专题04：导数研究极值与最值【寒假预习讲义】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【专题04：导数研究极值与最值】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：导函数图像与极值最值的关系】 【练方法】 知识点： 1.极值点的判定：若处，且在两侧变号，则为极值点 2.极值与导函数符号：左正右负→极大值；左负右正→极小值；不变号→不是极值点 3.最值：闭区间上的最值在极值点或端点处取得 考点： 由导函数图像判断原函数的单调性、极值点个数及类型 由导函数图像判断原函数的最值位置 极值与最值的概念辨析 解题思路： 1.看导函数图像与轴的交点，即的根（驻点） 2.看驻点左右的符号：左正右负→极大值点；左负右正→极小值点 3.结合区间端点函数值，比较极值与端点值，确定最值 【多选题】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数的导函数的图象如下图所示，则（   ）经典例题1例题 A．函数的图象在处的切线斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．当时，函数取得极值 D．当时，函数取得极值 【多选题】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ）经典例题2例题 A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 【多选题】（25-26高三上·河北邢台·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀1 A．可能有三个极值点 B．若，则在上单调递减 C．若，则的极大值点为 D．若，则 （2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ）小试牛刀2 A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 （24-25高二下·天津武清·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ）小试牛刀3 A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【题型2：求已知函数的极值/极值点】 【练方法】 知识点： 1.极值的定义：在附近，若，则为极大值；若，则为极小值 2.极值点的必要条件：或不存在 3.极值点的充分条件：在两侧变号（或二阶导数） 考点： 求函数的极值点和极值 区分极值点与驻点（驻点不一定是极值点） 极值的计算与符号判断 解题思路： 1.求导，解方程，找出所有驻点和不可导点 2.列表分析在各区间的符号，判断单调性 3.由单调性变化，确定极值点和极值 （2026高三·北京·专题练习）已知函数（）.经典例题1例题 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； （25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直.经典例题2例题 (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. （25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数，则的极小值点为 .小试牛刀1 （25-26高二上·湖南长沙·月考）函数的极大值点为（   ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． （25-26高三上·重庆·月考）已知函数，．小试牛刀3 (1)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (2)判断的极值点个数并说明理由． 【题型3：由极值/极值点求参数】 【练方法】 知识点： 1.极值点的必要条件： 2.极值的定义：是极值，需满足在两侧变号 3.参数与极值的关系：参数影响导函数的零点及符号变化 考点： 已知极值/极值点，反求函数中的参数 验证极值的充分条件（避免增解） 解题思路： 1.由极值点必要条件列方程，求出参数的初步值 2.代入原函数，验证在两侧是否变号（或用二阶导数验证） 3.舍去不满足极值条件的参数解 （25-26高三上·广西河池·期末）若是函数的极值点，则的极小值为 .经典例题1例题 （25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ）经典例题2例题 A． B．1 C．3 D．1或3 （25-26高三上·河北邢台·期末）已知函数为其一个极值点，且，则 ．小试牛刀1 （25-26高二上·江苏宿迁·期末）设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （26-27高二上·重庆·期末）已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：求已知函数的最值】 【练方法】 知识点： 1.闭区间最值：连续函数在闭区间上必有最值，且在极值点或端点处取得 2.开区间最值：不一定存在，需结合单调性判断 3.最值与极值的关系：最值是全局概念，极值是局部概念 考点： 求闭区间上的最值 求开区间或无穷区间上的最值 最值的计算与比较 解题思路： 1.求导，找出区间内的驻点和不可导点 2.计算这些点及区间端点的函数值 3.比较所有函数值，最大的为最大值，最小的为最小值 （2026高三·全国·专题练习）函数在上的值域为 ．经典例题1例题 （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数．经典例题2例题 (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． （25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，求：小试牛刀1 (1)的单调区间； (2)在上的最小值和最大值. （25-26高二上·云南昭通·期末）已知函数，则当时，的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·山东临沂·期末）已知函数的图像经过点.小试牛刀3 (1)求； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【题型5：由函数的最值求参数】 【练方法】 知识点： 1.最值的定义：（或）对区间内所有成立，且存在使等号成立 2.参数影响函数的单调性、极值，从而影响最值 考点： 已知最值，反求函数中的参数 最值条件下的参数范围判断 解题思路： 1.先求函数的最值表达式（含参数） 2.令最值等于已知值，解方程求参数 3.验证参数对应的函数是否确实在该点取得最值（必要时用单调性验证） （2025·四川德阳·一模）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称.经典例题1例题 (1)求； (2)若的最小值是2，求. （2026高三·全国·专题练习）已知函数．若在上的最小值为，求的取值范围．经典例题2例题 （25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数，.小试牛刀1 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若在内的最大值为2，求的值. （25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知函数．小试牛刀2 (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值； (3)若，求的取值范围． （2025高三·全国·专题练习）已知函数，在区间上的最小值为，求实数的取值范围．小试牛刀3 【B·能力提升题型】 【题型1：含参函数的极值分析】 【练方法】 知识点： 1.含参函数：中含有参数（如） 2.参数影响导函数的零点个数及符号变化，从而影响极值的个数和位置 3.分类讨论：根据参数的不同取值，讨论的零点及单调性 考点： 对参数进行分类讨论，分析极值的个数和类型 含参函数的单调性与极值的综合判断 解题思路： 1.求导，解方程，得到根与参数的关系 2.根据根的个数、大小关系，对参数进行分类讨论 3.每一类中，列表分析单调性，确定极值的个数和类型 （25-26高三上·山东·月考）已知函数．经典例题1例题 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． （25-26高三上·北京东城·期中）已知函数.经典例题2例题 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的极值点的个数； (3)若函数在区间上有唯一零点，证明：. （2025高三·全国·专题练习）已知，．小试牛刀1 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. （25-26高三上·上海·期中）已知，．小试牛刀2 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． （2025高三·全国·专题练习）设函数，其中为常数．若函数的有极值点，求：小试牛刀3 (1)实数的取值范围； (2)的极值点． 【题型2：由极值/极值点个数求参数范围】 【练方法】 知识点： 1.极值点个数=的变号零点个数 2.的零点个数由导函数的图像与轴交点个数决定 3.利用导数研究的单调性、极值，判断其零点个数 考点： 由极值点个数，反求参数的取值范围 分类讨论与数形结合思想 解题思路： 1.求，将极值点个数问题转化为的变号零点个数问题 2.研究的单调性、极值，判断其零点个数与参数的关系 3.由零点个数条件，解不等式求参数范围 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．经典例题1例题 （2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数.经典例题2例题 (1)若，求实数的值； (2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围. （25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 .小试牛刀1 （25-26高三上·河南·月考）已知函数．