19.1 二次根式及其性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）云南专版

第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 基础过关 DD A 逐点击破 口能力提升 ◆》·整合运用 知识点1二次根式的概念 8.下列式子一定是二次根式的是 ( 1.(昆明期末)下列是二次根式的是 A.√-x-4 B.√Jx+2 A号 B.2 C.√2 D.√-4 C.√x2-1 D.√x2+1 知识点2二次根式有意义的条件及求值 9.已知x,y都是实数，且y=√x一3+√3-x+ 2.(红河期中)若二次根式√x一3有意义，则x 4,则y的值为 的取值范围是 ( 10.学科融合新趋势海浪的大小与风速和风压 有很大的关系，用风速估计风压的通用公 A.x<3 B.x≠3 C.x≥3 D.x>3 式为w=其市w为风压（单位： 3.半开放性试题新趋势（河南中考）请写出一个 kN/m),v为风速（单位：m/s),当风压为 使√5一x在实数范围内有意义的x的值： 0.25kN/m时，估计风速为m/s. 11.(教材P3练习T1变式)有一个长、宽之比 4.当x=4时，二次根式√1+2x的值为 为5：2的矩形过道，其面积为10m. 5.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围 (1)求这个矩形过道的长和宽； 内有意义？ (2)用40块大小相同的正方形地板砖刚好 把这个过道铺满，求这种地板砖的边长 (1)√-a; (2)√/4a+1; (3) √a-1 知识点3二次根式的实际应用 6.已知一个正方体的表面积为12dm,则这个 正方体的棱长为 ( A.1dmB.√/2dmC.√6dmD.3dm 7.某种合金板材的成本m与它的面积n有如 下关系：m=心，试用含m的式子表示n(n> 0),则n的值为 第十九章二次根式1 第2课时 二次根式的性质 【名师导学 ··预习先知 【基础过关 ●·逐点击破 新知梳理 知识点1 √a≥0(a≥0) 二次根式的性质： 1.当式子√2a+1取最小值时，a的值为 ①a 0(a≥0) ②(wa)2= A.0 C.-1 D.1 (a≥0). R 8a= (a≥0)， 2.若√x十2+√4-y=0,则xy的值为 (a<0). 知识点2（√a)2=a(a≥0） ☑例题引路 【例1】计算： 3.计算（√2）2的结果为 (1)(√7)2： (2)√5； A.2 B.4 C.-√2 D.-2 (3)(-2√3)2； (4)W(3-√10)2. 4.把下列非负数写成一个非负数的平方的形式： 【名师点拨】(1)(2)(4)直接利用性质： (1)5= ;(2)3.4= (Wa)2=a,√a2=|a|:(3)用积的乘方 ;(4)x= (x≥0). 计算 【学生解答】 5.计算： (1)(17)2; (2)(27)2; 【例2】若-3≤x≤2，试化简√(x+3)严+知识点3√a2=|a √/x2-10x+25= 6.化简√(-6)2的结果是 ( 【名师点拨】先将被开方数x2-10x十 A.-6 B.±6 C.6 D.36 25因式分解，再把二次根式化简为绝 7.下列运算正确的是 ( 对值的形式，然后去掉绝对值，合并同 类项 A.-√(-7)7=7 B.√/2.1z=2.1 【学生解答】 C.-√5=5 D.√32=±3 8.化简： 易错典例 【例3】已知√2026-a是正整数，则整 (1)-√0.32； (2V- (3)√(3-π). 数a的最大值为 【易错剖析】忽略条件√2026一a是正 整数，直接取√2026-a的最小值来计 算a的最大值. 【学生解答】 2数学Ⅱ八年级下册 口能力提升 >>整合运用 ·思维拓展 ♪>强化素养 9.若√(b-3)严=3-b,则b的取值范围是( 13.类比探究新趋势阅读下面的解题过程，体 A.b>3 B.b<3 会如何发现隐含条件并解答下面的问题 C.b≥3 D.b≤3 化简：（√2-3x)2-|1-x. 【变式题】要使√(x-4)=(√x-4)2成立， 解：由隐含条件2-3x≥0，解得x≤ .2 则x的取值范围是 .1-x>0. A.x≤4 B.x=4 .原式=(2-3x)-(1-x)=2-3.x-1+ C.x≥4 D.-4≤x≤4 x=1-2x. 10.已知x,y是实数，3x+4与(y-3)互为 【启发应用】 相反数，则xy的值是 (1)按照上面的解法，试化简√(x一π)严 A.4 B.-4 c D.-9 (√3-x); 11.(教材P5习题T9变式)(1)若√8-x为整数， 【类比迁移】 x为正整数，则x的值是 (2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化 (2)(昆明期中改编)若√48是整数，则正整 简：√a-√(a+b)z-lb-al; 数n的最小值是 a 06 12.计算： (3)已知a,b,c为△ABC的三边长，化简： 号》+号； √/(a+b+c)z+√/(a-b-c)z √(b-a-c)z+√（c-b-a)z. (2(-25)--3+3-3) 第十九章二次根式3参考答案 第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 基础过关 1.C2.C3.0(答案不唯一)4.35.解：(1)由-a≥0，得a≤0.(2)由4a十1≥0，得 1 a-1≥0， a≥-.(3)由 得a>1.6.B7.√2m √a-1≠0， 能力提升 8.D9.410.2011.解：(1)设这个矩形过道的长为5xm,宽为2xm.根据题意，得 5x·2x=10,解得x=士1.：x不能为负数，x=1,.5x=5,2x=2.答：这个矩形过 道的长为5m,宽为2m.(2)设这种地板砖的边长为ym,则40y=10.∴y=,∴y /1. 1 1 弥 ,“y不能为负数，y=2,答：这种地板砖的边长为2m 第2课时二次根式的性质 新知梳理 ①≥②a Ba -a 例题引路 【例1】解：(1)原式=7.(2)原式=5.(3)原式=(2√5)2=22×（√3）2=4×3=12.(4)原 式=|3-√101=√10-3.【例2】8 易错典例 她 【例3】2025 基础过关 1.B2.-83.A4.(1)(5)2(2)(3.4)2 (4)(√F)25.解：(1)原 封 式=17.(2)原式=4×7=28.(3)原式=号.6.C7.B8.解：(1)原式=-0.3. (2)原式= 架 4 号.(3)原式=3-x=天-3， 能力提升 9.D【变式题C10.B11.(1)4或7或8(2)312.解：(1)原式= 91-号+1号=号原式=2-8+3x=2×-3+1 4×5-3+1=20-3+1=18. 思维拓展 线 13.解：(1)由隐含条件3-x≥0，解得x≤3.∴x一π<0..原式=-(x-π)-(3-x)= -x十π-3十x=π-3.(2)由数轴得隐含条件a<0<b,a>1b1,∴.a十b<0,b-a>0. ∴.原式=a-a十b-|b-a=-a十a十b-b十a=a.(3)由三角形的三边关系得隐 含条件a十b+c>0,a-b<c,b-a<c,c-b<a,∴.a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a< 0.∴.原式=|a+b+c+|a-b-c-lb-a-cl+|c-b-a|=(a十b+c)-(a-b-c) +(b-a-c)-(c-b-a)=a+b+c-a+b+c+b-a-c-c+b+a=4b. 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 新知梳理 √abga·6 例题引路 【例1】解：)原式=6x3=尽X2=3E.(2)原式=2√8x=2×2=4 【例2】解：(1)原式=√/3×10=√5×√/102=10√5.(2)原式=√3×2·x2·y= 23xy. 第1页（共48页） 基础过关 1.B2.D3解：10原式=V5X20-V00-10.(2)原式-√分×42-瓜.(3)原 式=5√含×10=6V丽=25.(4原式=-3X2×V5X5=-6VXxF- -150.4.A5.A6.解：(1)原式=√16×√49=4×7=28.(2)原式=√25×10= W√25×√0=5√10.(3)原式=√12X27=√/12×√/27=√3X2×√3X3=2√× 3=18.(4)原式=√36·√·√y=6xy2. 能力提升 7.D860x9.-a一ad10.解：1)原式=号×(-9)×√停×45=-6× √停×1x8=-5.(2)原式=√停×25×(-)=2×()× √写×3X10=-6.11.解：当d=20,f=1.2时0=16V20X12=16/a=32≈32× 2.4495≈78.38(km/h).答：肇事汽车的车速大约是78.38km/h. 思维拓展 12.