【解答题专项】03概率-2026年江苏省职教高考《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年江苏省职教高考 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （三）概率 1．已知. (1)若，三角形三边边长分别为，且，求事件三角形为直角三角形的概率； (2)求事件恒成立的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，再求出满足事件的基本事件，结合古典概型的概率公式即可得解；. （2）先根据恒成立得到，即，再利用几何概型的概率公式即可得解. 【详解】（1）， ，，又， 以为边长的三角形为直角三角形时，， 或， ； （2）恒成立， ，， 又，，如图， 联立，解得，所以， 四边形面积， 面积， . 2．随着科技的不断进步，人形机器人被广泛应用于诸多领域．某企业购买了4台人形机器人从事某条流水线上的4项工作．假定4台机器人分别为甲、乙、丙、丁，4项工作按流程依次为．给每台机器人随机分配1项工作，且每项工作仅由1台机器人完成．求下列事件的概率： (1)甲恰好分配到D项工作； (2)乙和丙分配到的工作不相邻； (3)甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据排列数的应用求出基本事件总数，再求出事件A包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式(其中是基本事件总数，是事件A包含的基本事件数)计算概率； （2）根据题意，结合排列数的应用，利用捆绑法先求出乙和丙分配到的工作相邻的事件数，继而求得乙和丙分配到的工作不相邻的事件数，结合古典概率计算公式，即可求解； （3）根据题意，结合排列数的应用，先求得甲分配到项工作或丁分配到项工作的事件数，继而求得甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作的事件数，结合古典概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，4台机器人分配4项工作，总的分配方法数为种， 若甲恰好分配到项工作，那么剩下3台机器人分配剩下3项工作，方法数为种， 根据古典概型概率公式，甲恰好分配到D项工作的概率； （2）由题意，先求出乙和丙分配到的工作相邻的事件数．把乙和丙看作一个整体(捆绑法)， 与甲、丁全排列，有种排法，同时乙和丙之间有种排法， 所以乙和丙分配到的工作相邻的情况共有种； 那么乙和丙分配到的工作不相邻的事件数为种， 根据古典概型概率公式，乙和丙分配到的工作不相邻的概率为； （3）由题意，甲分配到项工作共有种； 丁分配到项工作有种； 甲分配到项工作且丁分配到项工作，有种； 所以甲分配到项工作或丁分配到项工作的事件数为种． 所以甲没有分配到项工作，且丁没有分配到项工作的情况数为种． 根据古典概型概率公式，甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作的概率为． 3．从某职业学校高三年级学生中随机抽取100名学生，将他们期末联考的英语成绩分成六段：，，……，后得到频率分布直方图. (1)求a的值并估计该校高三学生的英语平均成绩m. (2)若从考试成绩在和的同学中抽2名同学，求两位同学成绩在不同分数段的概率； (3)若，求事件的概率. 【答案】(1)0.03；71 (2) (3) 【分析】（1）分别求出各组的频率，根据频率之和为1列出方程即可求得a的值，再根据由频率分布直方图估计平均数的方法，即可求出m的值. （2）先利用总人数算出考试成绩在和的同学有多少人，再用组合数计算概率. （3）根据几何概型利用数形结合计算在中的面积占总面积的比即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组频率为， 所以， 解得，， 所以. （2）由图可知，考试成绩分别在和的同学分别有人和人， 因为从考试成绩在和的同学中抽2名同学， 设事件“两位同学成绩在不同分数段”， 所以. （3）因为事件，， 由（1）可知，， 所以即为， 即， 满足题意的部分如下图阴影部分. 由几何概型和数形结合可知， 事件的概率为. 4．已知关于的一次函数． (1)已知集合，，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数的图象经过第一、二、三象限的概率； (2)若实数，满足条件求函数是增函数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分析在集合中随机抽取数字作为和的事件总数，再分析图像经过第一、二、三象限时的、范围，得到事件数，即可求得概率. （2）根据、满足的约束条件，得到可行域的面积，再根据函数为单调增，得到的范围，求得新可行面积，根据几何概型即可求解. 【详解】（1）记事件{函数的图象经过第一、二、三象限}， 基本事件的全集元素个数为（个）， 当，时，函数图象经过一、二、三象限， 所以随机事件的构成集元素个数为（个）， 所以． 即事件发生的概率为． （2）记事件{函数为增函数}， 因为函数为增函数，所以， 实数，满足的条件组成的可行域表示为五边形， 时，用阴影部分表示，   ,, 所以． 事件发生的概率为． 5．若点在满足，的区域中等可能出现． (1)点的横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，求点落在上述区域内的概率； (2)求方程有两个实数根的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求解出事件的基本总数，再由古典概型概率公式求解即可. （2）由几何概型计算面积即可求解. 【详解】（1）p，q确定的区域如下图所示正方形．（图在下方） 设事件{点落在上述区域内} 点的不同结果总共有36个， 落在题中所述区域的点有共9个 ∴． ∴点落在上述区域内的概率是． （2）设事件{方程有两个实数根} 全部结果所构成的区域， 而事件B构成的区域 即（图中阴影部分所示）． ∴ ∴方程有两个实数根的概率为． 6．投掷一个质地均匀，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以朝上一面出现的数字依次作为点的横坐标和纵坐标. (1)求点落在区域：上的概率； (2)若以落在区域：上内的所有点为顶点作面积最大的多边形区域，在区域上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域上的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出点坐标，列出落在给定区域的坐标，利用概率公式求概率即可； （2）利用几何概型求概率即可 【详解】（1）如图，点坐标有：，，，，，，，，，共9种， 其中落在区域：，原点为圆心半径为的圆内的点的坐标有，，，，共4种， 故点落在区域：上的概率为. （2）如图，区域为一边长为2的正方形，其面积为， 区域为半径为的圆，所以面积为， 则豆子落在区域上的概率为. 7．已知袋子中放有大小和形状相同的小球4个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个．现从袋子中放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为m，第二次取出的小球标号为n． (1)记“”为事件A，求事件A发生的概率； (2)在区间中任取两个实数x，y，求事件“恒成立”发生的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型即可得解. （2）根据几何概型即可得解. 【详解】（1）记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有： 共16种， 其中满足“”的有4种：． 所以． （2）设“恒成立”为事件B， 则事件B等价于“恒成立”． 如图所示：   可以看成平面中的点坐标，则全部结果所构成的区域为. 而事件B构成的区域 所以． 8．已知， (1)若实数， ①求事件“”发生的概率； ②求事件“”发生的概率； (2)若实数，，求事件“”发生的概率. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）利用乘法计数原理求出所有可能的取法， ①利用向量垂直得到，通过列举法求出“”发生的基本事件数，利用古典概型即可求解； ②利用向量模长公式得到，通过列举法求出“”发生的基本事件数，利用古典概型即可求解； （2）利用向量内积公式得到，运用几何概型即可求解. 【详解】（1）因为，故所有可能的取法共种， ①要使，则， 即，所以的取法有种为， 则所求概率为； ②要使，则， 即，所以的取法有种为， 则所求概率为. （2）要使，则，即， 由几何概型得所求概率为. 9．已知向量，． (1)若，在集合中取值，求满足的概率； (2)若，在区间内取值，求满足的概率． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合平面向量的内积的坐标表示及古典概型公式即可得解. （）根据题意作出图像结合几何概型公式即可得解. 【详解】（1）向量，， ，则， ，在集合中取值，共有种情形， 则满足包含的基本事件为共种情形， 所以概率为. （2）   ，在区间内取值，则， 满足的基本事件为， 作出图像可知，正方形面积为， 当时，，解得，则， 当时，，解得，则， 所以阴影部分面积为， 所以概率为. 10．设关于的一元二次方程． (1)若是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率； (2)若是从区间内任取的一个数，，求上述方程没有实根的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先做出方程没有实根的充要条件，列举出试验发生的所有事件，看出符合条件的事件，根据古典概型公式得到结果． （2）根据前面做出的方程没有实根的充要条件，写出试验发生的所有事件包含的元素，和符合条件的元素的集合，根据几何概型公式得到结果． 【详解】（1）设事件A为“方程无实根”. 当时，方程无实根， 则，即. 基本事件共12个：. 其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值. 事件A包含3个基本事件， ∴事件A发生的概率为 （2）试验的所有基本事件所构成的区域为：， 由方程无实根， 则，又，解得 其中构成事件A的区域为， ∴所求概率为. 11．从某职业学校高三年级学生中随机抽取100名学生，将他们期末联考的英语成绩分成六段：后得到频率分布直方图（如图所示）． (1)求的值并估计该校高三学生的英语平均成绩； (2)若从考试成绩在和的同学中抽2名同学，求两位同学成绩在不同分数段的概率； (3)若，求事件的概率． 【答案】(1)；71 (2) (3) 【分析】（1）利用各分段的总频率和为1建立方程求得，再利用频率分布直方图的平均值求法求解即可； （2）先求出考试成绩在和的同学个数，根据古典概率的计算方法求解即可； （3）先将（1）中得到的代入，再求解函数的可行域，结合几何概率的计算方法，即可求解． 【详解】（1）由题意可知，组距为10， ， ， 高三学生的英语平均成绩为， ， 即a的值是，该校高三学生的英语平均成绩为71； （2）考试成绩在的人数为， 考试成绩在的人数为， . 即若从考试成绩在和的同学中抽2名同学，两位同学成绩在不同分数段的概率为； （3）， 等效于， 可行域为满足不等式组围成的区域， ， 若，事件的概率为． 12．解答下列各题： (1)设集合，集合，从集合A和集合B中随机取一个数分别作为m，n的值，求函数是增函数的概率； (2)若a是从区间中任取的一个数，b是从区间中任取的一个数，二次函数，求函数在区间上是增函数的概率． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）记“函数是增函数”为事件，根据分步计数原理，可得从集合A和集合B中随机取一个数的总数，根据一次函数的单调性，列举可得事件的结果数，利用古典概型计算公式可求解； （2）设“函数在区间上是增函数”为事件，根据二次函数的性质，可得，作出不等式组对应的平面区域，求出相应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 【详解】（1）集合，集合，从集合A和集合B中随机取一个数分别作为m，n的值， 抽取的全部结果的基本事件总数：． 记“函数是增函数”为事件，则在事件中满足， 包括，，，，，，共6种结果． 则． 所以函数是增函数的概率为． （2）实数a，b从区间上任取一数满足的区域面积为． 设“函数在区间上是增函数”为事件， 则事件B满足，得， 构成事件B的区域为表示的区域，如图所示． 面积为． 则， 所以函数在区间上是增函数的概率为． 13．设关于的一元二次方程为. (1)若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得“方程有实根”的等价条件为，再利用古典概型的求解方法即可得解； （2）结合（1）中结论，利用几何概型即可得解. 【详解】（1）记事件为“方程有实根”， 当，时，方程有实根的充要条件为，即， 因为选择的基本事件共有12个：，，，，，， ，，，，，， 其中事件中包含9个基本事件：，，，，，，，，， 所以事件发生的概率为. （2）试验的全部结果所构成的区域为， 构成事件的区域为，如图， 则所求的概率为. 14．一个盒子中装有4个大小相同，编号依次为1，2，3，4的小球，现从中摸取一个球，放回后再摸取一个球. (1)求事件“取出的两球号码之和不小于5”的概率； (2)设第一次取出的球的号码为，第二次取出的球的号码为，求事件“点落在直线上”的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出所有的样本空间，再求出所求事件的个数，再求概率. （1）根据（1）的样本空间，再求出所求事件的个数，再求概率. 【详解】（1）样本空间为， ，共有16个样本点， 设事件取出的两球号码之和不小于5， 则事件包含的样本点有， ，共10个， . （2）设事件点落在直线上， 则事件包含的样本点有，共3个. . 15．一个袋中装有四个形状，大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4． (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取出一个球，该球的编号为，将球放回袋中，再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的编号之和不大于4的事件有两个，两种情况，求比值即可. （2）有放回的取球根据分步计数原理可知有16种结果，再列举满足条件的结果，即可求解. 【详解】（1）设“从袋中随机取两个球，取出的球的编号之和不大于4”为事件， 样本空间为，共有6个样本点． 事件包含的样本点有，，共有2个， ． （2）设“”为事件，样本空间为， 共有16个样本点， 事件包含的样本点有，，，，，，，，，，共有10个， ． 16．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是. (1)求n的值. (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b. ①记“”为事件A，求事件A发生的概率； ②在区间内任取两个实数x，y，求事件“恒成立”发生的概率. 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】（1）由标号为2的小球的概率为，可知2号小球占球总数的一半，从而得解. （2）①由计算可知0号球1个，1号球1个，2号球2个，分别做标记为s、t、k、h.则不放回的抽取可一一列出来，再根据已知条件可解；②事件可等价于，可以看成平面中的点的坐标，从而根据几何概型进行计算即可. 【详解】（1）依题意，得. （2）①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球分别为k，h， 则不放回地取出2个小球的可能情况有：种，其中 满足“”的有4种：，，，， 所以所求概率为. ②记“恒成立”为事件B， 则事件B等价于恒成立”， 可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为 而事件B构成区域 所以所求的概率为. 17．（1）已知关于的二次函数．设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率； （2）在区间和上分别取一个数，记为，，求方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率． 【答案】（）；（）. 【分析】（）函数在区间上为增函数确定与的数量关系，利用古典概型公式求出概率即可得解. （）根据题意列出不等式组，画出满足不等式组的平面区域，利用面积比即可得解. 【详解】（）因为函数，对称轴为. 函数在上为增函数. 所以即且. 集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，共有种选法. 其中符合题意得有；；；；；有种选法. 所以概率为. （）方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆. 所以 因为，，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示. 所以概率为. 18．设关于的一元二次方程. (1)设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子向上的点数分别为,,求上述方程有实根的概率, (2)若是从区间上任取的一个数,是从区间上任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 【答案】(1). (2). 【分析】（）由古典概型的应用即可得解. （）由几何概型的应用即可得解. 【详解】（1）设事件{一元二次方程有实根}. 因为抛掷两枚质地均匀的正方体骰子向上的点数分别为,. 所以一元二次方程有实根即为. 基本事件共有个，事件中包含个基本事件. 所以. 所以一元二次方程有实根的概率为. （2）试验的全部结果所构成的区域为， 即如图的阴影区域所示， 所以所求的概率为. 19．已知，． (1)若，求事件“”发生的概率； (2)若，，求事件“”发生的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举出满足的m和n的值，再由古典概型概率公式求解即可. （2）作出满足的区域，由几何概型概率公式求解即可. 【详解】（1）若，则m和n的所有可能取法有， 若，则有， 所以，即， 满足的有，共3种， 由古典概型可知，所以事件“”发生的概率. （2）因为，所以，即， 因为，，所以表示的区域如图所示为阴影部分，    由几何概型可知，事件“”发生的概率为. 20．求下列各题的概率： (1)已知，直线：，，求直线的概率. (2)记函数的定义域为D，若在上随机取一个数x，求的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出满足条件的的值，由古典概型计算直线的概率； （2）求函数的定义域，要根据几何概型公式求解. 【详解】（1）设“直线”为事件A， 因为，所以基本事件总数有36个， 又由得，即， 所以的基本事件有共3个， 故所求. （2）记“”为事件B， 函数需满足，得， 由几何概型公式得 21．盒内有大小相同的3个小球，上面分别标有数字；现从盒中摸出一个球，得到球上的数字作为点的横坐标，然后将球放回；再从盒中摸出一个球，得到球上的数字作为点的纵坐标.记所表示的平面区域为. (1)求点落在区域内的概率； (2)若以落在区域内的所有点为顶点作面积最大的多边形区域，现向区域内随意撒一粒芝麻，求芝麻落在区域内的概率.（忽略芝麻的大小） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可. （2）根据几何概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 的坐标有，，，，，，，，， 共9种， 其中落在区域内的点有，，，，有4种， 所以. （2）如图所示， 落在区域区域内的所有点为顶点作面积最大的多边形为1的正方形，其面积为1， 而区域是一个半径为4的圆，圆的面积为， 所以.    22．已知曲线：，其中是从集合中任取的一个数，是从集合中任取的一个数． (1)求“曲线表示圆”的概率； (2)若，，在此曲线上随机取一点，求“点位于第三象限”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据曲线C表示圆的条件，列举出满足事件A的，再利用古典概型进行求解即可. （2）先由题意写出曲线C，求出圆心和半径，由题意画出图形，利用几何概型进行求解即可. 【详解】（1）设事件{曲线C表示圆}， 因为，， 所以基本事件的总数为， 曲线C：表示圆的条件是，即， 所以满足事件A的有，，，共4个， 所以，所以.曲线C表示圆的概率为. （2）当，，在此曲线为， 即表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心到轴的距离为1， ，为圆与轴的两交点，则. 设事件{点在第三象限}，由得， 所以， 所以点Q位于第三象限的概率为. 23．已知函数. (1)若都是集合中任取的一个数,求方程有实根的概率. (2)若都是从区间上任取的一个数,求成立时的概率. 【答案】(1). (2). 【分析】（）由古典概型的应用即可得解. （2）由几何概型的应用即可得解. 【详解】（1）设方程有实根为事件. 由题意得:. 满足条件的有:共7个. 所以. 方程有实根的概率是. （2）设成立为事件. 由题意得:. 因为. 所以点构成的区域是边长为的正方形区域. 满足的点构成的区域是图中阴影部分. 求得点,点. ∴. 所以成立时的概率是. 24．在区间上任取一个数记为a，在区间上任取一个数记为b. (1)若，求直线的斜率的概率； (2)若，求直线的斜率的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出基本事件总数，列举出满足条件的基本事件，根据古典概型的概率公式即可解得. （2）根据已知画出图形，由几何概型即可解得. 【详解】（1）由题，， 则，， 基本事件总数为， 直线的斜率，即， 满足条件的基本事件（写为的形式）有：共个， 则直线的斜率的概率为：. （2）由题，， 且直线的斜率，即，    如图，， 阴影部分面积， 则直线的斜率的概率为    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年江苏省职教高考 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （三）概率 1．已知. (1)若，三角形三边边长分别为，且，求事件三角形为直角三角形的概率； (2)求事件恒成立的概率. 2．随着科技的不断进步，人形机器人被广泛应用于诸多领域．某企业购买了4台人形机器人从事某条流水线上的4项工作．假定4台机器人分别为甲、乙、丙、丁，4项工作按流程依次为．给每台机器人随机分配1项工作，且每项工作仅由1台机器人完成．求下列事件的概率： (1)甲恰好分配到D项工作； (2)乙和丙分配到的工作不相邻； (3)甲没有分配到G项工作，且丁没有分配到D项工作． 3．从某职业学校高三年级学生中随机抽取100名学生，将他们期末联考的英语成绩分成六段：，，……，后得到频率分布直方图. (1)求a的值并估计该校高三学生的英语平均成绩m. (2)若从考试成绩在和的同学中抽2名同学，求两位同学成绩在不同分数段的概率； (3)若，求事件的概率. 4．已知关于的一次函数． (1)已知集合，，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数的图象经过第一、二、三象限的概率； (2)若实数，满足条件求函数是增函数的概率． 5．若点在满足，的区域中等可能出现． (1)点的横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，求点落在上述区域内的概率； (2)求方程有两个实数根的概率． 6．投掷一个质地均匀，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以朝上一面出现的数字依次作为点的横坐标和纵坐标. (1)求点落在区域：上的概率； (2)若以落在区域：上内的所有点为顶点作面积最大的多边形区域，在区域上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域上的概率. 7．已知袋子中放有大小和形状相同的小球4个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个．现从袋子中放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为m，第二次取出的小球标号为n． (1)记“”为事件A，求事件A发生的概率； (2)在区间中任取两个实数x，y，求事件“恒成立”发生的概率． 8．已知， (1)若实数， ①求事件“”发生的概率； ②求事件“”发生的概率； (2)若实数，，求事件“”发生的概率. 9．已知向量，． (1)若，在集合中取值，求满足的概率； (2)若，在区间内取值，求满足的概率． 10．设关于的一元二次方程． (1)若是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率； (2)若是从区间内任取的一个数，，求上述方程没有实根的概率． 11．从某职业学校高三年级学生中随机抽取100名学生，将他们期末联考的英语成绩分成六段：后得到频率分布直方图（如图所示）． (1)求的值并估计该校高三学生的英语平均成绩； (2)若从考试成绩在和的同学中抽2名同学，求两位同学成绩在不同分数段的概率； (3)若，求事件的概率． 12．解答下列各题： (1)设集合，集合，从集合A和集合B中随机取一个数分别作为m，n的值，求函数是增函数的概率； (2)若a是从区间中任取的一个数，b是从区间中任取的一个数，二次函数，求函数在区间上是增函数的概率． 13．设关于的一元二次方程为. (1)若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 14．一个盒子中装有4个大小相同，编号依次为1，2，3，4的小球，现从中摸取一个球，放回后再摸取一个球. (1)求事件“取出的两球号码之和不小于5”的概率； (2)设第一次取出的球的号码为，第二次取出的球的号码为，求事件“点落在直线上”的概率. 15．一个袋中装有四个形状，大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4． (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取出一个球，该球的编号为，将球放回袋中，再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率． 16．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是. (1)求n的值. (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b. ①记“”为事件A，求事件A发生的概率； ②在区间内任取两个实数x，y，求事件“恒成立”发生的概率. 17．（1）已知关于的二次函数．设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率； （2）在区间和上分别取一个数，记为，，求方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率． 18．设关于的一元二次方程. (1)设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子向上的点数分别为,,求上述方程有实根的概率, (2)若是从区间上任取的一个数,是从区间上任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 19．已知，． (1)若，求事件“”发生的概率； (2)若，，求事件“”发生的概率． 20．求下列各题的概率： (1)已知，直线：，，求直线的概率. (2)记函数的定义域为D，若在上随机取一个数x，求的概率. 21．盒内有大小相同的3个小球，上面分别标有数字；现从盒中摸出一个球，得到球上的数字作为点的横坐标，然后将球放回；再从盒中摸出一个球，得到球上的数字作为点的纵坐标.记所表示的平面区域为. (1)求点落在区域内的概率； (2)若以落在区域内的所有点为顶点作面积最大的多边形区域，现向区域内随意撒一粒芝麻，求芝麻落在区域内的概率.（忽略芝麻的大小） 22．已知曲线：，其中是从集合中任取的一个数，是从集合中任取的一个数． (1)求“曲线表示圆”的概率； (2)若，，在此曲线上随机取一点，求“点位于第三象限”的概率． 23．已知函数. (1)若都是集合中任取的一个数,求方程有实根的概率. (2)若都是从区间上任取的一个数,求成立时的概率. 24．在区间上任取一个数记为a，在区间上任取一个数记为b. (1)若，求直线的斜率的概率； (2)若，求直线的斜率的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $