23.4 第1课时三角形的中位线（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦三角形中位线，涵盖定义、性质及应用。通过复习平行四边形特征与对角线性质，建立四边形与三角形的转化联系，为新知学习搭建支架。 其亮点在于以观察测量引导猜想，培养几何直观与空间观念，通过严谨证明过程发展推理能力，结合中点四边形、测绘等实例强化模型意识与应用意识。采用探究式教学与变式练习，帮助学生提升逻辑推理和实际应用能力，助力教师高效备课。

23.4 第1课时 三角形的中位线 第二十三章 四边形 学 习 目 标 1 2 理解三角形中位线的定义、性质； 能利用三角形中位线定理进行计算、推理、证明; 3 能利用三角形中位线定理添加适当辅助线解决中点四边形、测绘等简单应用问题. 复习引入 三角形的中位线 提问： 1.矩形、菱形、正方形有何共同特征？ 它们都是平行四边形 2.平行四边形的对角线有何性质?是如何得到的？ 平行四边形的对角线互相平分，是通过三角形全等证得的. 总结：在研究四边形时，通常会把它转化为三角形的问题， 利用三角形来研究四边形的有关问题. 现在我们学习了平行四边形; 反过来，也可以利用平行四边形来研究三角形的有关问题 探究新知 三角形的中位线 1.定义   如图，在△ABC  中 ，D、E 分别是边AB、AC的中点， 于是线段DE 就是△ABC  的一条中位线. 3.观察和测量 任意画一个△ABC,  然后分别取边AB、AC  的中点D、E,  连接 DE.  通过观察或测量等方法，你发现 DE 与 BC之间有怎样的位置关系?有怎样的数量关系? 据此，你能得到什么结论? 2.思考：三角形有几条中位线？ 任意三角形都有3条中位线. 猜想：DE//BC,DE=BC 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 探究新知 三角形的中位线 4.如何证明 如图，已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点. 求证：DE//BC,且DE=BC 分析： 线段倍分问题 线段相等问题 转化 把DE延长一倍 如何证平行 找三线八角 找平行四边形 找全等 对边平行 对边平行且相等 对角线平分 BD//FC,且BD=FC AD//FC,且AD=FC 等量代换 探究新知 三角形的中位线 4.如何证明 如图，已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点. 求证：DE//BC,且DE=BC 证明：如图，延长DE到点F,使得EF=DE, 连接FC.因为AE=EC,∠AED=∠CEF, 所以△ADE≌△CFE. 由此推出AD=CF,∠A=∠ECF, 所以AD//CF,即 BD//CF. 又因为AD=DB,AD=CF, 所以 DB=CF. 由平行四边形的判定定理2,得四边形BCFD是一个平行四边形， 所以DF//BC,且DF=BC.又因为DE=EF, 所以DE//BC,且DE=BC. 归纳： 三角形的中位线定理  三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 几何语言 在△ABC中 ∵AD=BD,AE=EC ∴DE//BC,DE=BC 证明AD//CF，AD=CF还有下面的方法： ∵EF=DE,AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD//CF,AD=CF ∵AD=BD ∴BD//CF,BF=CF ∴四边形BCFD是平行四边形 典例分析 三角形的中位线 例1 如图,已知：O是△ABC内任意一点，D、E、F、G 分别是OA、OB、BC、AC的中点 . 求证：四边形DEFG是一个平行四边形. 证明：∵F、G分别是BC、AC的中点， ∴GF//AB,且GF=AB(三角形的中位线定理). 同理，可得 DE//AB,且DE=AB ∴GF//DE,且 GF=DE. ∴四边形DEFG是一个平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 变式练习 1.填空：如图，在△ABC中，D、E 分别是边AB、AC上的点，且AD=DB,AE=EC. （1）如果BC=，那么DE=_______; （2）如果DE=5，那么BC=________. (1)DE= (2)BC=10 三角形的中位线 变式练习 2.如图，A、B两点被海水隔开，在A、B外选择 一点O,找到OA、OB的中点D、E,测得DE=22m, 这样就能求出A、B两点间的距离.请说明理由. 分析：由三角形的中位线定理可知AB=2DE=44m. 三角形的中位线 拓展提升 中点四边形 2.性质：中点四边形一定时平四边形； 1.定义：如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形叫作中点四边形； 3.如何证明 如图，在四边形ABCD中，E、F、M、N分别是各边的中点，求证四边形EFMN是平行四边形. 证明:连接AC、BD ∵E、F为AB、BC的中点， ∴EF//AC,EF=AC,（三角形中位线定理） 同理，MN//AC,MN=AC ∴EF//MN,EF=MN ∴四边形EFMN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 拓展提升 中点四边形 思考：AC和BD满足什么条件时，四边形EFMN是正方形？ 例2 如图，在四边形ABCD中，E、F、M、N分别是各边的中点， （1）如果AC=BD，求证：四边形EFMN是菱形； （2）如果AC⊥BD，那么四边形EFMN是______形. 分析:（1）由三角形中位线定理可得， ,EF=MN=AC；EN=FM=BD 又∵AC=BD ∴EF=MN=EN=FN ∴四边形EFMN是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）. AC=BD,AC⏊BD （2）由AC⏊BD可得EN⏊EF 所以四边形EFMN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 变式练习 中点四边形 1.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是______形. 【答案】菱形 【分析】如图，已知在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为矩形各边的中点，求证：四边形EFGH为菱形. 连接， 【解析】∵在四边形中，点E、F、G、H分别是各边的中点， ∴EF=HG=AC；EH=FG=BD 又四边形ABCD为矩形 ∴AC=BD ∴EF=MN=EN=FN ∴四边形EFMN是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）. 变式练习 中点四边形 2.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别是AD、BC的中点，M、N分别是BD、AC的中点． 求证：EF与MN互相平分． 【分析】连接EM、EN、FM、FN，证明四边形EMFN为平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分即可得. 【详解】连接EM、EN、FM、FN， ∵E为AD的中点，N为AC的中点， ∴EN是△ACD的是位线， ∴EN∥CD，EN＝CD， 同理MF∥CD，MF＝CD， ∴EN∥MF，EN＝MF， ∴四边形EMFN为平行四边形， ∴EF与MN互相平分． 拓展提升 与中位线相关的辅助线 例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，点E，F分别在边CA，CB上，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，连结MN.求证：AE＝MN 【分析】看到中点常常联想到 中位线定理 看到常常联想到等腰直角三角形的斜边与直角边的关系. 【解析】取AB的中点G，并连接NG、MG易得△MNG是等腰直角三角形， 所以NG=MN;由三角形中位线定理可知AE=2NG, 所以AE＝MN. 变式练习 与中位线相关的辅助线 1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD，E是边BC的中点，连结DE.如果AB＝6，AC＝14，求DE的长. 【分析】延长BD交AC于点F，可得到△ABF是等腰三角形，从而判断出D为BF的中点，可以构造三角形的中位线. 【详解】解：如图，延长BD交AC于点F. ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠FAD. 在△BAD与△FAD中，∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF， ∴△BAD≌△FAD(A.S.A.)， ∴BD＝DF，AF＝AB＝6，∴CF＝AC－AF＝8. ∵E是边BC的中点， ∴DE＝CF＝4. 课堂小结 当场反馈 三角形的中位线 1.在△ABC中，∠ACB=90，AC=5,BC=12,则连结两条直角边中点的线段EF的长为_________． 答案：EF=6.5 当场反馈 三角形的中位线 2.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是各边的点． 甲说：若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH也是平行四边形； 乙说：若四边形EFGH是平行四边形，则四边形ABCD也是平行四边形． 下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 分析：根据三角形中位线定理，已知四边形ABCD是平行四边形则可证明四边形HEFG是平行四边形； 根据现有条件已知四边形HEFG，无法证明四边形ABCD是平行四边形， 所以答案为B． 当场反馈 三角形的中位线 3. 如图所示，已知在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC． 分析：本题考查的是平行四边形的性质，三角形的中位线 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠AEM=∠FBM， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE=FB， ∵∠AME=∠FMB， ∴△AEM≌△FBM， ∴ME=MB， 同理得NE=NC， ∴MN是△EBC的中位线， ∴MN∥BC． 感谢聆听！ $