解：1)010=10×VT=V0x0.T=V而.@x√厂=-可： √=√=-.(2)-56=-V6×6=-V5x=-1, -6√5=-√6X5=-√36X5=-√180.√/150<√180，∴.-√150>-√180， 即-5√6>-6√5. 第2课时二次根式的除法 新知梳理 a 0W6 eva ③分母能开得尽平方的因数或因式 例题引路 【例】：1)原式=√雳-√-(2)原式-√合-√×=3.3原式 =2X3×(-1)×√14×7×2=-6√6 1 ,9=-6N6×6 9=-76.【例2】解：(1)原式 =尽=2E.(（2)原式=-03=. √25 5 √0.360.6-2 基础过关 1.A2.C3.解：(1)原式=- √厚=-=-2.2原武=-×√5=-× √6×=告×号=(3)原式-V需 3 xy=√3x.4.C5.解：(1)原式= 震無源式停票片)原武=器 √/100 V9636· 6.C7.解： 1原式-√-√贸=四(2原式--()原式 2√2√2√2X2 2X0_5 3×2√10 6√10×10 30 能力提升 8.C9.0≤x<110.2626 3 11解：1原式=一号入√-号√=-号× 3W8 是=-1.(2)原式=安×4×受√6X12x=8V所=3X6=18 思维拓展 12.解：(1)两名同学的解法都正确.(2)答案不唯一，如：√0=√兮 √a -√-√阁-品-总 第2页（共48页） 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 新知梳理 被开方数 例题引路 【例11)Vm√E(2)Va√号√昏【例2懈：1)原式=3E+4E=7E. (2②)原式=4+3--.(3)原式=F+4厅-号+-号+5. 基础过关 1.B2.D3.B4.(1)0(2)555.解：(1)原式=3y2.(2)原式=2+4F 2 6.(3)原式=2万-3万+5=-2y.(4)原式=45+125-205=-45 3 3 6.4√67.16√2 能力提升 8.C9.C10.311.解：(1)原式=(35+3√2)-(25-5√2)=35+3√2-2√5+ 5√2=√5+8√2.(2)原式=2√3-√2-√3+22=√3+√2.(3)原式=3√3x+3X 3+2x.3正=3√3z+√3+23=63.12.解：√厄+V27=25+ 3 3√3=53=√75(dm).9=√/8I>√/75，√27<2√12=√/48,7=√/49>√/48，.能 够在这块木板上裁出一个面积为27dm和两个面积均为12dm的正方形木板. 思维拓展 13.解：1)原式=6×5-5×5-25+×2厅=-26-厅-26+5=0.（②》设原题 2 中■的值是a,则a…誓-5×9-26+×25-：9。-后-26+后- 3 5 “(合4一2)6-4一8=子解得a=号.：原题中口的值是号 第2课时二次根式的混合运算 例题引路 【例】解：1)原式=6+√2=4+26.(2)原式=45÷25-36÷25=2-3yE 2 (3)原式=(W6)2-22=6-4=2.(4)原式=(2W3)2-2×2√3×2+(W2)2=12-4√6+2= 14-4√6 基础过关 1.C2.14万(253解：1)原式=√14×号-√号×6=2-3=-1.(2)原 式=(33-2√6+2√3)÷√3=(53-2√6)÷√3=5-2√2.(3)原式=18十66-6√6 -12=6.4原式=45-3,5-40=1-20=-19.4B5.1)6-4E(2)-17 5 6.解：(1)原式=27+36√2+24=51十36√2.(2)原式=(3√7)-(5√2)=63-50=13. 能力提升 7.A8.C9.210.解：(1)原式=(33×36+4√2-42)÷√2=272÷√2=27. (2)原式=5-5V3+15-12=8-55.11.解：剩余部分的面积为(2√6+√5)×(26 -√5)-(W6-√5)=(2√6)2-(W5)2-[(W6)2-26X5+(W5)2]=(24-5)-(6 2√/30+5)=19-(11-2√/30)=8+2√30. 思维拓展 以，山为法-后计5十862号-6-么方法-2 5-2 5-4=W⑤-2-5+2)×5-2-5-2.(2)原式=(W2-1+5-2+-5 √5+2√W5+2 W5+2 +…+√2026-√/2025)（√2026+1）=（√/2026-1）（√2026+1）=（√/2026）2- 12=2026-1=2025. 第3页（共48页）