中考一轮复习05一元二次方程知识归纳与考点专练2025-2026学年人教版数学九年级下册（五考点）

中考一轮复习05一元二次方程知识点归纳与考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（五考点） 知识归纳： 一、一元二次方程的概念 1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． 注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2． 二、一元二次方程的解法 1．直接开平方法：适合于或形式的方程． 2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． 2．一元二次方程根的情况与判别式的关系 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根； （3）当时，方程没有实数根． 3．根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，． 四、利用一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容． 1．增长率等量关系 （1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有． 2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． 3．面积问题 （1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． （2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． （3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3 4. 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分. ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场. ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠. ∴m= 考点专练： 考点一：一元二次方程的概念与解 1.下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2.若xm+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3.方程2x2-3x=2的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3和2 B．-3和2 C．3和-2 D．-3和-2 4.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 5.如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 考点二：解一元二次方程 1.把方程化为的形式，则的值是（ ） A．7 B．3 C． D．6 2.用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 3.一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 4.解下列方程： (1)(2) 5.解方程： (1)；(2)． 考点三：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 2.对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 3.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 4.已知关于x的方程． (1)当取何值时，方程有两个相等的实数根； (2)为选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根． 考点四：一元二次方程的根与系数的关系 1.若一元二次方程的两根为，，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 2.若，是方程的两个不同的根，则 ． 3.关于x的一元二次方程有两个实数根，，并且． (1)求实数m的取值范围； (2)满足，求m的值． 考点五：一元二次方程应用题 1.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3.某小型企业一月份的营业额为200万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额为1000万元．设月平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则依题意可列方程为_____． 5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 　 个． 6.现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为． (1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？ (2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由． 7.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】 中考一轮复习05一元二次方程知识点归纳与考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（五考点） 知识归纳： 一、一元二次方程的概念 1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． 注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2． 二、一元二次方程的解法 1．直接开平方法：适合于或形式的方程． 2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． 2．一元二次方程根的情况与判别式的关系 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根； （3）当时，方程没有实数根． 3．根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，． 四、利用一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容． 1．增长率等量关系 （1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有． 2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． 3．面积问题 （1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． （2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． （3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3 4. 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分. ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场. ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠. ∴m= 考点专练： 考点一：一元二次方程的概念与解 1.下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.若xm+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 3.方程2x2-3x=2的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3和2 B．-3和2 C．3和-2 D．-3和-2 【答案】D 4.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】C 5.如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 考点二：解一元二次方程 1.把方程化为的形式，则的值是（ ） A．7 B．3 C． D．6 【答案】B 2.用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 【答案】C 3.一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4.解下列方程： (1)(2) 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：由题可得：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， 或， ∴，． 5.解方程： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴； （2） ∴． 考点三：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 【答案】A 2.对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 【答案】B 3.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】2 4.已知关于x的方程． (1)当取何值时，方程有两个相等的实数根； (2)为选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根． 【答案】(1)(2)取，， 【详解】（1）解：由题意知：，解得：． ∴当时，方程有两个相等的实数根． （2）解：方程有两个不相等的实数根，即，解得， 可取（不唯一）， 当时，原方程方程为，解得， ． 考点四：一元二次方程的根与系数的关系 1.若一元二次方程的两根为，，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 2.若，是方程的两个不同的根，则 ． 【答案】 3.关于x的一元二次方程有两个实数根，，并且． (1)求实数m的取值范围； (2)满足，求m的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，，并且， ∴， ∴； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 考点五：一元二次方程应用题 1.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 2.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.某小型企业一月份的营业额为200万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额为1000万元．设月平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则依题意可列方程为_____． 【答案】（1+x）+x（1+x）=100． 5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 　 个． 【答案】8． 6.现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为． (1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？ (2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由． 【答案】(1)能，的长为，的长为；或的长为，的长为； (2)不能围成面积为的仓库，理由见解析 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得：， 解得：或， ∵， ∴和都满足题意， ∴当时，； 当时，； ∴当，能围成总面积为的仓库，的长为，的长为；或的长为，的长为； （2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下： 设，则， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库． 7.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】解：设每件童装应降价x元， 由题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200， 解得：x=10或x=20． 因为减少库存，所以应该降价20元． 学科网（北京）股份有限公司 $