7.2.3 平行线的性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）贵州专版

【名师导学 》◆◆预习先知 新知梳理 ①两直线平行，同位角 ②两直线平行，内错角 ③两直线平行，同旁内角 ☑例题引路 【例1】如图，AB∥ CD,AD∥BC,∠A 和∠C,∠B和∠D 有怎样的大小关系？为什么？ 【名师点拨】已知条件中有两组平行直 线，根据平行线的性质，推导出角与角 之间的数量关系 【学生解答】 【例2】如图，一条 公路修到湖边时， 需拐弯绕湖通过，M B 如果第一次拐的角是∠A=120°，第二 次拐的角是∠ABC=150°，第三次拐的 角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐 弯之前的道路平行，求∠C的度数. 【名师点拨】过点B作EF∥AM,则 AM∥EF∥CN,利用平行线的性质即 可求得∠C的度数 【学生解答】 7.2.3平行线的性质 高1课时 平行线的性质 【基础过关 ●●●逐点击破 知识点1两直线平行，同位角相等 1.(2025·遵义期中)如图，直线a,b被直线c所截.若a∥b, ∠1=70°，则∠2的度数是 ( A.69° B.70° C.71° D.72° B---D A (第1题图)（第2题图） (第3题图) 2.(2025·四川中考改编)光线在不同介质中的传播速度是 不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射.由于 折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，∠1=40°，∠2=120°，则∠3+∠4的度数为 知识点2两直线平行，内错角相等 3.(2025·德阳中考)如图，一条水渠两次转弯后和原来方向 相同，如果第一次拐角∠CAB=135°，则第二次拐角 ∠ABD的度数为 A.45 B.55° C.105° D.135 4.(2025·遵义期末)如图，将一副三角尺按如图所示方式摆 放，AC∥DE,∠B=∠F=90°，∠E=45°，∠C=30°，则∠1 的度数为 ( Λ.135 B.120 C.90° D.45° D 115°100⊙ (第4题图) (第5题图) (第6题图) 知识点3两直线平行，同旁内角互补 5.(2025·黔南期中)将一个等腰直角三角尺按照如图所示的方 式放在两条平行线上，若∠1=80°，则∠2的度数为 ( A.100° B.809 C.110° D.70 6.如图是某考古队发掘出的一块梯形残缺玉片，工作人员从 玉片上量得∠A=115°，∠D=100°.已知梯形的两底AD∥ BC,则∠B的度数为 第七章相交线与平行线11 【能力提升 ···整合运用 7.如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°，则∠D 的度数为 ( A.25° B.35 C.45 D.55 B D■ (第7题图) (第8题图) 8.学科融合新趋势(2025·贵州一模)如图，在 水平地面AB上放一个平面镜AC,且 ∠CAB=42°，在AB边上有一点D,从点D处 射出一束光线经平面镜反射后，反射光线EF 恰好与AB平行，则∠BDE的度数为() A.84° B.96° C.108°D.132 9.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若 ∠1=20°，则∠2的度数为 --) (第9题图) (第10题图) 10.日常生活情境化为倡导绿色出行，西安市 在地铁口设置了共享单车服务.如图是其结 构示意图，支架AB和CD与地面1平行.若 ∠BCD=60°，∠BAC=55°，当AM平行于支撑 杆CE时，∠MAC的度数为 11.如图是某汽车的标志图案，其中蕴含着许 多几何知识，根据下面的条件完成解答， 已知：如图，BC∥AD,BE∥AF. (1)∠A与∠B相等吗？为什么？ (2)若∠DOB=135°，求∠A的度数. 12数学1七年级下册 【思维拓展 ◆◆·强化素养 12.已知一个角的两边与另一个角的两边分别 平行，请结合图①、图②，探索这两个角之 间的关系，并说明理由 图① 图② (1)如图①，AB∥CD,BE∥DF,∠1与∠2 有何数量关系？ (2)如图②，AB∥CD,BE∥DF,∠1与∠2 有何数量关系？ (3)经过上述推理，我们可得出结论：如果 一个角的两边与另一个角的两边分别 平行，那么这两个角 (4)若两个角的两边分别平行，且一个角比 另一个角的3倍少60°，则这两个角分 别是多少度？ 第2课时 【名师导学 。◆预习先知 ☑例题引路 【例】如图，已知点D,E,F,G都在 △ABC的边上，AE∥DG,且∠1+ ∠2=180° D (1)试说明：EF∥AC; (2)若EF平分∠AEB,∠CDG=100°， 求∠CAE的度数， 【名师点拨】(1)由AE∥DG得到同旁 内角互补，再由∠1十∠2=180°即可确 定∠CAE=∠1，从而由“内错角相等， 两直线平行”即可得到EF∥AC; (2)由AE∥DG得到同位角相等，再由 邻补角的定义求出∠AEB的度数，进 而根据角平分线的定义求出∠1的度 数，结合(1)中结论即可得到答案. 【学生解答】 平行线的性质与判定的综合运用 【基础过关 ·●逐点击破 知识点平行线的性质与判定的综合运用 1.如图，若∠A十∠ABC=180°，则下列结论正确的是() A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1=∠3 D.∠2=∠4 3☑ B 2 D21 (第1题图) (第2题图) 2.(2025·贵阳期中)如图，点D,E,F分别在三角形ABC的 边AC,AB,BC上，连接DE,EF.若∠1=∠B,∠2=75°， 则∠3的度数为 A.1059 B.95 C.85 D.75 3.如图，AD⊥BD,∠3十∠2=180°，∠1=55°，那么∠3的度 数是 2 C D (第3题图) (第4题图) 4.如图，已知ABI EF于点G,CD⊥EF于点H,∠1=70°， 则∠2的度数为 5.如图，CD∥AB,∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB= 130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系？为什么？ 第七章相交线与平行线13 【能力提升 、♪》整合运用 6.如图，E,F分别是AB,CD上的点，G是BC 的延长线上一点，且∠B=∠DCG=∠D,则 下列结论不一定成立的是 A.∠AEF=∠EFC B.∠EFD=∠BCF C.∠A=∠BCF D.∠BEF+∠EFC=180 7.如图，∠A=∠1，∠2+∠3=180°，∠BDE= 65°，则∠ACB的度数是 一D (第7题图) (第8题图) 8.(2025·遵义期中)如图，已知∠BAP+ ∠APD=180°，∠1=∠2，在 中填上 理由，说明∠E=∠F. 解：.'∠BAP+∠APD=180°（已知）， .AB∥CD( ∴.∠BAP=∠APC( 又∠1=∠2（已知）， ∴.∠BAP-∠1=∠APC∠2( 即∠3=∠4. .AE∥PF( .∠E=∠F( 9.有一张四边形纸片ABCD,AD∥BC,点E, F分别在AD,BC上，把纸片沿EF折叠，点 D,C分别与点G,H重合，FH交线段AD 于点P (1)如图①，∠GEA与∠HFB相等吗？为 什么？ 图① 14数学1七年级下册 (2)如图②，∠D=70°，猜想当∠EFC为多少 度时，GH∥AD,并说明理由， 图② 【思维拓展 ,◆强化素养 10.学科融合新趋势中国汉字博大精深，方块 文字智慧灵秀，奥妙无穷.一个“互”字和它 的抽象的几何图形分别如图①、图②所示， 其中AB∥CD,MG∥FN,点E,M,F在同 一直线上，点G,N,H在同一直线上，且 ∠AEF=∠GHD.试说明：∠EFN=∠G. 互 图② 提示 请完成基本功专练（一）参考答案 第七章相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 新知梳理 ①反向延长线②顶点反向延长线 日相等 例题引路 【例1】(1)∠BOC(2)∠BOF,∠AOE【例2】D 基础过关 1.C2.144°3.120°4.D5.180°6.100°7.解：(1)∠B0D∠AOE(2)因为 ∠DOB=∠AOC=70°，∠DOB=∠BOE+∠EOD,∠BOE:∠EOD=2:3,所以设∠BOE =2x°，∠EOD=3.x°，则2x十3x=70,解得x=14.所以∠BOE=2x°=28°.所以∠AOE= 180°-∠B0E=180°-28°=152°. 能力提升 8.C9.A10.80°11.解：如图，4 一B方案一：用尺子沿塔底画出AO的延长 弥 D- C 线OC,用量角器测量∠BOC,利用邻补角互补可求得∠AOB的度数：方案二：用尺子沿塔底 画出AO的延长线OC,BO的延长线OD,用量角器测量出∠COD的度数，利用对顶角相等 求得∠AOB的度数.12.解：(1)因为∠BOE与∠BOD互为余角，所以∠BOE+∠BOD= 90°.因为∠BOE=4∠BOD,所以4∠BOD十∠BOD=90°.所以∠BOD=18°.(2)因为 ∠BOE=4∠BOD,所以∠BOE=4X18°=72°.所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-72°= 108.因为OF平分∠A0E,所以∠BOF=号∠A0E=5.所以∠BOF=∠B0E+∠EOF 地 =72°+54°=126° 思维拓展 13.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) 7.1.2 两条直线垂直 新知梳理 ①直角垂线垂足②有且只有一 ③垂线段垂线段最短④垂线段 例题引路 【例1】A【例2】B【例3】垂线段最短 基础过关 1.A2.互相垂直3.A4.解：如图. 图① 图② 图③ 5.C6.D垂线段最短7.135°或45 能力提升 8.A9.4.810.解：(1)①如图，PM即为所求.②如图，PN即为所求 线 (2)PM<PN<ON垂线段最短11.解：(1)因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°.所以 ∠AOC+∠1=90°，因为∠1=∠2，所以∠AOC+∠2=90°，即∠NOC=90°，所以ON⊥CD. (2)因为OM⊥AB,所以∠BOM=90°.因为∠BOC=6∠1，所以∠BOM+∠1=6∠1，即90° 十∠1=6∠1.所以∠1=18°.所以∠A0C=90°-∠1=90°-18°=72°.∠M0D=180°-∠1 =180°-18°=162°. 思维拓展 12.解：(1)∠AOD与∠BOC互补.说明如下：因为∠AOD=∠AOB十∠BOD=90°+ ∠BOD,∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOD=90°+90°-∠BOC.即 ∠AOD+∠BOC=180°.所以∠AOD与∠BOC互补.(2)猜想还成立.理由如下：因为 ∠AOB十∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，∠AOB,∠COD都是直角，所以90°+∠BOC+ 90°+∠AOD=360°.所以∠BOC+∠AOD=180°.所以∠AOD与∠BOC互补. 7.1.3两条直线被第三条直线所截 基础过关 1.A2.∠43.D4.N5.C6.∠3 第1页（共48页） 能力提升 7.B8.70°70°110°对顶9.解：(1)如图. (2)由∠1：∠2：∠3 h 2 =1:2:3,设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x.由∠2与∠3是邻补角，得∠2十∠3=2x°+3x° =180°，解得x=36.所以∠1=36°，∠2=2x°=72°，∠3=3x°=108. 模型构建专题“三线八角”的常见模型 L.C2.D3.A4.C5.AB AC DE内错6.(1)∠C,∠MOF,∠AOF (2)∠MOE,∠AOE,∠D7.解：(1)同位角：∠FAE和∠B;内错角：∠B和∠DAB:同旁内 角：∠EAB和∠B.(2)∠EAC和∠BCA,∠DAC和∠ACG.(3)∠BAC和∠BCA,∠FAC和 ∠ACG. 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 新知梳理 ②相交平行 ③3且只有一 ④平行 例题引路 【例1】D【例2】解：(1)如图，直线c即为所求.、P(2)a∥c.理由如下：因为a∥b, b∥c,所以a∥c.(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) 基础过关 1.C2.B3.(1)平行(2)相交(3)重合4.解：如图 EL 5.B 6.不能过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行7.解：(1)如图. Q(2)AB∥CD.理由如下：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD. C —B E 能力提升 8.B9.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面10.解：因为AB∥EF,CD∥EF,所以 AB∥CD.依据：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 11.解：(1)(2)如图. A (3)如图，4与2的夹角有两个，设为∠1，∠2.量得∠1 0 B =∠0=50°，∠2=130°，所以∠2十∠O=180°.综上所述，l1与l2的夹角与∠0相等或互补. 思维拓展 12.解：(1)分类讨论(2)如图，三条直线将平面分成四或六或七部分 Ⅱ/M ⅢV /VI Ⅲ 答图①答图②答图③ 答图④ 7.2.2平行线的判定 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：(1)由∠1=∠2可得AD∥BC.理由：内错角相等，两直线平行.(2)由∠B+ ∠BAD=180°可得AD∥BC.理由：同旁内角互补，两直线平行.(3)由∠B=∠3可得AB∥ CD.理由：同位角相等，两直线平行.【例2】解：AB∥CD.理由如下：：∠ACD=70°， ∠ACB=60°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=70°+60°=130°.：∠B=50°，∴.∠BCD+∠B =180°..AB∥CD. 基础过关 1.D2.同位角相等，两直线平行3.(1)ABCD同位角相等，两直线平行(2)EF GH同位角相等，两直线平行4.B5,ADBC6.B7.100°8.解：AB∥CD.理由如 下：.DE平分∠BDC,∴.∠BDC=2∠1.BE平分∠ABD,.∠ABD=2∠2..∠BDC+∠ABD =2∠1+2∠2=2（∠1十∠2）.：∠1+∠2=90°，∴.∠ABD+∠BDC=180°..AB∥CD. 第2页（共48页） 能力提升 9.C10.∠DAE=∠B(答案不唯一)1l.解：光线a与光线b平行.理由如下：如图. a 空气名 ∠1=∠2，∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，∠5=∠6.∠3=∠4，.∠3 1P5 水62 6卫空气 十∠5=∠4十∠6.∴.a∥b,即光线a与光线b平行. 思维拓展 12.解：(1)∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,∴∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE=116. (2)BC∥PA.理由如下：·∠PAD=∠BAE,∴∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE=180° 2∠BAE.同理可得∠ABC=180°-2∠ABE.:∠BAE+∠ABE=90°，∴·∠PAB+∠ABC =180°-2∠BAE+180°-2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)=180°..BC∥PA. 7.2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 新知梳理 ①相等②相等日互补 例题引路 【例1】解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下：：AB∥CD,∠A十∠D=180°.：AD∥BC, ∴∠C+∠D=180°..∠A=∠C.同理可得∠B=∠D.【例2】解：如图， 过点B作EF∥AM,则∠1=∠A=120°.：∠ABC=150°，∴.∠2= B ∠ABC-∠1=150°-120°=30°.：AM∥CN,∴.EF∥CN.∴.∠2+∠C=180°.∴.∠C=180 -∠2=180°-30°=150 基础过关 1.B2.160°3.D4.A5.A6.65 能力提升 7.B8.A9.140°10.65°11.解：(1)∠A=∠B.理由如下：：BC∥AD,∴∠B= ∠DOE.又：BE∥AF,∴∠DOE=∠A.∴∠A=∠B.(2):BE∥AF,∴∠EOA+∠A= 180°.：∠E0A=∠D0B=135°，.∠A=180°-∠E0A=180°-135°=45. 思维拓展 12.解：(1)AB∥CD,∴∠1=∠3.BE∥DF,∴∠2=∠3.∠1=∠2.(2)AB∥CD, ∠1=∠3.：BE∥DF,.∠2+∠3=180°.∴.∠1十∠2=180°.(3)相等或互补(4)设一 个角的度数为x°，则另一个角的度数为3x°-60°，①当x=3x-60时，解得x=30.此时3x -60°=x°=30°.则这两个角的度数分别为30°，30°；②当x十3x-60=180时，解得x=60. 此时3x°-60°=3×60°-60°=120°.则这两个角的度数分别为60°，120°. 第2课时平行线的性质与判定的综合运用 例题引路 【例】解：(1)：AE∥DG,∴.∠2+∠CAE=180°.：∠1+∠2=180°，.∠CAE=∠1..EF∥ AC.(2)AE∥DG,.∠AEC=∠CDG=100°..∠AEB=180°-∠AEC=80°.：EF平分 ∠AEB,∠1=∠AEB=40∴由1)知，∠CAE=∠1=40. 基础过关 1.D2.A3.145°4.110°5.解：EF∥AB.理由如下：CD∥AB,∴∠ABC=∠DCB= 70°.：∠CBF=20°，∴.∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°.：∠EFB=130°，.∠ABF+ ∠EFB=180°.∴.EF∥AB. 能力提升 6.B7.65°8.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，内错角相等等式的性质内错 角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等9.解：(1)∠GEA=∠HFB.理由如下： AD∥BC,∴.∠HPA=∠HFB,GE∥HF.∠GEA=∠HPA.∠GEA=∠HFB. (2)当∠EFC=35时，GH∥AD.理由如下：AD∥BC,.GE∥HF.根据折叠的性质可知 ∠G=∠D=70°，∠HFE=∠EFC=35°，.∠H=180°-∠G=180°-70°=110°，∠HFC= ∠HFE+∠EFC=35°+35°=70°..∠H+∠HFC=110°+70°=180°..GH∥BC.:AD ∥BC,.GH∥AD.∴.当∠EFC=35时，GH∥AD. 思维拓展 10.解：延长EF,交CD于点P.AB∥CD,∴.∠AEF=∠EPD.又.∠AEF=∠GHD, ∠EPD=∠GHD.∴.EP∥GH.∠EFN+∠FNG=180.MG∥FN,∠G+∠FNG =180°.∴.∠EFV=∠G. 第3页（共48页）