模型构建专题平行线中的拐点问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）贵州专版

模型构建专题 平行线中的拐点问题【一题多解】 类型1含有一个拐点的平行线问题 【变式题1】本质不变，与三角尺结合背景复杂化 基本模型：如图，若AB∥CD,常过拐点E向左或向右 如图，直线a∥b,将一个含30°角的三角尺按如 作平行线来解决相关问题，常见的基本解题模型如下：： 图所示的位置放置.若∠1=24°，求∠2的度数. 小技巧：单拐，点问题通常构造与已知角成内错角关系 【变式题2】本质不变，改变一平行线方向及拐 的做法比构造同旁内角的做法更简单 点位置 1.如图，AB∥CD,∠B=15°，∠BED=90°，求 已知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接 ∠D的度数， PA,PD. 解法一：如图，过点E向左作EM∥AB. (1)如图，若∠A=50°，∠D=150°，求∠APD A M--- 的度数. 解法二：如图，过点E向右作EN∥AB. (2)如图，点P在AB上方，则∠A,∠D,∠APD 之间有何数量关系？请说明理由， 拓展解法：在小学初步了解了三角形的内角和为 180°，若延长BE交CD于点F,或延长DE交AB于 点H,或连接BD,你能结合三角形内角和解题吗？跟 同学们交流一下吧. 第七章相交线与平行线15 (3)如图，点P在AB上方，DP与AB相交，则 ∠A,∠D,∠APD之间有何数量关系？请 12 85AB 说明理由. D F D (第3题图) (第4题图) 4.如图，直线CE∥DF,∠CAB=125°，∠ABD= 85°，则∠1+∠2的度数为 5.如图，若AB∥EF,用含a,B,Y的式子表示 x,应为 ( ) A.a+B+Y A B.3+Y-& C.180°-a-Y+3 2.如图①是我们常用的折叠式小刀，图②中刀 D.180°+a+y+3 柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中 6.体育运动情境化近几年，全国掀起了滑雪热 刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段， 潮，初次走进滑雪场的人，学会正确的滑雪 转动刀片时会形成如图②所示的∠1和∠2， 姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺 经测量∠1=35°，求∠2的度数. 直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微 微受力的状态.如图，AB∥CD,如果人的小腿 CD与地面的夹角∠CDE=60°，求身体BA与 水平线的夹角∠BAF的度数， 图① 图② 解法一：如图，延长AB交直线DE于点G 解法二：如图，过点B作BM∥AF,过点C 类型2含有多个拐点的平行线问题 作CN∥DE. 名师点拔：通常通过各拐，点作平行线解决此类问题， 如图，AB∥CD,过拐点F,H分别作AB或CD的平 行线→∠AEF+∠FHC=∠EFH+∠HCD. 之 A -D 3.如图，已知AB∥EF,则∠B+∠C+∠DH ∠E的度数为 16数学I七年级下册模型构建专题平行线中的拐点问题【一题多解】 1.解：解法一：EM∥AB,∠B=15°，.∠B+∠BEM=180°..∠BEM=180°-∠B= 165°.∠BED=90°，.∠DEM=360°-∠BEM-∠BED=105°.EM∥AB,AB∥CD .EM∥CD..∠DEM+∠D=180°.∴∠D=180°-∠DEM=75.解法二：：EN∥AB, .∠BEN=∠B=15°.∴.∠DEN=∠BED-∠BEN=75°.：EN∥AB,AB∥CD,∴.EN∥ CD.∠D=∠DEN=75.【变式题1】解：如图， 作直线c∥a,则∠4=∠1= -h 24°.∠3+∠4=60°，∠3=60°-∠4=36°.：c∥a,a∥b,.b∥c..∠2=180°-∠3= 144°.【变式题2】解：(1)过点P向左作PE∥AB,则∠APE=∠A=50°.：PE∥AB, AB∥CD,∴.PE∥CD.∴.∠EPD+∠D=180°.∠D=150°，∴.∠EPD=180°-∠D=30° ∠APD=∠APE+∠EPD=80°.(2)∠A十∠D-∠APD=180°.理由如下：过点P向右 作PE∥AB,则∠A+∠APE=180°.：PE∥AB,AB∥CD,PE∥CD.∴.∠DPE=∠D. ·∠APE=∠DPE-∠APD=∠D-∠APD..∠A+∠D-∠APD=180°.(3)∠APD= ∠D-∠A.理由如下：过点P向右作PF∥AB.:PF∥AB,AB∥CD,∴.PF∥AB∥CD. ∠D=∠DPF,∠A=∠APF.'∠APD=∠DPF-∠APF,∴∠APD=∠D-∠A. 2.解：如图②， 图② 设刀柄左下角顶点为A,过A作直线！平行于刀片边缘线， (与垂直方向的夹角为∠3，与水平方向的夹角为∠4.：直线1平行于刀片边缘线，∠1= 35°，.∠3=∠1=35°，∠2=∠4..刀柄外形是一个长方形，.∠3十∠4=90°...∠4=90 -∠3=90°-35°=55°..∠2=55°.3.540°4.30°5.C6.解：解法一：AG∥CD, .∠AGE=∠CDE=60°.：AF∥DE,∴∠BAF=∠AGE=60°.解法二：：BM∥AF,CN∥ DE,.∠BAF=∠ABM,∠CDE=∠DCN=60°..'AF∥DE,..BM∥CN.∴.∠MBC= ∠NCB..'AB∥CD,..∠ABC=∠BCD.∴.∠ABC-∠MBC=∠BCD-∠NCB,即∠ABM =∠DCN..∠BAF=∠CDE=60°. 7.3定义、命题、定理 第1课时定义与命题 基础过关 1.D2.D3.D4.两直线平行同位角相等5.解：(1)如果两个角互补，那么这两个角 是钝角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角.(2)如果两个数互为相反数，那么这两 个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等.6.D 7.A8.如果两条直线相交，那么它们的交点只有一个真 能力提升 9.B10.解：(1)命题“相等的角是直角”的题设是两个或两个以上的角相等，结论是这几个 角是直角：改写成“如果…那么…”的形式为如果两个或两个以上的角相等，那么这几 个角是直角.(2)“相等的角是直角”是假命题. 第2课时定理与证明 基础过关 1.D2.C3.B4.A5.OM⊥BD垂直的定义对顶角相等∠D等量代换BD 内错角相等，两直线平行∠ONA两直线平行，内错角相等 能力提升 6.A7.C8.解：(1)如果∠1十∠2=180°，∠3=∠A,那么AB∥CD.(2)该命题为真命题.理 由如下：.∠1十∠2=180°，.AD∥EF.∴.∠3=∠D..∠3=∠A,∴.∠A=∠D..AB∥CD 夯实基础专题平行线中的推理填空问题【培养推理能力】 1,ABC ACB∠DBC BCE同位角相等，两直线平行2.垂直的定义两直线平行， 同位角相等∠BFD同角的余角相等内错角相等，两直线平行3.两直线平行，同位 角相等GEF内错角相等，两直线平行AIJ两直线平行，同旁内角互补4.解：(1)两 直线平行，内错角相等EF同位角相等，两直线平行(2)：AD∥EF,∴∠FEA十∠3= 180°.∠FEA=125°，∴.∠3=180°-∠FEA=55°.：AD平分∠BAC,.∠BAC=2∠3= 110°. 7.4平移 基础过关 1.C2.D3.B4.A5.解：如图， 三角形A'B'C即为所求. 第4页（共48页） 能力提升 6.B7.1408.解：(1)如图，△A'B'C即为所求.A (2)如图，记AC第一次平 移后得到的线段为A"C”.连接AA”,CC”,A'A”,CC”.在平移过程中，线段AC扫过的图形的 面积为S平行四边形1c℃十S平行四边形AaCC=4×2十2X2=12. 模型构建专题利用平移求不规则图形的 面积和周长【回归教材·通性通法】 L.C【变式题】982.8403.26【变式题94.4256【变式题】63 数学活动画平行线的方法 知识回顾：相等相等互补情境回顾：同位角相等，两直线平行探究情境1：同位角相 等，两直线平行探究情境2：①②③④探究情境3：RS对应点所连的线段平行且 相等探究情境4：解：AB∥CD.理由如下：由图②中的折叠，得∠FEC=∠FED.:∠FEC 十∠FED=180°，.∠FEC=∠FED=90°.由图③中的折叠，得∠FPB=∠BPE.:∠FPB +∠BPE=180°，∠FPB=∠BPE=90°，.∠FEC=∠FPB=90°..AB∥CD. 变式情境：解：(1)AC∥DE.理由如下：由折叠的性质，得∠CAD=∠DAE,∠CDA= ∠ADE.BM∥AN,∴∠CDA=∠DAE.∴∠CAD=∠ADE..AC∥DE.(2)AD∥EF.理 由如下：由折叠的性质，得∠DEF=∠FEN,∠CDA=∠ADE.BM∥AN,.∠CDE= ∠DEN..∠CDA+∠ADE=∠DEF+∠FEN.∴.2∠ADE=2∠DEF.∴.∠ADE= ∠DEF..AD∥EF 第七章章末复习 思维导图 平行相等相等互补相等相等互补 考点整合 1.D2.解：(1)∠AOC,∠EOF,∠BOD(2):OE⊥AB,OF⊥CD,∴.∠AOE=90°，∠COF =90°.即∠AOF+∠EOF=90°，∠AOC+∠AOF=90°..∠AOC=∠EOF..∠EOF= 子∠A0D,∴∠A0D=4∠EOF=4∠A0C.:∠A0C+∠A0D=180,∠A0C+A∠A0C =180°.∠AOC=36°.∴∠EOF=∠AOC=36°.3.B4.A5.∠ABD=∠EBD(答案 不唯一)6.解：(1)CF∥DB.证明如下：BC⊥AE,DE⊥AE,.BC∥DE..∠3十∠CBD =180°.又.∠2+∠3=180°，.∠2=∠CBD..CF∥DB.(2).∠1=72°，CF∥DB, ∴∠ABD=∠1=72.又：BC平分∠ABD,∠DBC=号∠ABD=36.·∠2=∠DBC= 36°.又：BC⊥AE,∴∠ACB=90°.∠ACF=90°-∠2=54°.7.D8.如果两个角是同 一个角的余角，那么这两个角相等9.一3（答案不唯一）1（答案不唯一）10.D11.B 12.解：(1)三角形DEF如图所示. (2)①AD∥CF,AD=CF②同旁 内角内错角 聚焦课标 13.解：任务1：75° 任务2：∠DEM-∠DPB=30°，理由如下：过点D作DH∥MN,如图③ Di- --H B寸 A 所示.I。N因为AB∥MN,所以DH∥AB∥MN.所以∠HDE=∠DEM,∠HDP 图③ ∠DPB.因为∠HDE-∠HDP=∠EDF,且∠EDF=30°，所以∠DEM-∠DPB=3O°.任 务3：∠ACE角度所有可能的值是135°或150°或60°或45°或15°.[提示：按以下4个图及图 ④所示的情况分别讨论] 答图① 答图②答图③答图④ 第5页（共48页） 第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 新知梳理 ①平方根 二次方根②开平方开平方3两互为相反数0没有 ④士√a正、 负根号a 例题引路 【例1】解：由题意，得2a-1=9,3a十b-1=16,.a=5,b=2.,.a十2b=5十2×2=9. .∴.±√a+2b=土9=士3.【例2】25 基础过关 1.D2.D3.士124.解：(1)：（士10）2=100,100的平方根是±10.(2)：（士0.09）= 0.081,0081的平方根是士.09(8（土号）-完票的平方根是±号5D 6.C7.解：(1)(-3)=9是正数，∴.(-3)2有两个平方根，士√(-3)=±√=±3. (2)-4=-16是负数，∴.-42没有平方根.(3)-(a十1)是负数，.-(a2十1)没有平 方根. 能力提升 8.D9.D10.3政-71.解：181r=40,=号x=±子(22x-1》=16,2x-1 =士4,2x-1=4,或2x-1=-4,=号，或x=-是(8)x-3)=25-3=士5-3 5 5,或x-3=-5,x=8,或x=-2.12.解：2a-1的平方根是士3，.2a-1=(士3)2=9， 解得a=5.2b十3的正的平方根是5，∴.2b+3=5=25,解得b=11,则a十b=5十11=16. :16的平方根是士4，a十b的平方根为士4. 思维拓展 13.解：(1)佳佳的解题过程不正确.正确的解题过程如下：当a一1十5-2a=0时，解得a= 4.∴.a一1=3.∴.m的值为9.当a一1=5一2a时，解得a=2..a-1=1..m的值为1.综上 所述，m的值为9或1.(2)1 第2课时算术平方根（一） 新知梳理 ①正的②0√0③越大 例题引路 【例11解：1)11=121@=1.(2：（号）=品√得=是(3)：0.1 1V0.0=0.1.【例2】A【例3】解：1)：5>4,5>2.5>1.(2)14 .14<4../14-1<3. 基础过关 1.B2.B3.B4.15.解：(1)7=49，∴.49的算术平方根是7，即√49=7. (@(号)-奇“荷的年术方根是号即√后-号8)a学=-0吗8四的究 术平方根是0,3，即0丽=03.(0的算术平方根是0.6.C7.号 8.C9.16.4 10.解：(1)3.5=√12.25,12.25>12，.3.5>√12.(2)5<7,5<√7..-√5>-√7. 能力提升 11.C12.D13.1714.6-√1015.616.解：(1)原式=0.9.(2)原式=-√0.16 -0.4(3)原式=士号.(4)原式-√需=号.17.解：2a-1的算术平方根为52a /255 1=3,解得a=2.:3a-2b+1的平方根为士3，.3×2-2b+1=9,解得b=-1.∴.a-3b=2 -3×(-1)=5..a-3b的平方根为士√5. 思维拓展 18.解：(1)设√67=9-t,其中0<t<1,.(67)2=(9-t)2..67=81-18t十t.t比较 小，将忽略不计67≈81-1811g2=子V丽≈9号≈82.(2)用①的形 式得出的√7的近似值的精确度更高.理由如下：，8.18×8.18=66.9124,8.19×8.19= 67.0761,√66.9124<√67<√67.0761，∴.8.18<√67<8.19<8.22..用①的形式得 出的√7的近似值的精确度更高. 第6页（共48页）