2.2.2 排列数公式（课件）-劳保版第8版《数学 下册》《上好课》

2.2.2 排列数公式 第二章 排列与组合 ·劳保版第8版 下册· 学习目标 1、能准确推导排列数公式，理解填空法的核心逻辑； 2、能运用排列数公式与阶乘表示进行计算与化简； 3、能解决公式计算、方程求解、实际应用、带约束条件的排列等问题； 4、能掌握捆绑法、插空法、特殊位置优先法等解题技巧。 5、借助生活实例感受排列数公式的实用价值，激发数学学习兴趣。 目 录 新课导入 01 探索新知 02 知识记忆 03 师生互动 04 当堂检测 05 课堂小结 06 2.2.2 排列数公式 新课导入 新课导入 复习：上节课我们学习了排列与排列数的概念，从3人中选2人安排日班和夜班的排列数符号是什么？ 答：排列数符号为； 提问：如何用分步计数原理求？ 答：第一步，从3个人中选1个人上日班，有3种选法， 第二步，从剩下2个人中选1个人上夜班，有2种选法， 共3×2种，所以=3×2=6。 新课导入 提问：如果要计算，那么依据分步计数原理，需要分几步？每一步的方法数依次是多少？并写出的算式。 答：分4步，方法数依次为10、9、8、7，=10×9×8×7。 总结：排列数的计算遵循分步计数原理，今天我们将从该原理出发，推导出排列数的计算公式。 探索新知 2.2.2 排列数公式 排列数公式 推导 分析：如图，假定有排好顺序的2个空位，从5个不同元素中任取2个去填空，1个空位填1个元素，每种填法就对应一个排列．因此，所有不同的填法的种数就是排列数。 第1空 第2空 排列数公式 推导 第1空 第2空 提问：每一空有多少种填法？ 答：第1位，从5个元素中任选1个元素填入第1位，有5种填法。 第2位，从剩下的4个元素中任选1个元素填入第2位，有4种填法。 根据分步计数原理得到排列数=5×4=20. 5种 4种 排列数公式 推导 分析：如图，假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中任取m个去填空，1个空位填1个元素，每种填法就对应一个排列．因此，所有不同的填法的种数就是排列数。 第1位 第2位 第3位 第m位 …… 排列数公式 推导 提问：每一空有多少种填法？ 答：第1个位置：从n个不同元素中任选1个，共有n种方法 第2个位置：已经用掉1个元素，剩下n−1个，共有n−1种方法 第3个位置：已经用掉2个元素，剩下n−2个，共有n−2种方法 n种 第1位 第2位 第3位 第m位 …… n-1种 n-2种 排列数公式 推导 …… 第m个位置：前面已经用掉m−1个元素，剩余元素个数为n−(m−1)=n−m+1种方法 根据分步乘法计数原理，=n×(n−1)×(n−2)×⋯×(n−m+1) n种 第1位 第2位 第3位 第m位 …… n-1种 n-2种 n-m+1种 排列数公式 推导 =n×(n−1)×(n−2)×⋯×(n−m+1) 提问：观察排列数公式，首项、项数、末项和n、m有什么关系？ 答：首项是n，项数是m，末项是n-m+1 n种 第1位 第2位 第3位 第m位 …… n-1种 n-2种 n-m+1种 排列数公式 应用：计算、、 答：=5×4×3=60, =8×7=56, =6×5×4×3×2×1=720. 规定：当m=n时，排列称为全排列，此时 =n×(n−1)×⋯×2×1 阶乘定义与排列数公式 定义：n!（读作n的阶乘），表示 全排列可写为：=n! 阶乘形式排列数公式： 规定：0!=1 例题解析 解：（1）根据排列数公式 =n×(n−1)×⋯×(n−m+1) 这里n=10,m=4，因此 =10×9×8×7=5040 （2）由全排列公式=n! 得=5!=5×4×3×2×1=120 例1 计算下列排列数 （1）；（2）； 例题解析 解：根据排列数公式 =n×(n−1)=20，整理得n2−n−20=0 因式分解得(n−5)(n+4)=0 解得n1=5, n2=−4 根据排列数定义，n是正整数且满足n≥2，因此负根n=−4不符合题意，舍去。 所以n = 5 例2 已知=20，求正整数n的值 例题解析 解：从10本不同的书中选2本，按送给甲、送给乙的顺序分配，顺序不同对应不同送法，因此该问题是排列问题。 总元素个数n=10，选取元素个数m=2，对应排列数为。 =10×9=90 答：共有90种不同的送法。 例3 书架上有10本不同的书，从中任意取出2本，送给甲、乙两位同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 例题解析 解：本题是有限制条件的排列问题，采用特殊位置优先安排的方法。 第一步：安排第一节课程。 第一节不能是体育、自习，可选择的科目为语文、数学、英语、物理，共4门，即有=4种排法。 例4 如果你是某校教务的排课老师，某班周三这天有数学、语文、物理、英语、体育、自习6节课，若第1节不排体育和自习，有多少种排法? 例题解析 第二步：安排剩余5节课。 第一节排完后，还剩5门课，对这5门课进行全排列，排法数为=5×4×3×2×1=120 。 根据分步乘法计数原理，总排法数为两步方法数相乘：N=×= 4×120=480。 例4 如果你是某校教务的排课老师，某班周三这天有数学、语文、物理、英语、体育、自习6节课，若第1节不排体育和自习，有多少种排法? 例题解析 例5 5个同学（3男2女）站成一排照相留念： （1）若2个女生要站在一起，有多少种不同的排法？ （2）若2个女生互不相邻，有多少种不同的排法？ （3）若正中间位置只能安排女生，有多少种不同的排法？ 解：（1）相邻问题：捆绑法 第一步：将2个女生视为一个整体 把2个女生捆绑成一个“大元素”，与3个男生共4个元素进行全排列：=4×3×2×1=24 第二步：女生内部排列 捆绑的2个女生可以互换位置，内部有2种排列：=2×1=2 例题解析 例5 5个同学（3男2女）站成一排照相留念： （1）若2个女生要站在一起，有多少种不同的排法？ （2）若2个女生互不相邻，有多少种不同的排法？ （3）若正中间位置只能安排女生，有多少种不同的排法？ 分步计数原理 总排法数为两步方法数相乘：×=24×2=48 图示： 例题解析 例5 5个同学（3男2女）站成一排照相留念： （1）若2个女生要站在一起，有多少种不同的排法？ （2）若2个女生互不相邻，有多少种不同的排法？ （3）若正中间位置只能安排女生，有多少种不同的排法？ 解：（2）不相邻问题：插空法 第一步：先排男生 先排3个男生，无约束，全排列数为：=3×2×1=6 第二步：女生插入空位 3个男生排好后产生4个空位（包括两端），从中选2个位置安排女生：=4×3=12 例题解析 例5 5个同学（3男2女）站成一排照相留念： （1）若2个女生要站在一起，有多少种不同的排法？ （2）若2个女生互不相邻，有多少种不同的排法？ （3）若正中间位置只能安排女生，有多少种不同的排法？ 分步计数原理 总排法数为两步方法数相乘：×=6×12=72 图示： 例题解析 例5 5个同学（3男2女）站成一排照相留念： （1）若2个女生要站在一起，有多少种不同的排法？ （2）若2个女生互不相邻，有多少种不同的排法？ （3）若正中间位置只能安排女生，有多少种不同的排法？ 解：（3）特殊位置优先法 第一步：安排中间位置 正中间位置只能安排女生，从2个女生中选1人：=2 第二步：安排剩余4个位置 剩下4个位置由剩余4名同学全排列：=4×3×2×1=24 例题解析 例5 5个同学（3男2女）站成一排照相留念： （1）若2个女生要站在一起，有多少种不同的排法？ （2）若2个女生互不相邻，有多少种不同的排法？ （3）若正中间位置只能安排女生，有多少种不同的排法？ 分步计数原理 总排法数为两步方法数相乘：×=2×24=48 图示： 例题解析 例6 用所有26个英文字符组成一个26位的密码，规定在一个密码中不出现相同的字符，那么可以组成多少种不同的密码？用单台计算机去解密，若计算机解密的速度是每秒钟检查107个不同的密码，那么最多需要多少时间才能解密（结果以年为单位，保留6位有效数字）？ 解：26个不同字符的全排列数为： 26!=26×25×…×1≈4.03291×1026 解密时间t为总密码数除以每秒检查数： t=≈=4.03291×1019 (秒) 换算为年（1年≈3.1536×10⁷秒） t≈≈1.27883×1012 (年) 知识记忆 2.2.2 排列数公式 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 知识记忆 1、排列数公式： 乘积形式：=n×(n−1)×…×(n−m+1)（m≤n）； 阶乘形式：=，规定0!=1。 2、全排列：=n!。 3、解题技巧： 捆绑法：相邻问题； 插空法：不相邻问题； 特殊位置优先法：特殊位置/元素优先排列。 师生互动 2.2.2 排列数公式 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 师生互动 1、提问：按连乘公式应写出哪几项？ 答：8×7×6 2、提问：公式中，m,n满足什么条件？ 答：m,n∈ℕ∗,m≤n 3、提问：解方程=12，最后要做什么操作？ 答：舍去负根，只保留正整数解 当堂检测 2.2.2 排列数公式 练习 例1 计算（1）；（2） 解析：直接使用排列数连乘公式。 解：（1）=8×7×6=336 （2）=6!=6×5×4×3×2×1=720 练习 例2 已知=42，求正整数n。 解析：代入排列数公式得到一元二次方程，求解后必须根据排列数定义域舍去负根。 解：由=n(n−1)，得n(n−1)=42，整理得n2−n−42=0， 因式分解：(n−7)(n+6)=0，解得n=7或n=−6。 因为n是正整数且n≥2，舍去n=−6，所以n=7。 练习 例3 从9种不同的文具中任选3种，分给3位同学，每人1种，有多少种不同分法？ 解析：分给不同同学，顺序不同分法不同，是排列问题，n=9,m=3，用计算。 解：是排列问题，排列数为。 =9×8×7=504。 练习 例4 计算−，写出全部展开算式与中间结果。 解析：分别计算两个排列数，再做减法，每一步算式都保留。 解：=7×6×5×4=840， =6×5×4=120， −=840−120=720。 练习 例5 有语文、数学、历史、地理、美术5门课，安排一天5节课，要求第一节不排美术，有多少种排法？ 解析：特殊位置优先，先排第一节，再全排列剩余4节，分步相乘。 解：第一步：排第一节，可排科目共4种，即=4； 第二步：剩余4门课全排列，=4!=24； 总排法：N=×=4×24=96。 练习 例6 6名同学（4男2女）站成一排表演节目： （1）若2个女生必须站在一起，有多少种不同的排法？ （2）若2个女生不能站在一起，有多少种不同的排法？ 解析：（1）相邻问题用捆绑法 （2）不相邻问题用插空法 解：（1）捆绑法 2个女生捆绑成1个整体，与4名男生共5个元素全排列：=5×4×3×2×1=120 女生内部排列：=2×1=2 总排法：×=120×2=240 练习 例6 6名同学（4男2女）站成一排表演节目： （1）若2个女生必须站在一起，有多少种不同的排法？ （2）若2个女生不能站在一起，有多少种不同的排法？ （2）插空法 先排4名男生：=4×3×2×1=24 4名男生产生5个空位，选2个安排女生：=5×4=20 总排法：×=24×20=480 课堂小结 2.2.2 排列数公式 课堂小结 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) 1、核心公式 排列数公式：=n×(n−1)×…×(n−m+1)=； 全排列：=n!，规定0!=1。 2、核心技巧 捆绑法：相邻问题； 插空法：不相邻问题； 特殊位置优先法：特殊位置/元素优先排列。 3、核心应用 公式计算、方程求解、实际应用、带约束条件的排列。 课后作业 2.2.2 排列数公式 课后作业 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) ① 课本P50知识巩固2 第1~4题 ②《同步练习》基础巩固、能力进阶 谢谢 THANKS $