23.4 第2课时三角形的重心（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦“三角形的重心”，核心内容包括重心的定义（三条中线交点）、性质（顶点到重心距离是对边中点距离2倍）及应用。通过复习三角形内心、外心引入，结合实验演示三条中线交于一点，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于实验演示与推理证明结合，培养数学思维（推理能力），即学即练和典例分析用符号语言解决面积、线段比问题，发展数学眼光（几何直观）与数学语言（模型意识）。助力学生理解知识本质，教师可高效备课，提升教学效果。

23.4 第2课时 三角形的重心 第二十三章 四边形 学 习 目 标 1 2 理解三角形重心的定义，重心是三角形三条中线的交点； 理解三角形重心的性质，重心到三角形顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍； 3 能利用重心的定义和性质解决有关三角形面积比以及线段比的计算题. 复习引入 三角形的重心 提问： 1.任意一个三角形的三条角平分线相交于一点吗？这一点有什么性质？ 2.三条边的垂直平分线也相交于一点吗？这一点有什么性质？ 三角形的三条角平分线交于一点，这点叫作三角形的内心，到三角形三边的距离相等. 三角形的三条边的垂直平分线也相交于一点，这点叫作三角形的外心，到三角形三个顶点的距离相等. 实验演示 三角形的重心 提问： 1.任意一个三角形的三条中线是否也相交于一点?它又有怎样的性质呢? 实验结果：任意一个三角形的三条中线也相交于一点. 推理证明 三角形的重心 例1 求证：任意一个三角形的三条中线交于一点. 如图,已知：在△ABC  中 ，BD、CE  分别是边AC、AB上的中线，BD 和CE交于点O,连接AO并延长交边BC于点F. 求证：AF是边BC上的中线. 证明：延长AF到点G,使OG=AO, 三角形的中位线定理 分别连接BG、CG. 同理：BO//CG. ∴四边形OBGC是平行四边形（ ）. 平行四边形的定义 ∴BF=FC    ( ) ∴AF是边BC上的中线. 平行四边形的对角线互相平分 本题的结论表明：三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. ∵EB=EA,OG=AO, ∴EO//BG ( ). ∴OC//BG. 即学即练 三角形的重心 1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是( )。 (A)点D (B)点E (C)点F (D)点G 解析：根据重心的定义，可以发现D点符合要求.所以选D. 即学即练 三角形的重心 2.如图，点P是△ABC的重心，AB=8,连接AP、BP并延长，分别交BC、AC 于点D、E,连接DE,则DE的长为( )。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析：根据重心的定义，可知D、E分别是BC边、AC边的中点.根据中位线定理可求得DE=AB=4，所以选C. 新知探究 三角形的重心 1.三角形的“重心”名称的由来？ 取一块质地均匀的三角形硬纸  片，在三条中线的交点处用细绳将其挂住，该硬纸片将会保持水平， 这说明整个三角形硬纸片所受重力  的合力可视为集中作用在此点， “重心”因而得名. 新知探究 三角形的重心 2.三角形重心的性质 如图延长AF到点G,使OG=AO,分别连接BG、CG. 在前面我们已经证明了四边形BGCO是一个 ____________________，所以OG=____OF. 又因为OG=AO, 所以AO=___OF. 同理：___________ ___________ 平行四边形 2 2 CO=2EO BO=2DO 三角形重心定理   三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 符合语言 ∵O为三角形的重心 ∴AO=2OF或者OF= BO=2OD或者OD= CO=2OE或者OE= 典例分析 三角形的重心 1.如图，已知：在△ABC中 ，O是△ABC的重心，分别连接OA、OB和OC. 求证：S△OAB=S△OBC=S△OAC. ∵ O是△ABC的重心， ∴ F是边BC的中点 .（ ） ∴ BF=FC. ∴ S△OBF=S△OCF=S△OBC( ) ∵ O是△ABC的重心， ∴ AO=2OF ( ). ∴ S△OAB=2S△OBF, S△OAC=2S△OCF. （ ） ∴ S△OAB=S△OBC=S△OAC. 解析：如图，延长CO、BO和 AO,与 边AB、AC、BC 分别交于点E、D、F. 三角形重心定理 三角形重心的定义 等高三角形的面积之比等于底边之比 等底等高的三角形面积相等 即学即练 三角形的重心 1.如图，在△ABC中，AD、BE是△ABC的中线，AD和BE交于点N, 若S△BDN=5, 则S四边形DCEN=( )。 (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 解析：根据重心的定义，可以发现N点是△ABC的重心，根据重心的性质可知AN=2DN，BN=2EN.所以.S△ABN=2S△BDN=2S△ANE=10, ∴S△ANE=5，S△ABD=15 又∵S△ADC=S△ABD ∴S四DCEN=S△ADC-S△ANE=15-5=10 即学即练 三角形的重心 2.如图，在△ABC中，点0是重心，连接A0并延长交BC于点D,连接BO并延长交AC于点E,AD⊥BE. 若 BE=20D=6则AC的值为( ) A.8 B.4 C.12 D.14 解析：根据重心的定义，可知AE=EC，根据重心的性质可知AO=2OD，BO=2OE.所以.OE=2,DO=3,AO=6 又∵AD⏊BE ∴AE= ∴AC=4 课堂巩固 三角形的重心 1.填空：如图，已知O是△ABC的重心. (1)AB=2_____=2_____; (2)BF=_____=_____; (3)S△AOD=_____=_____; 解析： (1)AB=2AE=2BE; (2)BF=CF=BC; (3)S△AOD=S△COD=S△AOC; 课堂巩固 三角形的重心 2.在 Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=24,G是△ABC的重心，连接CG并延长，交边AB于点D. 求DG的长 . 解析：根据重心的性质可知DG=CG=CD， 又直角三角形斜边中线的性质可知CD=AB=12， 所以DG=4. 课堂巩固 三角形的重心 3.在△ABC中 ，AB=AC=17,BC=16,G是△ABC的重心. (1)求AG 的长； (2)求S△GBC. (1)解析：延长AG交BC于D，根据重心的定义，可知BD=BC=8，∵AB=AC ∴AD⏊BC ∴AD= 根据重心的性质可知AG=2GD=AD=10. (2)解析：S△GBC= 拓展提升 三角形的重心 如图，在△ABC中 ，F为△ABC的重心，AF延长线交BC于点D，E为BF上的中点，AD与CE相交于点G,则DG=2，则AD长为________. ∵F是△ABC的重心， ∴D是BC的中点，AF=2DF ∵E是BF中点， 解析：连接CF, ∴G是△FBC的重心， ∴FD=3DG=3， ∴AD=3DF=18. 课堂小结 当场反馈 三角形的重心 1.在△ABC中，∠ACB=90，AC=5,BC=12,则连结两条直角边中点的线段EF的长为_________． 答案：EF=6.5 当场反馈 三角形的重心 2. 如图，在△ABC中 ，BD、CE分别是AC、AB 边上的中线，且BD 与CE相交于点0,则的值为________. 解析：∵O是重心， ∴BO：BD=2：3 ∴= 又∵= ∴= 感谢聆听！ $