第10卷 立体几何 2026年内蒙古自治区对口招生《数学45分钟模拟卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2026年内蒙古自治区对口招生《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年内蒙古自治区对口招生数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共15份试卷，本卷是内蒙古自治区对口招生《数学45分钟模拟卷》的第1卷，是专题模拟卷。 2026年内蒙古自治区对口招生 第10卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 1、 单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）. 1．一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由给定的三视图作出原几何体，再求出体积. 【详解】作出给定的三视图对应的几何体，如图：    该几何体是直三棱柱， 底面是等腰，且， 所以该几何体的体积. 故选：D. 2．已知是两条直线，是三个平面，则下列说法正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】若，则可能平行，可能相交，故A错误， 若，则，故B正确， 若，则可能平行，相交或异面，故C错误， 若，则可能平行，可能相交，故D错误， 故选：B. 3．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于O，取的中点M，则，可知（或其补角）为异面直线与所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，连接，交于O，取的中点M，连接， 易知O为的中点，所以， 则（或其补角）为异面直线与所成的角． 因为在长方体中，，， 所以， ， ， 所以，， 于是在中，由余弦定理得， 即异面直线与所成角的余弦值为 故选：C． 4．若直线，都平行于平面，则，的位置关系是（　　） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意，结合两条直线的位置关系判断即可. 【详解】若两直线，都在同一平面内，该平面平行于平面，两直线，都平行于平面， 那么直线，可能相交，可能平行； 当，是异面直线，也有可能两直线，都平行于平面， 所以若两直线，都平行于平面，则位置关系是可能平行、可能相交、可能异面. 故选：D. 5．如图，在四棱锥中，M，N分别为，上的点，且平面，则（    ）    A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【分析】根据异面直线的判定及线面平行的性质易得答案. 【详解】∵平面，平面，直线,平面， ∴异面，故A错误； ∵平面，平面，平面平面， ∴，故B正确； ∵平面，平面，直线,平面， ∴异面，故C错误； 故选：B. 6．已知正方体中，分别为，的中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先找出异面直线所成角为，再由余弦定理求值即可. 【详解】如图所示，取的中点，连接，， 因为为正方体， 所以，则（或其补角）为直线与所成角， 设，则，， 因为平面，平面，， 且 所以， 同理，平面，平面， 所以，， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为， 故选：C． 7．在正方体中，异面直线与所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与直线所成角概念求出答案即可. 【详解】    易知在正方体中，为等边三角形， 所以与所成角为，又因为， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 8．如图，在正方体中，，分别为棱和棱的中点，则异面直线与所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角即可得解. 【详解】 如图所示，连接，，， ∵分别为棱和棱的中点，∴//， 又//，∴为异面直线与所成的角， ∵，为正三角形， ∴， 则异面直线与所成的角为， 故选：. 2、 填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 9．如图，在正方体，直线与平面ABCD所成角的余弦值是         【答案】/ 【分析】根据线面所成角概念易得答案. 【详解】连接，由正方体的性质可知：平面， 由线面角的定义可知：是直线与平面所成角. 设正方体的棱长为1，底面是与正方形，故， 在中，， . 故答案为：.    10．如图，正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成角的大小为 ．    【答案】 【分析】根据题意，结合正四棱锥的几何特征，及线面角的概念，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】    由题意，在正四棱锥中，连接，交于点O，连接，则底面， 所以是侧棱与底面所成角， 因为, 所以, 所以，所以， 即侧棱与底面所成角的大小为. 故答案为：. 11．在长方体中，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 ． 【答案】 【分析】首先找出线面角，再求出长方体的高，再根据长方体的体积求解即可. 【详解】如图，连接． 长方体中，平面， 即为直线与平面所成的角，， 又，在中，， 在中，， ． 故答案为：. 12．已知：平面平面，，在上取线段，，分别在平面和平面内，且，，，，则 . 【答案】13 【分析】由平面与平面垂直的性质定理判断出直线与平面垂直及直线与直线垂直，再利用勾股定理得到CD的长. 【详解】如图，连接. ，，， 又， ，， 又，则. 在中，， 在中，. 故答案为：13. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）. 13．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，．    (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面后可得证线线垂直. （2）由棱锥体积公式计算即可． 【详解】（1）∵底面，平面， ∴，又∵底面为正方形， ∴，又，，平面， ∴平面，又平面， ∴. （2）∵平面， ∴是三棱锥的高， ∵， ∴ . 14．如图所示,在三棱柱中，平面为的中点.    (1)求证:平面. (2)若直线与平面所成的角为,求三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2)4. 【分析】（1）由线面垂直的判定与性质即可得解. （2）由线面角，线面垂直的性质及棱柱的体积公式即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面. 所以. 又因为,点为中点. 所以. 因为. 所以平面. （2）      如图所示连接. 因为是在平面内的射影，所以与平面的夹角为. 因为. 所以. 所以. 所以. 因为平面，平面. 所以. 又因为. 所以. 因为平面,平面. 所以. 所以. 三棱柱的体积为. 15．如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）由三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1） 如图所示，连接BD， 由是菱形，且知，是等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）因为平面，所以平面， 所以是三棱锥的高， 在等边三角形中，因为，所以， 所以， 所以. 16．在正方体中，E、F分别是、的中点，求：    (1)与面AC所成的角； (2)EF与BC所成的角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正方体的特征，找到与面所成的角，再再根据边的关系，求解即可； （2）先由平行直线的传递性确定异面直线所成的角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】（1）正方形中面， 所以与面所成的角为， 设正方体边长为1， 即， 所以，即， 则与面所成的角为. （2）在正方体－中，， 所以就是EF与面所成的角， 因为E、F分别是、的中点， 在中，， 故与所成的角为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年内蒙古自治区对口招生《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年内蒙古自治区对口招生数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共15份试卷，本卷是内蒙古自治区对口招生《数学45分钟模拟卷》的第1卷，是专题模拟卷。 2026年内蒙古自治区对口招生 第10卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）. 1．一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（    ）    A． B． C． D． 2．已知是两条直线，是三个平面，则下列说法正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．若直线，都平行于平面，则，的位置关系是（　　） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上都有可能 5．如图，在四棱锥中，M，N分别为，上的点，且平面，则（    ）    A． B． C． D．以上均有可能 6．已知正方体中，分别为，的中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，异面直线与所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，，分别为棱和棱的中点，则异面直线与所成的角为（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 9．如图，在正方体，直线与平面ABCD所成角的余弦值是          10．如图，正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成角的大小为 ．    11．在长方体中，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 ． 12．已知：平面平面，，在上取线段，，分别在平面和平面内，且，，，，则 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）. 13．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，．    (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 14．如图所示,在三棱柱中，平面为的中点.    (1)求证:平面. (2)若直线与平面所成的角为,求三棱柱的体积． 15．如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 16．在正方体中，E、F分别是、的中点，求：    (1)与面AC所成的角； (2)EF与BC所成的角． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $