和PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=______. 2. 如图,AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D,若CB=CD,且∠1=30°,则∠BAD的度数是 (　 　) A.90° B.60° C.30° D.15° 3. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D、E，且AD＝AE，BD、CE交于点O. 求证：OB＝OC. 证明：∵AD⊥BD，AE⊥CE，∴∠D＝∠E＝90°. 在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵AB＝AC，AD＝AE， ∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE， 即∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC. 5.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF. 证明： ∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB＝AB,BC＝AD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠DAF＝∠CBE. 在△BCE和△ADF中，∠CEB＝∠DFA＝90°， ∠CBE＝∠DAF,BC＝AD， ∴△BCE≌△ADF（AAS）， ∴CE＝DF. 能力提升题 如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且EC⊥AC于点C,AE=BF.试判断AE和BF的位置关系,并说明理由. 解:AE⊥BF,理由如下: ∵AE=BF,AB=AC, ∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL),∴∠CAE=∠ABF, ∵∠ABF+∠AFB=90°,∴∠CAE+∠AFB=90°, ∴∠ADF=90°,即AE⊥BF. 拓广探索题 如图,有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $