2.2.2 排列数公式（教学设计）-劳保版第8版《数学 下册》《上好课》

课程名称 劳保版第8版 《数学 下册》 2.2.2 排列数公式 教材分析 本节承接上一节排列与排列数的概念，以填空法为核心推导排列数公式，进一步引入阶乘表示，并通过例题覆盖公式计算、方程求解、实际应用、带约束条件的排列等核心题型。教材以实例推导→公式生成→例题应用→方法拓展的逻辑推进，既体现了数学公式的具象到抽象，又强化了知识的实用性，贴合中职数学重方法、强应用的教学导向。教材中的例题设计从基础计算到复杂的捆绑法、插空法应用，逐步提升学生的逻辑推理与建模能力，配套的知识巩固习题则进一步强化公式的灵活应用，能有效培养学生的有序思考与数学建模能力。 学情分析 学生已掌握排列与排列数的概念，具备基础的枚举计数、分步拆解能力，但对排列数公式的推导逻辑理解不足，容易混淆排列数与阶乘的核心区别。学生的逻辑严谨性不足，在分析带约束条件的排列问题时容易出现重复或遗漏计数的情况，且对捆绑法、插空法、特殊位置优先法等技巧的应用不够熟练，对阶乘的计算与化简存在畏难情绪。预计的学习困难在于：无法准确理解排列数公式的推导逻辑，机械记忆公式；在带约束条件的排列问题中，难以选择合适的解题技巧（捆绑/插空/优先法），出现计数重复或遗漏；对阶乘的化简与计算容易出错；文字应用题中不能准确提炼有序排列的目标，导致公式应用错误。 教学目标 1. 知识与技能：能准确推导排列数公式，理解填空法的核心逻辑；能运用排列数公式与阶乘表示进行计算与化简；能解决公式计算、方程求解、实际应用、带约束条件的排列等问题；能掌握捆绑法、插空法、特殊位置优先法等解题技巧。 1. 过程与方法：通过公式推导，经历感知→提炼→验证→应用的探究过程，培养逻辑推理与建模能力；通过例题演练，掌握判断类型→选择方法→计算结果→验证逻辑的解题流程，提升分析与运算能力。 1. 情感态度与价值观：借助生活实例感受排列数公式的实用价值，激发数学学习兴趣；养成严谨的思维习惯，强化对有序逻辑的关注，提升数学思维的严谨性。 教学重难点 教学重点：排列数公式的推导与应用；捆绑法、插空法、特殊位置优先法的应用。 教学难点：排列数公式的推导逻辑；带约束条件的排列问题的解题技巧；阶乘的化简与计算。 教学方法 实例引入法、例题演练法、互动辨析法 课前准备 多媒体课件、板书设计、课堂练习题 教学媒体 PPT课件 教学过程 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 导入 1. 提问：上节课我们学习了排列与排列数的概念，从3人中选2人安排日班和夜班的排列数符号是什么？ 2. 提问：如何用分步计数原理求？ 3. 提问：如果要计算，那么依据分步计数原理，需要分几步？每一步的方法数依次是多少？ 4. 总结：排列数的计算遵循分步计数原理，今天我们将从该原理出发，推导出排列数的计算公式。 1. 回答：排列数符号为； 2.回答：第1个人有3种选法，第2个人只剩2种，共种，所以= 3.回答：分4步，方法数依次为10、9、8、7 1. 衔接上一节内容，回顾旧知 2. 用具体小例子铺垫推导逻辑，降低知识抽象难度 新课讲授 一、排列数公式的推导 1. 推导 分析：假定有排好顺序的2个空位，从5个不同元素中任取2个去填空，1个空位填1个元素，每种填法就对应一个排列．因此，所有不同的填法的种数就是排列数。 提问：每一空有多少种填法？ 引导学生用分步计数原理回答： 第1位，从5个元素中任选1个元素填入第1位，有5种填法。 第2位，从剩下的4个元素中任选1个元素填入第2位，有4种填法。 根据分步计数原理得到排列数=5×4=20. 2.推导 分析：假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中任取m个去填空，1个空位填1个元素，每种填法就对应一个排列．因此，所有不同的填法的种数就是排列数。 提问：每一个位置有多少种填法？ 引导学生用分步计数原理回答： 第1个位置：从个不同元素中任选1个，共有种方法 第2个位置：已经用掉1个元素，剩下个，共有种方法 第3个位置：已经用掉2个元素，剩下个，共有种方法 …… 第个位置：前面已经用掉个元素，剩余元素个数为种方法 根据分步乘法计数原理，总方法数为各步方法数相乘，因此： 提问：观察排列数公式，首项、项数、末项和n、m有什么关系？ 引导学生回答：首项是n，项数是m，末项是n-m+1 应用：计算、、 答：=5×4×3=60, =8×7=56, =6×5×4×3×2×1=720. 规定：当时，称为全排列，此时 二、阶乘定义与阶乘形式公式 1. 定义：（读作的阶乘），表示 1. 全排列可写为： 1. 阶乘形式排列数公式： 1. 规定：（为使公式在时统一成立） 跟随推导，理解填空法的核心逻辑 依据分步计数原理回答第1位有5种填法，第2位有4种填法 跟随推导，理解填空法的核心逻辑 依据分步计数原理回答每一位的填法种数 答：首项是n，项数是m，末项是n-m+1 代公式计算计算、、 理解阶乘的定义与规定； 记录排列数公式的两种形式； 推导过程从特殊到一般，符合学生认知规律； 抓住核心推导逻辑，避免机械记忆。 例题解析 例1 计算下列排列数 （1）；（2）； 解（1）根据排列数公式 这里，因此 （2）由全排列公式得 例2 已知，求正整数的值 解：根据排列数公式 ，整理得 因式分解得 解得 根据排列数定义，是正整数且满足，因此负根不符合题意，舍去。 所以n = 5 例3 书架上有10本不同的书，从中任意取出2本，送给甲、乙两位同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：从10本不同的书中选2本，按送给甲、送给乙的顺序分配，顺序不同对应不同送法，因此该问题是排列问题。总元素个数，选取元素个数，对应排列数为。 =90 答：共有种不同的送法。 例4 如果你是某校教务的排课老师，某班周三这天有数学、语文、物理、英语、体育、自习6节课，若第1节不排体育和自习，有多少种排法? 解：本题是有限制条件的排列问题，采用特殊位置优先安排的方法。 第一步：安排第一节课程。 第一节不能是体育、自习，可选择的科目为语文、数学、英语、物理，共门，即有=4种排法。 第二步：安排剩余5节课。 第一节排完后，还剩5门课，对这5门课进行全排列，排法数为。 根据分步乘法计数原理，总排法数为两步方法数相乘：= 例5 5个同学（3男2女）站成一排照相留念： （1）若2个女生要站在一起，有多少种不同的排法？ （2）若2个女生互不相邻，有多少种不同的排法？ （3）若正中间位置只能安排女生，有多少种不同的排法？ 解：（1）相邻问题：捆绑法 第一步：将2个女生视为一个整体 · 把2个女生捆绑成一个“大元素”，与3个男生共4个元素进行全排列： 第二步：女生内部排列 · 捆绑的2个女生可以互换位置，内部有2种排列： 分步计数原理 · 总排法数为两步方法数相乘： · 图示： （2）不相邻问题：插空法 第一步：先排男生 · 先排3个男生，无约束，全排列数为： 第二步：女生插入空位 · 3个男生排好后产生4个空位（包括两端），从中选2个位置安排女生： 分步计数原理 · 总排法数为两步方法数相乘： · 图示： （3）特殊位置优先法 第一步：安排中间位置 · 正中间位置只能安排女生，从2个女生中选1人： 第二步：安排剩余4个位置 · 剩下4个位置由剩余4名同学全排列： 分步计数原理 · 总排法数为两步方法数相乘： 图示： 例6 用所有26个英文字符组成一个26位的密码，规定在一个密码中不出现相同的字符，那么可以组成多少种不同的密码？用单台计算机去解密，若计算机解密的速度是每秒钟检查个不同的密码，那么最多需要多少时间才能解密（结果以年为单位，保留6位有效数字）？ 解：26个不同字符的全排列数为： · 解密时间为总密码数除以每秒检查数： · · 换算为年（1年≈3.1536×10⁷秒）： · 答：可以组成种不同的密码，最多需要约年（即约12788.3亿年）才能解密。 1. 独立计算，验证公式的应用； 2. 掌握全排列的阶乘表示； 1. 建立方程，验证公式的应用； 2. 掌握排列数方程的求解方法； 3. 理解为正整数的约束条件。 1. 判断为排列问题，验证公式的应用； 2. 掌握实际问题的建模方法。 1. 拆解问题为两步，验证公式的应用； 2. 掌握特殊位置优先法的解题技巧。 理解捆绑法、插空法、特殊位置优先法的应用场景 理解全排列的应用场景 强化公式的直接应用，熟悉排列数的计算 强化公式的灵活应用，提升方程求解能力 强化公式的实际应用，提升数学建模能力 提升分步拆解与综合应用能力。 强化解题技巧的应用，提升复杂问题的分析能力 强化全排列与阶乘的应用，提升综合计算能力 知识记忆 1. 排列数公式： 乘积形式：（）； 阶乘形式：，规定。 2. 全排列：。 3. 解题技巧： 捆绑法：相邻问题； 插空法：不相邻问题； 特殊位置优先法：特殊位置/元素优先排列。 师生互动 1、 提问：按连乘公式应写出哪几项？ 答： 2、 提问：公式中，满足什么条件？ 答： 3、 提问：解方程，最后要做什么操作？ 答：舍去负根，只保留正整数解 课堂练习 例1 计算（1）；（2） 解析：直接使用排列数连乘公式。 解：（1） （2） 例2 已知，求正整数。 解析：代入排列数公式得到一元二次方程，求解后必须根据排列数定义域舍去负根。 解：由，得， 整理：， 因式分解：，解得或。 因为是正整数且，舍去，所以。 例3 从9种不同的文具中任选3种，分给3位同学，每人1种，有多少种不同分法？ 解析：分给不同同学，顺序不同分法不同，是排列问题，，用计算。 解：是排列问题，排列数为。 。 例4 计算，写出全部展开算式与中间结果。 解析：分别计算两个排列数，再做减法，每一步算式都保留。 解：， ， 。 例5 有语文、数学、历史、地理、美术5门课，安排一天5节课，要求第一节不排美术，有多少种排法？ 解析：特殊位置优先，先排第一节，再全排列剩余4节，分步相乘。 解：第一步：排第一节，可排科目共4种，即； 第二步：剩余4门课全排列，； 总排法：。 例6 6名同学（4男2女）站成一排表演节目： （1）若2个女生必须站在一起，有多少种不同的排法？ （2）若2个女生不能站在一起，有多少种不同的排法？ 解析：（1）相邻问题用捆绑法（2）不相邻问题用插空法 解：（1）捆绑法 2个女生捆绑成1个整体，与4名男生共5个元素全排列： 女生内部排列： 总排法： （2）插空法 先排4名男生： 4名男生产生5个空位，选2个安排女生： 总排法： 课堂小结 1. 核心公式 排列数公式：； 全排列：，规定。 1. 核心技巧 捆绑法：相邻问题； 插空法：不相邻问题； 特殊位置优先法：特殊位置/元素优先排列。 1. 核心应用 公式计算、方程求解、实际应用、带约束条件的排列。 课后作业 ①课本P50知识巩固2第1~4题 ②见《同步练习》 板书设计 2.2.2 排列数公式 1. 排列数公式 乘积形式： 阶乘形式： （0!=1） 2. 全排列： 3. 解题技巧 捆绑法：相邻问题 插空法：不相邻问题 特殊位置优先法：特殊位置优先 教学反思 本节课通过公式推导、例题精讲，有效提升了学生的应用能力，但部分学生在带约束条件的排列问题中仍易出现逻辑疏漏，后续需增加捆绑法、插空法、特殊位置优先法的专项练习。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $