第1章 3 直角三角形（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该初中数学教案聚焦直角三角形的性质与判定，涵盖两锐角互余、勾股定理及其逆定理、互逆命题等核心知识点。课堂导入通过复习三角形分类、直角三角形定义及内角和性质，搭建新旧知识桥梁，为新知学习提供支架。 此教案亮点在于勾股定理的三种证明方法培养推理能力，互逆命题辨析发展逻辑思维，分层练习（基础、提升、拓广）适配不同学生。通过几何直观与符号运算结合，助力学生理解数学原理，也为教师提供清晰教学流程与多样化例题，提升教学效率。

3 直角三角形 第 1 课时 直角三角形的性质与判定 教学目标 1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定. 2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题. 3.结合具体事例理解互逆命题、互逆定理的概念,并体会原命题成立时，其逆命题不一定成立. 教学重难点 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题. 教学过程 一、导入新知 思考：（1）三角形的分类？ 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形. （2）直角三角形的定义是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形. （3）三角形内角和的性质是什么？ 三角形内角和等于180°. （4） 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. 二、课堂新授 知识点1 直角三角形的性质与判定 思考： （1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？ （2）如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 证明： 如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°. 求证： △ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中，∵ ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，∴∠C=90°. ∴△ABC是直角三角形. 直角三角形的判定 性质定理：直角三角形的两锐角互余. 判定定理；有两个角互余的三角形是直角三角形. 素养考点 直角三角形的性质与判定 如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,则∠BAD的度数是 (　 　) A.85° B.90° C.95° D.100° 变式训练 直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_________. 知识点2 勾股定理与逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. 勾股定理的3种证明方法： 方法一： S1=（a+b）（a+b）=（a2+2ab+b2）=a2+b2+ab， S2=ab+ab+c2=ab+c2. ∵S1=S2， ∴a2+b2+ab=ab+c2.∴a2+b2=c2. 方法二： 大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也可以表示为c2+4×ab； ∵ (a+b)2 = c2+4×ab，a2+2ab+b2 = c2+2ab， ∴a2+b2=c2. 方法三： 大正方形的面积可以表示为c2； 也可以表示为4×ab+（b-a）2． ∵ c2=4×ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2， ∴ a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理 勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形． 思考：这个命题是真命题吗？为什么？ 我们曾用度量的办法得出这个结论.是否还有其他方法？ 已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形． 分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？ 证明：作Rt△DEF,使∠E=90°, DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)． ∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图), ∴AB2=DF2，∴AB=DF， ∴△ABC≌△DFE（SSS）． ∴∠C=∠E=90°, ∴△ABC是直角三角形． 勾股定理与逆定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形的性质与判定 直角三角形的性质定理: 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 直角三角形的判定定理: 1.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形. 素养考点 勾股定理与逆定理 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 (　 　) A.30 B.60 C.78 D.不能确定 变式训练 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长. 解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5cm，BC＝3cm， 由勾股定理得AC2＝AB2－BC2，∴AC＝4cm， 又S△ABC＝BC·AC＝AB·CD， CD＝BC·AC÷AB＝2.4cm， ∴CD的长是2.4cm. 知识点3 互逆命题与逆定理 观察：下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？ 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形． 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件． 观察下面三组命题： 1.如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角 2.如果小明患了肺炎，那么他一定发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 3.三角形中相等的边所对的角相等； 三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流． 互逆命题 上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置． 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 注意：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题! 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们称它们为互逆定理.其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 注意：（1）逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题. （2）每个定理都有逆命题，但每个定理不一定有逆定理. 素养考点 互逆命题与互逆定理 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题. (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. (2)等边三角形的每个角都等于60°. 条件：一个三角形是等边三角形. 结论：它的每个角都等于60°. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形. (3)全等三角形的对应角相等. 条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等. 变式训练 下列命题: ①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; ②若a>b,则ac2>bc2; ③全等三角形对应角相等; ④直角三角形两锐角互余. 其中原命题与逆命题均为真命题的是(　 　) A.①②④ B.①④ C.③④ D.④ 三、巩固练习 基础巩固题 1. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是(　 　) A.75° B.65° C.55° D.45° 2. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 (　 　) A.3,4,5 B.2,3,4 C.4,6,7 D.5,11,12 4.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三角形的形状是_________三角形. 5.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 (　 　) A.互为逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题 能力提升题 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上任一点.求证：BD2＋CD2＝2AD2. 证明：如图，过点A作AE⊥BC于E， 则在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2， 又∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝CE， ∵BD2＋CD2＝（BE-DE）2＋（CE＋DE）2＝BE2＋CE2＋2DE2＝2AE2＋2DE2＝2AD2， 即BD2＋CD2＝2AD2. 2.如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=5cmAB=13 cm,过点C作CD⊥AB于点D. (1)找出图中相等的锐角,并说明理由. (2)求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离. 解:(1)∵CD⊥AB(已知), ∴∠CDA=90°,∴∠A+∠1=90°, ∵∠1+∠2=90°,∴∠A=∠2. 同理可得,∠1=∠B. (2)点A到直线BC的距离为12 cm. 点C到直线AB的距离为线段CD的长度. S△ABC=AC×BC=AB×CD. ∵AC=12 cm，BC=5 cm，AB=13 cm, 代入上式,解得CD=cm. 拓广探索题 如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3，求四边形ABCD的面积. 解：连接AC, ∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC=2. ∵AD=1,CD=3, ∴AD2+AC2=12+(2)2=9,CD2=9, ∴AD2+AC2=CD2, ∴△ADC是直角三角形,∴∠DAC=90°, 在Rt△ABC中,S△ABC=BC·AB=×2×2=2, 在Rt△ADC中,S△ADC=AD·AC=×1×2=. ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $