中考一轮复习06分式方程知识归纳与考点专练2025-2026学年人教版数学九年级下册（八考点）

中考一轮复习06分式方程知识归纳与考点专练2025-2026 学年人教版九年级下册（八考点） 知识归纳： 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2．分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③解整式方程； ④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3．增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 4．分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程； ⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答． 考点专练： 考点一；分式方程的相关概念 1.代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．有下列方程：①2x+=10；②x-；③；④．属于分式方程的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 考点二：由分式方程的解求参数 1.已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2.下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 3.若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．16 D．14 4．当＝______时，关于的方程的根是1． 考点三：解分式方程 1．分式方程的解是_____． 2．方程的解为___________． 3.解方程： 4．解方程：． 5．解方程： 6．解分式方程：． 考点四：由分式方程无解或存在增根求参数 1.关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5 2.若分式方程有增根，则m的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 3.若关于的分式方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4.若关于y的分式方程有解，且关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 考点五：由分式方程的取值范围求参数 1.若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2.关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 3.已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4.若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ） A．3 B．5 C．3或5 D．3或4 5.若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 考点六：行程问题 1.随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　） A．-=20 B．-=20 C．-= D．= 3.某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4.学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度． 考点七：工程问题 1.用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（    ） A． B． C． D． 3.某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（   ） A． B． C． D． 4.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做个零件，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 5.为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠． (1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？ (2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？ 考点八：销售问题 1.端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同，设豆沙粽每盒的进价为x元，可列方程为（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 2.为了进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 3.学校用360元钱到商场去购买消毒液，经过还价，每瓶便宜1元，结果比用原价多买了18瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶x元，则可列出方程为 　　． 4.某校足球队需购买、两种品牌的足球．已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高20元，且用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等． （1）求、两种品牌足球的单价； （2）若足球队计划购买、两种品牌的足球共90个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】 中考一轮复习06分式方程知识归纳与考点专练2025-2026 学年人教版九年级下册（八考点） 知识归纳： 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2．分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③解整式方程； ④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3．增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 4．分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程； ⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答． 考点专练： 考点一；分式方程的相关概念 1.代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 2．有下列方程：①2x+=10；②x-；③；④．属于分式方程的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 考点二：由分式方程的解求参数 1.已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 2.下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3.若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．16 D．14 【答案】B 4．当＝______时，关于的方程的根是1． 【答案】； 考点三：解分式方程 1．分式方程的解是_____． 【答案】 2．方程的解为___________． 【答案】 3.解方程： 【答案】x=3． 【解析】解：去分母得， 解得，x=3， 经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3． 4．解方程：． 【答案】x＝﹣1 【详解】解：， 2x＝x﹣2+1， x＝﹣1， 经检验x＝﹣1是原方程的解， 则原方程的解是x＝﹣1． 5．解方程： 【答案】3 【解析】，去分母得：，解得：． 检验：把代入中，得，∴是分式方程的根． ． 6．解分式方程：． 【答案】x＝． 【解析】解：方程，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，移项得：-5x=-4， 系数化为1得：x＝，经检验x＝是分式方程的解． 考点四：由分式方程无解或存在增根求参数 1.关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5 【答案】A 2.若分式方程有增根，则m的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 3.若关于的分式方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 4.若关于y的分式方程有解，且关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】26 考点五：由分式方程的取值范围求参数 1.若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 2.关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 3.已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 4.若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ） A．3 B．5 C．3或5 D．3或4 【答案】D 5.若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】13 考点六：行程问题 1.随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　） A．-=20 B．-=20 C．-= D．= 【答案】C 3.某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4.学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度． 【答案】张老师骑车的速度为千米/小时 【详解】解：设张老师骑车的速度为千米/小时，则汽车速度是千米/小时， 根据题意得：，解之得， 经检验是分式方程的解， 答：张老师骑车的速度为千米/小时． 考点七：工程问题 1.用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 4.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做个零件，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 5.为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠． (1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？ (2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？ 【答案】(1)100米(2)90米 (1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米， 则有解得 ∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米． (2)∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同 ∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米) 乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米) 解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，即1.2y米 则有解得 经检验，是原方程的解，符合题意 ∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米． 考点八：销售问题 1.端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同，设豆沙粽每盒的进价为x元，可列方程为（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】B。 2.为了进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.学校用360元钱到商场去购买消毒液，经过还价，每瓶便宜1元，结果比用原价多买了18瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶x元，则可列出方程为 　　． 【答案】﹣＝18。 4.某校足球队需购买、两种品牌的足球．已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高20元，且用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等． （1）求、两种品牌足球的单价； （2）若足球队计划购买、两种品牌的足球共90个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元； （2）该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元． 【解析】解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，得解得：x=100经检验x=100是原方程的解x-20=80 答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元． （2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，则W=100m+80(90-m)=20m+7200 ∵品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元． ∴解不等式组得：60≤m≤65 所以，m的值为：60,61,62,63,64,65即该队共有6种购买方案， 当m=60时，W最小 m=60时，W=20×60+7200=8400(元) 答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元． 学科网（北京）股份有限公司 $