小试牛刀2 (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是 .小试牛刀3 【题型3：函数的最值模型的应用】 【练方法】 知识点： 1.实际问题中的最值：如面积最大、费用最少、利润最大等 2.建模步骤：将实际问题转化为函数，确定定义域 3.利用导数求最值：若函数在定义域内只有一个极值点，则该极值即为最值 考点： 建立函数模型，利用导数求最值 实际问题中定义域的确定（易错点） 最值的实际意义解释 解题思路： 1.审题，设变量，建立函数，确定定义域 2.求导，找极值点 3.若只有一个极值点，直接判断为最值；若有多个，比较函数值 4.结合实际意义，给出最值的合理解释 （25-26高二上·山西·月考）如图，周长为的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，（   ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．3 D． （25-26高二上·福建厦门·期末）在三棱锥中，，，且直线与平面所成的角为.若，则长度的取值范围为 .当变化时，三棱锥体积的最大值为 .经典例题2例题 （2026·河南南阳·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，是等腰直角三角形，，记三棱锥的内切球半径为，点到平面的距离为，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．5 （2026·山东济南·一模）已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为 .小试牛刀3 【C·拓展培优题型】 【题型1：极值点偏移】 【练方法】 知识点： 1.极值点偏移：若函数有两个零点，极值点为，若，则称极值点偏移 2.偏移的本质：函数图像在极值点两侧的单调性不对称 3.常用方法：构造对称函数，利用单调性证明不等式 考点： 判断极值点偏移的方向（左偏/右偏） 利用偏移证明不等式（如） 与函数单调性、导数的综合 解题思路： 1.确定极值点，设 2.构造对称函数，求导判断单调性 3.利用单调性得到（或）的符号，推导出与的大小关系 （2025高二·全国·专题练习）已知函数，.当，，是方程的两个根，求证：.经典例题1例题 （2025高二·全国·专题练习）已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，.经典例题2例题 (1)求m的取值范围； (2)证明：. （2025高三·全国·专题练习）已知函数．若关于的方程在内有两个根，证明：．小试牛刀1 （25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数．小试牛刀2 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在上的值域； (3)若关于的方程在内有两个根，证明：． （24-25高二下·江苏扬州·月考）已知函数，，是自然对数的底数.小试牛刀3 (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 【题型2：不等式的恒成立与有解问题】 【练方法】 知识点： 1.恒成立：对所有成立 2.有解：在上有解 3.含参不等式：转化为最值问题，利用导数求最值 考点： 将不等式问题转化为最值问题 利用导数求函数最值，解决恒成立/有解问题 分类讨论与参数范围求解 解题思路： 1.分离参数（若可行）：恒成立 2.若不能分离参数，构造，求的最值 3.由最值与0的关系，解不等式求参数范围 （2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为 .经典例题1例题 （2025高二·全国·专题练习）已知函数对任意有成立，则k的最小值为 ．经典例题2例题 （25-26高三上·广东惠州·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为 ．小试牛刀1 （25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是 .小试牛刀2 （25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数，若在上恒成立，则实数取到的最大整数值为 .小试牛刀3 【题型3：三次函数的极值与最值】 【练方法】 知识点： 1.三次函数一般形式： 2.导函数为二次函数： 3.极值个数：由判别式决定 ：两个极值点（一极大一极小） ：一个驻点（非极值点） ：无极值点 考点： 三次函数的极值个数判断 三次函数在闭区间上的最值求解 与二次函数、方程根的分布的综合 解题思路： 1.求导，计算判别式，判断极值个数 2.若有极值点，求出极值，再结合区间端点函数值，确定最值 3.若无极值点，函数单调，最值在端点处取得 【多选题】（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数，是的一个极值点，则（   ）经典例题1例题 A． B．的图像在点处的切线方程为 C．若方程有一个解，则 D． 【多选题】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若函数，则（    ）经典例题2例题 A．在上单调递减 B．有且仅有两个极值点 C．只有一个零点 D．当时，的值域为 【多选题】（26-27高二上·重庆·期末）已知函数，若关于的方程恰有三个不同实根且满足，则下列说法正确的有（   ）小试牛刀1 A．的极小值为 B． C．为定值 D．的取值范围为 【多选题】（25-26高三上·浙江绍兴·期末）设函数，其中.则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 【多选题】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）设函数，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．当时，无极值点 B．当时，是的极大值点 C．，图象存在对称轴 D．，图象对称中心的横坐标不变 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·天津·期末）已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为（   ）    A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高三上·湖北武汉·期末）当时，函数取得最大值，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川成都·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 4．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江西·月考）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点且与曲线相切的直线恰有两条 8．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．若，则在处的切线斜率为 B．若，则在上有且仅有一个极值点 C．若，则在上的最大值为3 D．若，则在上有两个零点 9．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（   ） A． B．当时，有三个零点 C．当时，仅有一个零点 D． 10．（25-26高二上·山西运城·期末）已知是函数的极大值点，则 （    ） A． B．若函数有三个零点，则实数的取值范围为 C．若函数在区间存在最小值，则实数的取值范围为 D．过点存在3条直线与曲线相切 三、填空题 11．（25-26高二上·云南昭通·期末）若是函数的一个极值点，则 . 12．（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ． 13．（25-26高二上·江苏南京·期末）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为 . 四、解答题 14．（25-26高二上·山西长治·期末）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 15．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 16．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知是函数的一个极值点. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值. 17．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知函数. (1)若，，求函数的单调区间及极值； (2)若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 18．（25-26高二上·山西朔州·期末）设函数. (1)若当时，取得极值，求a的值，并说明此时的单调性； (2)若存在极值，求a的取值范围. 19．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数恰有三个极值点，求的取值范围. 20．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在使得成立，求的取值范围； 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【专题04：导数研究极值与最值】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：导函数图像与极值最值的关系】 【练方法】 知识点： 1.极值点的判定：若处，且在两侧变号，则为极值点 2.极值与导函数符号：左正右负→极大值；左负右正→极小值；不变号→不是极值点 3.最值：闭区间上的最值在极值点或端点处取得 考点： 由导函数图像判断原函数的单调性、极值点个数及类型 由导函数图像判断原函数的最值位置 极值与最值的概念辨析 解题思路： 1.看导函数图像与轴的交点，即的根（驻点） 2.看驻点左右的符号：左正右负→极大值点；左负右正→极小值点 3.结合区间端点函数值，比较极值与端点值，确定最值 【多选题】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数的导函数的图象如下图所示，则（   ）经典例题1例题 A．函数的图象在处的切线斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．当时，函数取得极值 D．当时，函数取得极值 【答案】BC 【分析】根据导数的几何意义判断Ａ；利用导函数的正负，分析函数的单调性，判断Ｂ；利用极值点的定义判断Ｃ，Ｄ. 【详解】由图可知，所以函数的图象在处的切线斜率大于零，所以Ａ错误. 当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以Ｂ正确. 由图可知，在的附近，当时，；当时，. 即是的一个变号零点，所以在处取得极值.所以Ｃ正确. 在的附近，恒成立，所以单调递增，所以不是的极值点，所以Ｄ错误. 故选：BC. 【多选题】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ）经典例题2例题 A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 【答案】ACD 【分析】根据的图象，分析的单调性、极值、最值、零点即可. 【详解】根据的图象，可得： 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不是函数的最小值，所以B不正确； 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增. 所以函数仅在处有极大值，所以C正确. 由函数的单调性，知函数图象与直线最多有三个交点，所以至多有3个零点，所以D正确. 故选：ACD. 【多选题】（25-26高三上·河北邢台·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀1 A．可能有三个极值点 B．若，则在上单调递减 C．若，则的极大值点为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据导数的图象研究函数的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求解. 【详解】由图可得，0，2是的零点，当时，有3个变号零点， 所以可能有三个极值点，A正确． 若，，由图可得当时，，单调递减，B正确． 若，，由图可得当时，， 当时，，所以的极大值点为，C正确． 若，则，由图可得， 得或，所以或，D错误． 故选：ABC （2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ）小试牛刀2 A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【详解】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B （24-25高二下·天津武清·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ）小试牛刀3 A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 【题型2：求已知函数的极值/极值点】 【练方法】 知识点： 1.极值的定义：在附近，若，则为极大值；若，则为极小值 2.极值点的必要条件：或不存在 3.极值点的充分条件：在两侧变号（或二阶导数） 考点： 求函数的极值点和极值 区分极值点与驻点（驻点不一定是极值点） 极值的计算与符号判断 解题思路： 1.求导，解方程，找出所有驻点和不可导点 2.列表分析在各区间的符号，判断单调性 3.由单调性变化，确定极值点和极值 （2026高三·北京·专题练习）已知函数（）.经典例题1例题 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 【答案】(1). (2)当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 【分析】（1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）先求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极小值点. 【详解】（1）由题意得，， 则， ，即切线的斜率为， 又， 所以切线方程为，即. （2），， 时，定义域为，，无极小值； 当时，定义域为. 令，即，则， 所以， 解得或， 当时，，解得或， 在区间和上， 单调递增； ，解得且， 在区间和上， 单调递减， 的极小值点为. 当时，在区间和上， 单调递减； 在区间和上， 单调递增， 的极小值点为. 综上，当时，的极小值点为；当时，无极小值点. （25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直.经典例题2例题 (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 【答案】(1)； (2)的递增区间为和，递减区间为； (3)极大值为，极小值为. 【分析】（1）由斜率乘积为，求得参数的取值； （2）求导后根据导函数的正负来确定原函数的增减区间； （3）由第二问的增减性结合极值定义求得极值. 【详解】（1）， 则， 由题意可得，解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为和，的递减区间为. （3）由可知，在处取得极大值； 在处取得极小值. （25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数，则的极小值点为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】先求，根据导数的正负判断函数的单调性，进而确定函数的极值点. 【详解】定义域为， ， 令，解得：或， 当，， 在区间单调递增； 当，， 在区间单调递减； 是的极大值点， 当，， 在区间单调递增； 是的极小值点. 故答案为： （25-26高二上·湖南长沙·月考）函数的极大值点为（   ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，利用导数判定原函数的单调性和极值点. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得，在单调递增； 令，解得，在单调递减； 可知函数的极大值点为. 故选：B （25-26高三上·重庆·月考）已知函数，．小试牛刀3 (1)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (2)判断的极值点个数并说明理由． 【答案】(1) (2)有且仅有一个极值点，理由见解析 【分析】（1）化简恒成立的不等式可得，由可得取值范围； （2）令，利用导数可知单调递减，结合零点存在定理可得存在唯一零点，进而得到单调性，根据极值点定义可得出结论. 【详解】（1）在上恒成立， 在上恒成立， 当时，在上取得最大值， ，即实数的取值范围为； （2）由（1）知：， 当时，，在上单调递增； 当时，令，则， 在上单调递减，又，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：在上单调递增，在上单调递减， 有且仅有一个极值点. 【题型3：由极值/极值点求参数】 【练方法】 知识点： 1.极值点的必要条件： 2.极值的定义：是极值，需满足在两侧变号 3.参数与极值的关系：参数影响导函数的零点及符号变化 考点： 已知极值/极值点，反求函数中的参数 验证极值的充分条件（避免增解） 解题思路： 1.由极值点必要条件列方程，求出参数的初步值 2.代入原函数，验证在两侧是否变号（或用二阶导数验证） 3.舍去不满足极值条件的参数解 （25-26高三上·广西河池·期末）若是函数的极值点，则的极小值为 .经典例题1例题 【答案】 【分析】求得，根据，得到，进而求得函数的单调性，结合极值点和极值的定义，代入计算，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为是函数的极值点，可得，解得， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为. 故答案为：. （25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ）经典例题2例题 A． B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【分析】根据为的极值点，可得，求得的值，并检验是否是极小值点. 【详解】函数，定义域为. 所以. 由题可知，，即，所以或. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值. 综上，实数的值为. 故选：B. （25-26高三上·河北邢台·期末）已知函数为其一个极值点，且，则 ．小试牛刀1 【答案】4 【分析】求导，利用极值点处导数为0求出，进而代入求出． 【详解】由，求导得， 为其一个极值点，，解得， ，此时， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以满足条件，又， ，解得． 故答案为：4． （25-26高二上·江苏宿迁·期末）设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先对函数求导，再通过极值点大于零分析的符号求解即可. 【详解】由已知可得， 令，可得， 若，所以不符合题意，舍去； 因此，则，解得. 因为，所以，要让，必须满足， 所以，解得. 故选： （26-27高二上·重庆·期末）已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据的取值分成，和三类情况，讨论函数的单调性，根据极值情况分析判断即得. 【详解】因的定义域为， 求导得， 若，则，由可得，由，可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 即函数在处取得极小值，符合题意； 若，则由可得或，由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意； 若，则，函数在上单调递增，无极值点，不合题意； 若，则由可得或，由，可得， 即此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极大值，不合题意. 综上可得，实数的取值范围为. 故选：A. 【题型4：求已知函数的最值】 【练方法】 知识点： 1.闭区间最值：连续函数在闭区间上必有最值，且在极值点或端点处取得 2.开区间最值：不一定存在，需结合单调性判断 3.最值与极值的关系：最值是全局概念，极值是局部概念 考点： 求闭区间上的最值 求开区间或无穷区间上的最值 最值的计算与比较 解题思路： 1.求导，找出区间内的驻点和不可导点 2.计算这些点及区间端点的函数值 3.比较所有函数值，最大的为最大值，最小的为最小值 （2026高三·全国·专题练习）函数在上的值域为 ．经典例题1例题 【答案】 【详解】设，利用角的范围和三角恒等变换求出的范围，将原函数转化成关于的函数，通过求导判断函数单调性求出其极值，比较端点函数值即得原函数的值域. 【分析】设， 由可得，则． 因为， 所以，． 求导得， 当或时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 又，，，， 所以在上的值域为， 即在上的值域为． 故答案为：. （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数．经典例题2例题 (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是； (2)极大值为，无极小值 (3)最大值；最小值． 【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）结合（1）问，即可求出极值； （3）结合（1）问，在上递增，在上递减，分别求出，比较大小即可求解. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 令，得， 列表如下： 2 + 0 - 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）极大值为，无极小值 （3）， ， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值． （25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，求：小试牛刀1 (1)的单调区间； (2)在上的最小值和最大值. 【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）结合的单调区间、极值、区间端点的函数值来求得在区间的最大值和最小值. 【详解】（1） ， 由得或； 由得. 故的单调增区间为，，单调减区间为. （2）由（1）得函数在上单调递增，在上单调递减， 由于，，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （25-26高二上·云南昭通·期末）已知函数，则当时，的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而可求得的最大值. 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：D. （25-26高二上·山东临沂·期末）已知函数的图像经过点.小试牛刀3 (1)求； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)2 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）把点代入解析式可求； （2）求导，利用导数分析函数的单调性，进而可求函数的最大值与最小值. 【详解】（1）函数的图像过点， ，即， ，. （2）由（1）得，， ， 由，得或， 当时，，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， ，，，， 且， 在上的最大值为，最小值为. 【题型5：由函数的最值求参数】 【练方法】 知识点： 1.最值的定义：（或）对区间内所有成立，且存在使等号成立 2.参数影响函数的单调性、极值，从而影响最值 考点： 已知最值，反求函数中的参数 最值条件下的参数范围判断 解题思路： 1.先求函数的最值表达式（含参数） 2.令最值等于已知值，解方程求参数 3.验证参数对应的函数是否确实在该点取得最值（必要时用单调性验证） （2025·四川德阳·一模）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称.经典例题1例题 (1)求； (2)若的最小值是2，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数函数和对数函数的关系即可直接得解； （2）先由题设分析得到，再利用导数工具研究函数的单调性和最值，结合即可求解. 【详解】（1）依题意得； （2）由题对恒成立， 当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且， 则函数无最小值，不符合，所以， 所以为增函数，令， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，所以. 综上所述，. （2026高三·全国·专题练习）已知函数．若在上的最小值为，求的取值范围．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据进行分类讨论，确定出的单调性并求解出最小值，注意最小值与的关系，由此可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 当时，因为，所以，所以， 所以，所以在上单调递增，所以，故符合题意； 当时，令，解得或， 若，则，则在上单调递减， 若，则，则在上单调递增， 所以，故不符合题意； 当时，因为，所以，所以， 所以，所以在上单调递减， 所以，故不符合题意； 综上所述，的取值范围是. （25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数，.小试牛刀1 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若在内的最大值为2，求的值. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）由函数在区间内的单调性求解函数的最大值，可得的值. 【详解】（1）函数的定义域为， 则， 当时， 令，解得：；令，解得：， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2） ①当时，在内恒成立，在内单调递增， 则，解得与矛盾； ②当时，有，时；时， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即， 令，则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. （25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知函数．小试牛刀2 (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）求导，分、、、四种情况讨论； （2）结合第1问的单调性求出最值即可； （3）利用参变分离求最值即可. 【详解】（1）求导得， 当时，，则，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 当时，，则，得或，，得， 则在内单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则，得或，，得， 则在区间内单调递减，在和上单调递增， 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. （2）由（1）知，当时，在内单调递增， 则，解得与矛盾； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 令则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. （3）由可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． （2025高三·全国·专题练习）已知函数，在区间上的最小值为，求实数的取值范围．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意，求得，分，和，三种情况讨论，求得函数的单调区间和最小值，进而得到答案. 【详解】由函数， 可得， 当，即时，在上恒成立，单调递增， 所以，符合题意； 当，即时，若，则，单调递减； 若，则，单调递增， 所以，不符合题意； 当，即时，在上恒成立，单调递减， 所以，不符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【B·能力提升题型】 【题型1：含参函数的极值分析】 【练方法】 知识点： 1.含参函数：中含有参数（如） 2.参数影响导函数的零点个数及符号变化，从而影响极值的个数和位置 3.分类讨论：根据参数的不同取值，讨论的零点及单调性 考点： 对参数进行分类讨论，分析极值的个数和类型 含参函数的单调性与极值的综合判断 解题思路： 1.求导，解方程，得到根与参数的关系 2.根据根的个数、大小关系，对参数进行分类讨论 3.每一类中，列表分析单调性，确定极值的个数和类型 （25-26高三上·山东·月考）已知函数．经典例题1例题 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，，分类讨论研究函数的单调性，进而利用极值点的定义求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴在处的切线方程为，即． （2）由题意，函数的定义域为． ， ①当时，由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值． ②当时，， ∴在上单调递增，无极值． ③当时，由，得或， 由，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． ④当时，由，得或， 由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． 综上，当时，的极值点个数为0； 当时，有1个极值点； 当且时，有2个极值点． （25-26高三上·北京东城·期中）已知函数.经典例题2例题 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的极值点的个数； (3)若函数在区间上有唯一零点，证明：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）直接根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）先对函数求导，再分，，三种情况对导数讨论可得函数的极值点； （3）由（2）解析过程知，函数要有唯一零点t，必有函数的唯一极小值点，再通过构造函数，，只需用导数证明的零点即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由函数，. 令，，. ①若时，，所以在上单调递增，且， 即在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，函数无极值点； ②当时，，， 当，所以. 所以函数在上单调递增且有唯一零点， 即函数在上单调递增且有唯一零点， 当；当， 所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点； ③当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减，无极值点. 综上所述：当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点. （3）由（2）可知，当时，函数在上单调递减，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在有唯一的极小值点，且， 要使函数在区间上有唯一零点，所以. 所以 ， 令，得，即. 再令，， 所以在上单调递增， 且. 所以函数在上有唯一零点， 所以，即. （2025高三·全国·专题练习）已知，．小试牛刀1 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为， 即； （2）由，得，， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调递增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． （25-26高三上·上海·期中）已知，．小试牛刀2 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可； （3）参变分离得对于恒成立，设，然后利用导数法求得的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，所以，所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为，即； （2）由得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． （3）， 由，得对于恒成立，设， 则， 因为，所以时，单调递减， 时，单调递增，所以，所以． （2025高三·全国·专题练习）设函数，其中为常数．若函数的有极值点，求：小试牛刀3 (1)实数的取值范围； (2)的极值点． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分析可知有2个不相等的实数根，且有正的实数根，结合韦达定理以及判别式运算求解； （2）分和两种情况，利用导数判断的单调性和极值点. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 令，可得， 若有极值点 ，则有2个不相等的实数根，且有正的实数根， 设方程的根为， 若有两个极值点，即，则，解得； 若有一个极值点，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为． （2）由（1）可知：，则方程的两根为：， 当时，则， 可得的单调区间为： 单调递增 单调递减 单调递增 所以的极大值点为，极小值点为； 当时， 可得的单调区间为： 单调递减 单调递增 所以的极小值点为，无极大值点； 综上所述：当时，的极大值点为，极小值点为； 当时，的极小值点为，无极大值点． 【题型2：由极值/极值点个数求参数范围】 【练方法】 知识点： 1.极值点个数=的变号零点个数 2.的零点个数由导函数的图像与轴交点个数决定 3.利用导数研究的单调性、极值，判断其零点个数 考点： 由极值点个数，反求参数的取值范围 分类讨论与数形结合思想 解题思路： 1.求，将极值点个数问题转化为的变号零点个数问题 2.研究的单调性、极值，判断其零点个数与参数的关系 3.由零点个数条件，解不等式求参数范围 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【详解】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下，    由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： （2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数.经典例题2例题 (1)若，求实数的值； (2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，代入即可求解， （2）求导，将问题转化为在上仅有一个不为1的，实数根构造函数由导数求解函数的单调性，进而求解最值得解. 【详解】（1）， ，故 （2）令，则在上有且仅有两个实数根， 由于，所以在上仅有一个实数根，则在上仅有一个不为1的实数根， 令则， 当时， 在上单调递增， 当时， 在上单调递减， 且 而故 （25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 .小试牛刀1 【答案】 【分析】令，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】由题意知有两个相异实根，即， 也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 且，当时，， 所以在处取得极大值也即是最大值为. 画出的图象如下图所示， 由图可知，要使与的图象有两个交点，则需. 故答案为： （25-26高三上·河南·月考）已知函数．小试牛刀2 (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是和，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求出导数，分别求出和的解，即可得到单调区间； （2）分类讨论的范围，从而得到的单调性，即可求解. 【详解】（1）若，则， 函数定义域为， ． 当时，； 当时，； 当时，， 故的单调递减区间是和，单调递增区间是． （2）， 函数，当，即时，恒成立， 则有，单调递减，此时没有极值点，符合题意． 当时，方程有两个实数根，，不妨设， 则，． 当时，，此时在区间，上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； 同理可知，当时，在区间上单调递增，上单调递减，是的极大值点，不符合题意． 综上，a的取值范围是． （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是 .小试牛刀3 【答案】 【分析】原问题等价于有两个不同的根，令，利用导数法求出单调性，数形结合即可求解. 【详解】由得， 因为函数有两个极值点，所以有两个异号零点， 即有两个不同的根，显然，则有两个不同的根，令， 则与的图象有两个不同的交点， ，当和时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在时，取得极小值，作出图象如图： 由图可知，所以，所以m的取值范围是 . 故答案为： 【题型3：函数的最值模型的应用】 【练方法】 知识点： 1.实际问题中的最值：如面积最大、费用最少、利润最大等 2.建模步骤：将实际问题转化为函数，确定定义域 3.利用导数求最值：若函数在定义域内只有一个极值点，则该极值即为最值 考点： 建立函数模型，利用导数求最值 实际问题中定义域的确定（易错点） 最值的实际意义解释 解题思路： 1.审题，设变量，建立函数，确定定义域 2.求导，找极值点 3.若只有一个极值点，直接判断为最值；若有多个，比较函数值 4.结合实际意义，给出最值的合理解释 （25-26高二上·山西·月考）如图，周长为的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，（   ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据周长的定义，结合矩形和正三角形的面积公式、导数的性质进行求解即可. 【详解】设,，则， 得，则，， 设函数， 则， 当0时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则当时，取得最大值，即取得最大值． 故选：C. （25-26高二上·福建厦门·期末）在三棱锥中，，，且直线与平面所成的角为.若，则长度的取值范围为 .当变化时，三棱锥体积的最大值为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】根据三角形形成的条件求解长度的取值范围；设，由椭圆的定义可知点在以，为焦点，且2为长半轴长的椭圆上，利用几何法求得的面积最大值，然后结合等体积法利用锥体体积公式求得，设且，利用导数法求解最大值即可. 【详解】设，在中，，，则，解得， 所以长度的取值范围为； 不妨设，由中，可得， 又由，故点在以，为焦点，且2为长半轴长的椭圆上， 当在该椭圆的上顶点时，的面积最大，此时， 取的中点，可得， 则，设点到平面的距离为， 因为直线与平面所成的角为，可得， 所以， 设且，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以， 所以， 当且仅当，且时，等号成立， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：； （2026·河南南阳·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，是等腰直角三角形，，记三棱锥的内切球半径为，点到平面的距离为，则的最小值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等体积法求得三棱锥的内切球半径，再构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】取中点，因为是等腰直角三角形，， 所以， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面 所以平面，即点到平面的距离为， 因为，所以， 因为， 又， ， 所以， 所以由，得， 所以 令，则，， 令得，解得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值. 即的最小值为. 故选：D. （25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】设正六棱柱容器的底面边长为，则正六棱柱容器的高为，则可得正六棱柱容器的容积为，再利用导函数求得最值即可求解. 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为，则正六棱柱容器的高为，， 所以正六棱柱容器的容积为， 由知， 当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 故选：C （2026·山东济南·一模）已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为 .小试牛刀3 【答案】. 【分析】设圆锥底面半径为，高为，过正方体的一组对棱作圆锥的截面，利用三角形相似对应边成比例列方程得到与关系，把圆锥的体积表示为关于的函数，利用导数求最小值． 【详解】设圆锥底面半径为，高为，则， 过正方体的一组对棱作圆锥的截面，如图所示： 由题意可得：，， 正方体的棱长为2，则， 面对角线，所以， 由，可得，， 即，解得：， 所以圆锥的体积， 令，则， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，时，圆锥的体积有最小值. 故答案为： 【C·拓展培优题型】 【题型1：极值点偏移】 【练方法】 知识点： 1.极值点偏移：若函数有两个零点，极值点为，若，则称极值点偏移 2.偏移的本质：函数图像在极值点两侧的单调性不对称 3.常用方法：构造对称函数，利用单调性证明不等式 考点： 判断极值点偏移的方向（左偏/右偏） 利用偏移证明不等式（如） 与函数单调性、导数的综合 解题思路： 1.确定极值点，设 2.构造对称函数，求导判断单调性 3.利用单调性得到（或）的符号，推导出与的大小关系 （2025高二·全国·专题练习）已知函数，.当，，是方程的两个根，求证：.经典例题1例题 【答案】证明见解析 【分析】由已知构造函数，是的两个零点，由导数确定的单调性，确定的范围，然后构造函数，由导数确定单调性，由单调性证明． 【详解】方程可化为， 设，则，， 令得， 当时，，时，， 所以在上递增，在上递减， 又，，， 所以在和上各有一零点，即在和上各有一零点， 不妨设，即，则， 设，则， ， 时，，所以在上递增，而， 所以时，，，即， 因为， 所以， 又在上递减， 所以，所以． （2025高二·全国·专题练习）已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，.经典例题2例题 (1)求m的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可化为，令，求导得，求其单调性，找到最小值，根据题意求m的取值范围即可； （2）要证明，即证，只需要证，即证，令，根据导函数求其单调性，然后证明即可. 【详解】（1）当时，可化为， 令，求导得， 令，因为，所以，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以的最小值为， 当时，；当时，， 函数有两个不同的零点，， 即与在上有两个不同交点， 所以的取值范围是； （2）由（1）可知，要证明，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需要证，又因为， 所以只需要证，即证， 即证，两边同时除以，得， 化简为，因为， 所以只需证，即证 令， 求导得， 令， 求导得在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，， 即，故， 即，所以. （2025高三·全国·专题练习）已知函数．若关于的方程在内有两个根，证明：．小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】利用导数求出函数在内的单调性，再利用极值点偏移推理得证. 【详解】函数，求导得， 而， ，则 当时，，则； 当时，，，则， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 由方程在内有两个根，得， 要证，只需证，而， 则只需证，又，就证， 令，求导得则 ， 由，得，则， 因此，函数在上单调递增，即， 而，则，即，所以. （25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数．小试牛刀2 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在上的值域； (3)若关于的方程在内有两个根，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到，结合，从而利用导数几何意义求出切线方程； （2）法1：求导，得到，求出的单调性，得在上的值域为． 法2：求导，得到，求出的单调性，求出在上的值域为； （3）由（2）知的单调性，所以，要证，只需证，只需证，只需证，构造差函数，求导，得到单调性，结合，所以，问题得证． 【详解】（1） 所以， 又， 故所求切线方程为，即； （2）法1：由（1）知， ， ， ①当时，，所以； ②当时，，所以； ③当时，，所以； ④当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的值域为． 法2：由（1）知， 因为， ， 所以 ， 当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 当时，，，所以． 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的值域为． （3）证明：由（2）知在上单调递增，在上单调递减， 所以，要证，只需证， 因为，所以，所以只需证， 因为，所以只需证． 令， 则 ． 因为，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以， 又，所以，所以，问题得证． （24-25高二下·江苏扬州·月考）已知函数，，是自然对数的底数.小试牛刀3 (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得解； （2）分析得只需证明，构造函数（），利用导数即可得证. 【详解】（1）求导得， 当时，恒成立，此时函数在上单调递增， 此时函数无极值； 当时，，， 所以在单调递增，在单调递减， 此时极大值，无极小值. 综上所述，时，无极值，当时，极大值，无极小值. （2）当时， ， 在单调递增，在单调递减， 又且， ∴要证，即证， 即证，即证， 设（）， ， ∴在单调递增，又， ∴，又， ∴，∴. 【题型2：不等式的恒成立与有解问题】 【练方法】 知识点： 1.恒成立：对所有成立 2.有解：在上有解 3.含参不等式：转化为最值问题，利用导数求最值 考点： 将不等式问题转化为最值问题 利用导数求函数最值，解决恒成立/有解问题 分类讨论与参数范围求解 解题思路： 1.分离参数（若可行）：恒成立 2.若不能分离参数，构造，求的最值 3.由最值与0的关系，解不等式求参数范围 （2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为 .经典例题1例题 【答案】 【分析】根据恒成立，构造函数，求解导数，判断单调性，求出函数的最值即可. 【详解】原不等式等价于恒成立， 设，，因为，所以， 令，，为增函数， 又，，所以存在唯一，使得， 即，. 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的最小值为. 实数的取值范围为. 故答案为： （2025高二·全国·专题练习）已知函数对任意有成立，则k的最小值为 ．经典例题2例题 【答案】/ 【分析】先判定时不符合题意，再由时，令，求得，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】由题意，函数对有成立， 当时，取时，可得，所以不符合题意，舍去； 当时，令， 则， 令，可得或， （1）当时，则，则在上恒成立， 因此在单调减，从而对任意，总有， 即对任意，都有成立，所以符合题意； （2）当时，，对于，因此在内单调递增， 所以当时，，即， 所以不符合题意，舍去， 综上可得，实数的取值范围是，即实数的最小值为． 故答案为：． （25-26高三上·广东惠州·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为 ．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】设，将问题转化为，利用导数求出，再转化为，设，利用导数求出即可. 【详解】设，因为对任意的恒成立，则， 求导得 令得，， 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增； 所以，所以， 则， 设，， 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 所以，即的最大值为，的最大值为. 故答案为：. （25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是 .小试牛刀2 【答案】 【分析】由题意，利用导数分别求出，得，解不等式即可. 【详解】， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； ， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又恒成立， 所以，即， 由，解得， 即的取值范围为. 故答案为： （25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数，若在上恒成立，则实数取到的最大整数值为 .小试牛刀3 【答案】1 【分析】先根据恒成立，取得，再计算时不合题意，再时应用导数得出函数单调性及最值即可确定参数最大整数. 【详解】由题设，恒成立，取得. 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，，， 所以，使得，即， 令，，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又时，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，满足题意. 综上所述，实数取到的最大整数值是1. 故答案为：1. 【题型3：三次函数的极值与最值】 【练方法】 知识点： 1.三次函数一般形式： 2.导函数为二次函数： 3.极值个数：由判别式决定 ：两个极值点（一极大一极小） ：一个驻点（非极值点） ：无极值点 考点： 三次函数的极值个数判断 三次函数在闭区间上的最值求解 与二次函数、方程根的分布的综合 解题思路： 1.求导，计算判别式，判断极值个数 2.若有极值点，求出极值，再结合区间端点函数值，确定最值 3.若无极值点，函数单调，最值在端点处取得 【多选题】（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数，是的一个极值点，则（   ）经典例题1例题 A． B．的图像在点处的切线方程为 C．若方程有一个解，则 D． 【答案】BCD 【分析】利用极值点的定义可判断A；利用切线的方程的求法可判断B；利用三次函数图象的特点可判断C；代入作差，可判断D. 【详解】求导得 ， 由题意得，解得 或 ， 由 得 ，故 A 错误； 由 得 ，， ， 点处的切线斜率， 所以切线方程为 ，即 ，B 正确； 令，得或， 当 时， ，所以函数单调递增， 当 时， ，所以函数递减， 当 时， ，所以函数递增. 所以的极大值为， 的极小值为. 为三次函数，要使只有一个解，只需的极小值或 的极大值. 所以或，故C正确； 易知，则. 即 恒成立，故D 正确. 故选：BCD 【多选题】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若函数，则（    ）经典例题2例题 A．在上单调递减 B．有且仅有两个极值点 C．只有一个零点 D．当时，的值域为 【答案】ABC 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值、零点与最值，即可判断. 【详解】函数，求导得 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确； 选项B：由，解得或，在和上单调递增， 令，解得或， 所以有且仅有两个极值点，故B正确； 选项C：由于的极大值，极小值 又， 所以只有一个零点，故C正确； 选项D：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，的值域为，故D错误. 故选：ABC. 【多选题】（26-27高二上·重庆·期末）已知函数，若关于的方程恰有三个不同实根且满足，则下列说法正确的有（   ）小试牛刀1 A．的极小值为 B． C．为定值 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用导数直接求解函数极小值，判断选项A，根据函数图像，利用方程的根与图像交点转化，即可判断选项B，根据三次方程的韦达定理，化简即可判断选项C，构造函数，利用导数即可求出函数值域，判断选项D. 【详解】因为， 所以， 所以或时，，单调递增 当时，，单调递减， 所以的极小值为，A正确； 又，所以可得的图像如下， 则要使与图像有三个交点，则，B错误； 因为方程恰有三个不同实根且满足， 所以是即的三个实根， 所以， 所以， 所以，C正确； 由上式知，， 且，所以，， 令，， 所以， 所以时，，单调递增， 又，所以， 即的取值范围为，D正确. 故选：ACD 【多选题】（25-26高三上·浙江绍兴·期末）设函数，其中.则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 【答案】BCD 【分析】对于A根据判断；对于B求导判断函数的单调性即可；对于C由的正负性和单调性可得；对于D根据韦达定理以及计算. 【详解】对于A，若为奇函数，则，则，或， 均与矛盾，故不可能为奇函数，故A错误； 对于B， 因为 ， 所以存在两个不等实根，不妨设， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故在处取极大值，在处取极小值，故B正确； 对于C，由以及的单调性可知， 当或时；当或时； 因为，且恒成立，所以，即，故C正确； 对于D，因为是方程的两个不同实根， 所以， 令，则， 令，得， 则关于点对称，即关于点对称， 由以及在区间上单调递减、 可得，又，， 可得， 所以，故D正确. 故选：BCD 【多选题】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）设函数，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．当时，无极值点 B．当时，是的极大值点 C．，图象存在对称轴 D．，图象对称中心的横坐标不变 【答案】ABD 【分析】求出函数的导函数，由，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B，根据三次函数的性质判断C，求出函数的对称中心，即可判断D. 【详解】对于A：因为，则， 当时，所以恒成立， 所以在上单调递增，所以无极值点，故A正确； 对于B：当时， 所以当或时，当时， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以是的极大值点，故B正确； 对于C：对，当时，当时， 所以不存在对称轴，故C错误； 对于D：因为，， 所以 ， 所以关于对称，所以，图象对称中心的横坐标不变，均为，故D正确. 故选：ABD 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·天津·期末）已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为（   ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据图象分析导函数在区间上的正负，得到的单调性，即可求得极大值个数. 【详解】由图可知，当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，是的唯一极大值点. 故选：B. 2．（25-26高三上·湖北武汉·期末）当时，函数取得最大值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、，再检验，即可求出的值. 【详解】因为的定义域为，又， 依题意可得，即，解得， 此时，则， 所以当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减， 则在处取得极大值，符合题意； 所以. 故选：D 3．（25-26高三上·四川成都·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【分析】根据图象先判断的单调性，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 4．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质及极大值点的意义判断即可. 【详解】函数 ， 由，得函数的极大值点， 当时，，不存在整数使得，，，A是；BCD不是. 故选：A 5．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 6．（25-26高三上·江西·月考）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先对函数求导，然后根据导数的性质分析函数的单调性，进而确定极值点的情况，从而求出实数a的取值范围. 【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得，设，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且，，当时，，当时，， 当 时，直线 与 的图象仅在 区间有1个交点， 且该交点为变号零点（ 在 单调递减），则只有1个极值点， 当 时，直线 与 的图象有3个交点，则有3个极值点， 当 时，直线 与 的图象无交点，无极值点， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数 的取值范围是. 故选：A． 二、多选题 7．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点且与曲线相切的直线恰有两条 【答案】ABD 【分析】对于A，分析函数的单调性即可得出极值点个数；对于B， 利用函数的极值与零点存在定理可得出零点个数；对于C，通过检验是否恒成立即可判断；对于D，利用导数的几何意义写出切线方程，由求出的切点个数即可判断. 【详解】对于A，由求导得． 令，得或，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以和2是函数的两个极值点，故A正确； 对于B，由A项分析，在时取得极大值，在时取得极小值， 且当时，，当时，，故函数在定义域上有三个零点，故B正确； 对于C，由， 因为， 故曲线关于点不成中心对称，故C错误； 对于D，设切点为，则切线的方程为， 代入，可得，化简得，解得或． 故过点且与曲线相切的直线恰有两条，故D正确． 故选：ABD. 8．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．若，则在处的切线斜率为 B．若，则在上有且仅有一个极值点 C．若，则在上的最大值为3 D．若，则在上有两个零点 【答案】BC 【分析】将，的值分别代入，对函数求导，通过导数的性质，零点存在定理分别求解即可. 【详解】对于A选项，，则，所以，故A错误； 对于B选项，，则，时，，当时，， 当，，故在上有且仅有一个极值点，故B正确； 对于C选项，若，则，则， 则，则有或，即或，当时，，， 因为在上，，所以在上单调递增，故最大值为，故C正确； 对于D选项，若，则，则， 因为，则在上，则在上单调递增，，， 由零点存在定理可得，在上，存在一点，使得，故有且仅有一个零点. 故选：BC. 9．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（   ） A． B．当时，有三个零点 C．当时，仅有一个零点 D． 【答案】BCD 【分析】求导，根据函数有两个极值点，可得，计算可判断A；分和两种情况讨论可判断BC；利用韦达定理可得，计算可判断D. 【详解】对于A，由，得， 因为函数有两个极值点， 所以有两个不等的实数根， 即有两个不等的实数根， 所以，解得或，故A错误； 对于B，当时，二次函数与轴有两个不同的交点，开口向上， 当时，；当，；当，， 所以是极大值，是极小值，又，则可得有三个零点. 同理可得当时，有三个零点，故B正确； 对于C，当时，由B可知是极小值，又，所以， 此时极大值，所以函数在，函数从递增到有1个零点， 其余区间内无零点， 同理可得当时，函数仅有一个零点， 综上所述：当时，仅有一个零点，故C正确； 对于D，由韦达定理可得， ， 又， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10．（25-26高二上·山西运城·期末）已知是函数的极大值点，则 （    ） A． B．若函数有三个零点，则实数的取值范围为 C．若函数在区间存在最小值，则实数的取值范围为 D．过点存在3条直线与曲线相切 【答案】AB 【分析】对函数求导，并根据极值点解得或，经检验可得符合题意，因此A正确，利用函数与方程思想可得函数与有三个交点，画出函数图象求出其极值可得B正确，由区间上存在最小值得出不等式可解得，因此C错误，设出切点坐标求出切线方程并代入点得出方程，求出方程根的个数可判断D错误. 【详解】对于A，易知， 依题意可得，解得或； 当时，，当时，当或时， 可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增； 显然是函数的极小值点，不合题意； 当时，易知， 当时，当或时， 可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增； 此时是函数的极大值点，所以，即A正确； 对于B，若函数有三个零点，即方程有三个不相同的实数根， 也即函数与有三个交点，根据已有分析可知在处取得极大值，在处取得极小值, 画出函数的图象如下图：    结合图象可知，即B正确； 对于C，若函数在区间存在最小值，则需满足且； 解得，因此C错误， 对于D，设过点的直线与曲线相切于点， 易知切线斜率为， 所以切线方程为， 代入点并化简可得, 也即，所以， 即，显然或， 因此只存在两个切点，所以过点存在2条直线与曲线相切，即D错误. 故选：AB 三、填空题 11．（25-26高二上·云南昭通·期末）若是函数的一个极值点，则 . 【答案】 【分析】对函数进行求导，是极值点，则，计算出的值代入原函数计算即可. 【详解】， 因为是函数的极值点， 所以，即， 故，所以，. 故答案为： 12．（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求导，通过讨论和0的大小，确定函数的单调性，进而可求解. 【详解】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 13．（25-26高二上·江苏南京·期末）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先对不等式进行移项，将含的部分合并得到，观察到两边可以统一为函数，利用其单调递增性将问题转化为对恒成立，进而通过求的最大值得到参数范围. 【详解】原不等式移项得：， 令，则，， 设，， 故在上单调递增； ， 原不等式等价于： 又单调递增，则， ，令， 求导：，令，得， 当时，，递增；当时，，递减， 因此， 要使得对所有成立，只需. 故答案为： 四、解答题 14．（25-26高二上·山西长治·期末）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，求出区间端点的函数值，即可求出函数的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 由，解得或，由，解得， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为． 则在处取得极大值，且， 在处取得极小值，且， 综上可得的单调递增区间为，；单调递减区间为； ，. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在上的最小值为， 又，函数在上的最大值为． ∴函数在上的最小值为，最大值为． 15．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 【答案】(1) (2)函数的增区间为，极小值为. 【分析】（1）对函数求导，然后求出切点处的导数和函数值，进而求得切线方程. （2）对函数求导，求出极值点，然后根据函数的单调性确定增区间和极小值. 【详解】（1）对函数求导得. 所以. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令，则，解得或. 当时，因为，所以或， 所以在单调递增； 当时，因为，所以，所以在单调递减； 所以函数的增区间为，极小值为. 16．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知是函数的一个极值点. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)减区间为，，增区间为 (2)112 【分析】（1）根据极值点列出方程求解，再利用导数求函数的单调区间即可； （2）根据（1）可知函数解析式及单调性，据此求解即可. 【详解】（1）， ∵是函数的一个极值点， ∴，∴， 经检验满足条件， ∴， 令，解得或；令，解得. 所以函数的减区间为，，增区间为. （2）由（1）知， 又∵在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的极大值为，又， ∴函数在区间上的最大值为. 17．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知函数. (1)若，，求函数的单调区间及极值； (2)若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是，极大值为，无极小值； (2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，求导判断函数的单调性，进而求出极大值，判断无极小值即可； （2）依题求出的值，即得函数解析式，由不等式参变分离可得在上恒成立，令，利用求导判断其单调性求出其最小值，即得参数范围. 【详解】（1）当，时，，函数的定义域为，      所以，令，得，      当时，，在上是增函数；      当时，，在上是减函数，      所以的极大值为，无极小值，      所以函数的单调增区间是，单调减区间是， 极大值为，无极小值； （2）由，，得，则，故，     由，可得，      又∵，由上式可得在上恒成立，     令，可得，      令，解得，      当时，，在上是减函数；     当时，，在上是增函数，      ∴，所以，     故实数b的取值范围是. 18．（25-26高二上·山西朔州·期末）设函数. (1)若当时，取得极值，求a的值，并说明此时的单调性； (2)若存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）根据极值点的性质即可求出，通过导数与函数单调性的关系即可求出单调性； （2）对求导得，，分为和两种情况讨论，在讨论时，再判断是否在定义域中，结合极值的概念，即可求出答案. 【详解】（1）， 依题意有，解得， 从而， 易知的定义域为， 令，可得或， ∵当时，，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减. （2）由题可知的定义域为， 方程的判别式， ①若，即，则在内，恒成立， 故无极值； ②若，即或， 则有两个不同的实根， 当时，，， ，， ，， ， 从而在内没有零点，故无极值； 当时，，， ， ，在内有两个不同的零点， 当时，，当时，， 易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值. 综上，当存在极值时，的取值范围为. 19．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数恰有三个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负来求函数的单调区间即可； （2）将问题转化为恰有3个互不相等的实根，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断的范围即可． 【详解】（1）当时，，， 令，得， 当时，,在上单调递减； 当时，,在上单调递增； （2）定义域为，， 要使函数恰有三个极值点，则有三个不同实数根， 令，得或， 即有两个除的实数根， 所以， 令，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 当时，，当时，， 因此当时，方程有两个不同的正根， 综上所述：的取值范围为 20．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在使得成立，求的取值范围； 【答案】(1)取得极小值为，无极大值. (2)详解见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数分析单调性确定极值点，进而求出函数极值； （2）求出导函数，按的范围分类讨论的正负，可得单调性； （3）讨论的范围求出函数的单调区间，根据题意列出的不等式，从而确定的范围. 【详解】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为， 所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，令得或， ①当时，，，所以在单调递增， ②当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ③当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）当时，， 若，则，即，不符合题意； 当时，在单调递减， ，则，解得， 又，所以； 当时，所以在单调递增，，不符合题意； 当时，， ①当时，在单调递增，在单调递减， 由题意得， 即，恒不成立，故无解， ②当时，在单调递减， ，则，解得：，不满足题意； 当时，在单调递增，，不符合题意； 所以的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $