2.1 计数原理（课件）-劳保版第8版《数学 下册》《上好课》

2.1 计数原理 第二章 排列与组合 ·劳保版第8版 下册· 学习目标 1、能准确表述分类计数原理与分步计数原理的定义、适用条件及公式； 2、能根据实际问题判断使用加法还是乘法原理，完成规范的计数计算； 3、能解决专业选代表、工人排班、区域涂色等实际计数问题，构建清晰的计数逻辑。 4、借助生活实例感受计数原理的实用价值，激发数学学习兴趣。 目 录 新课导入 01 探索新知 02 知识记忆 03 师生互动 04 当堂检测 05 课堂小结 06 2.1 计数原理 知识回顾 知识回顾 思考 ① 用2和3能组成多少个不同的两位数？ ② 用1，2，3能组成多少个不同的两位数？ ③ 妈妈新买了2件上衣和2件下装，最多能搭配出几套不同的穿法？ 方法：枚举法（每个数只能用1次） 解：① 十位 2 3 个位 2 3 组成： 答案：2个（23、32） 23 32 知识回顾 思考 ① 用2和3能组成多少个不同的两位数？ ② 用1，2，3能组成多少个不同的两位数？ ③ 妈妈新买了2件上衣和2件下装，最多能搭配出几套不同的穿法？ 方法：枚举法（每个数只能用1次） 解：② 十位 1 2 3 个位 1 2 3 组成： 答案：6个（12、13、21、23、31、32） 12 21 13 23 31 32 知识回顾 思考 ① 用2和3能组成多少个不同的两位数？ ② 用1，2，3能组成多少个不同的两位数？ ③ 妈妈新买了2件上衣和2件下装，最多能搭配出几套不同的穿法？ 方法：枚举法 解：① 上装 下装 组成： 答案：4种 2.1 计数原理 新课导入 实例导入 问题： ①甲地到乙地可乘汽车（3班）、轮船（2班）、火车（1班），求不同走法数量； 解：如图， 选择汽车有3种走法， 选择轮船有2种走法， 选择火车有1种走法， 一共有3+2+1=6种走法 示意图 实例导入 问题： ②甲地经乙地到丙地，甲→乙有3条路，乙→丙有2条路，求不同走法数量。 解：如图， 步骤一，甲地到乙地，有3种走法， 步骤二，乙地到丙地，有2种走法， 甲地经乙地到丙地共32=6种走法。 示意图 思考：为什么问题①是相加，问题②是相乘？两种问题的本质区别是什么？ 探索新知 2.1 计数原理 分类计数原理（加法原理） 关键词：分类、独立完成、方法相加。 举例：实例①中，选汽车、火车、轮船任意一类都能直接从甲到乙。 验证：n=3,k1=3,k2=2,k3=1，N=3+2+1=6。 定义：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有k1种不同的方法，第2类中有k2种……第n类中有kn种，且每一类办法都能独立完成这件事，则完成这件事共有N=k1+k2+⋯+kn种不同的方法。 分步计数原理（乘法原理） 关键词：分步、步骤关联、方法相乘。 举例：实例②中，只走甲→乙或乙→丙都无法到达丙地。 验证：n=2,k1=3,k2=2，N=3×2=6。 定义：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有k1种不同的方法，第2步有k2种……第n步有kn种，且每一步都不能独立完成这件事，必须依次完成所有步骤，则完成这件事共有N=k1×k2×…×kn种不同的方法。 例题解析 解：（1）有4类办法： 第I类办法从机械类专业选人，可以从10人中选1人； 第Ⅱ类办法从建筑类专业选人，可以从8人中选1人； 第Ⅲ类办法从服务类专业选人，可以从5人中选1人； 第Ⅳ类办法从电工电子类专业选人，可以从6人中选1人. 例1 某校评选的优秀毕业生中，机械类专业有10人，建筑类专业有8人，服务类专业有5人，电工电子类专业有6人。 （1）从这四类专业中选出1名优秀毕业生出席全省优秀毕业生表彰会，有多少种不同的选法？ 例题解析 （1）根据分类计数原理，得到不同选法的种数为 N=10+8+5+6=29. 例1 某校评选的优秀毕业生中，机械类专业有10人，建筑类专业有8人，服务类专业有5人，电工电子类专业有6人。 （1）从这四类专业中选出1名优秀毕业生出席全省优秀毕业生表彰会，有多少种不同的选法？ 例题解析 解：（2）可分成4个步骤完成： 第1步从机械类专业中选1人，共10种选法； 第2步从建筑类专业中选1人，共8种选法； 第3步从服务类中选1人，共5种选法； 例1 某校评选的优秀毕业生中，机械类专业有10人，建筑类专业有8人，服务类专业有5人，电工电子类专业有6人。 （2）从这四类专业中各选出1名优秀毕业生，参加校优秀毕业生报告会，有多少种不同的选法？ 例题解析 （2）第4步从电工电子类专业中选1人，共6种选法. 根据分步计数原理，得到不同选法的种数为 N=10×8×5×6=2400. 例1 某校评选的优秀毕业生中，机械类专业有10人，建筑类专业有8人，服务类专业有5人，电工电子类专业有6人。 （2）从这四类专业中各选出1名优秀毕业生，参加校优秀毕业生报告会，有多少种不同的选法？ 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 例2 要从小张、小王、小李3名工人中选出2名分别上日班和夜班，共有多少种不同的选法？ 例题解析 解：从3名工人中选1名上日班和夜班，可以看成是先选1名上日班，再选1名上夜班两个步骤完成. 先选1名上日班，共有3种选法； 再选1名上夜班，共有2种选法. 根据分步计数原理，得到不同选法的种数为N=3×2=6. 例题解析 解：涂色是分步完成（按①→②→③→④的顺序），每一步的颜色受相邻区域约束，分4个步骤： 第1步：给区域①选1种颜色，有5种选法； 第2步：区域②与区域①相邻，所以不能与区域①同色，区域②有4种选法； 例3 如图，要给①②③④四块区域分别涂上红、黄、蓝、绿、紫五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方法有多少种？ 例题解析 第3步：区域③与区域①和区域②均相邻，所以不能与区域①和区域②的颜色相同，区域③有3种选法； 第4步：区域④与区域②和区域③均相邻，所以不能与区域③和区域②的颜色相同，区域④有3种选法. 根据分步计数原理，得到不同选法的种数为N=5×4×3×3=180. 例3 如图，要给①②③④四块区域分别涂上红、黄、蓝、绿、紫五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方法有多少种？ 知识记忆 2.1 计数原理 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 知识记忆 1.加法原理：完成一件事有n类办法，每类独立完成，方法数相加； 2.乘法原理：完成一件事有n个步骤，每步关联完成，方法数相乘； 3.核心区分：分类独立完成用加法，分步关联完成用乘法； 4.解题步骤：判断类型（分类/分步）→拆解方法数→计算结果→验证逻辑。 师生互动 2.1 计数原理 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 师生互动 1.概念辨析： 从书架上取一本书和从书架上取小说、散文、杂志各一本，分别用什么原理？ 答：取1本书用加法原理，各取1本用乘法原理。 2.计算抢答： （1）从5本小说、3本散文、6本杂志中取1本书，有多少种取法？ （2）从5本小说、3本散文、6本杂志中各取1本，有多少种取法？ 答：（1）5+3+6=14种； （2）5×3×6=90种。 当堂检测 2.1 计数原理 练习 解：（1）选1名社团代表，有4类办法，每类办法都能独立完成。 根据分类计数原理，总选法数为各类人数之和：12+9+7+8=36（种） （2）从每个社团各选1人组成联队，需要分4个步骤，每一步都不能独立完成。 根据分步计数原理，总选法数为各社团人数之积：12×9×7×8=6048（种） 例1 学校社团中，篮球社12人、足球社9人、羽毛球社7人、乒乓球社8人。 （1）从中任选1人作为社团代表，有多少种选法？ （2）从每个社团各选1人组成联队，有多少种选法？ 练习 例2 从赵、钱、孙、李4人中选2人，分别担任组长和副组长，有多少种不同安排？ 解：分2个步骤： 第一步，选组长，有4种不同选法； 第二步，选副组长，排除已选的组长，有3种不同选法； 根据分步计数原理，总安排数为两步选法数相乘： 4×3=12（种） 练习 例3 从A地到B地有3条不同的公路，从B地到C地有2条不同的公路，从C地到D地有4条不同的公路。如果从A地经B地、C地到D地，共有多少种不同的走法？ 解：从A地到D地，需要分3个步骤：A→B、B→C、C→D，每一步都不能独立完成。 根据分步计数原理，总走法数为各段路线数相乘： 3×2×4=24（种） 练习 例4 书店有文科类图书15种、理科类12种、工具类8种，从中任选1本，有多少种选法？ 解：任选1本书，有3类办法，分别是选文科类、理科类、工具类图书，每类办法都能独立完成。 根据分类计数原理，总选法数为各类图书种数之和： 15+12+8=35（种） 练习 例5 有6款上衣、5条裤子、4款帽子，各选一件搭配成套，有多少种搭配方式？ 解：搭配一套衣服，需要分3个步骤：选上衣、选裤子、选帽子，每一步都不能独立完成。 根据分步计数原理，总搭配数为各步骤选择数相乘： 6×5×4=120（种） 练习 例6 用数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？ 解：组成无重复数字的三位数，分3个步骤：确定百位、确定十位、确定个位。 第一步，确定百位，有4种选择（1、2、3、4）； 第二步，确定十位，排除已选的百位数字，有3种选择； 第三步，确定个位，排除已选的百位和十位数字，有2种选择； 根据分步计数原理，总个数为各步骤选择数相乘： 4×3×2=24（个） 课堂小结 2.1 计数原理 课堂小结 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) 1、核心原理 分类计数（加法）：类类独立，方法相加； 分步计数（乘法）：步步关联，方法相乘。 2、核心技能 判断类型：区分独立完成与关联完成； 拆解问题：分类或分步拆解方法数； 计算验证：确保计数无重复、无遗漏。 3、应用场景 人员选派、数字组数、路线计数、区域涂色等实际问题。 课后作业 2.1 计数原理 课后作业 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) ① 课本P41知识巩固 第1~2题 ②《同步练习》基础巩固、能力进阶 谢谢 THANKS $