21.1 四边形及多边形 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.1 四边形及多边形 同步练习 一、单选题 1．正六边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 2．在研究多边形的几何性质时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．在学习多边形的内角和外角知识以后，2班的小朋友们在操场做了一个实验，如图，张梓佑从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转度，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，她共走了72米，请计算出张梓佑每次旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，五边形公园中，，张老师沿公园由A点经散步，张老师共转了（    ） A． B． C． D． 5．若等腰三角形两腰上的高线所在的直线相交所得的锐角为，则等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 6．如图，将等边三角形、正方形、正五边形（每个内角均相等）按如图所示的位置摆放，如果，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，直线l与正五边形的边，分别相交于点F，G，则的大小为（    ） A． B． C． D． 8．小明在社会实践中想用不同的正多边形瓷砖铺设地面，在一个顶点处有一个正三角形和一个正十边形瓷砖，若想铺成平整无缝隙的地面，则还需要的瓷砖形状是（　　） A．正十二边形 B．正十三边形 C．正十四边 D．正十五边形 9．如图，正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 10．用一些全等的正五边形按如图的方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，图中所示的是前三个正五边形拼接的情况（每两个正五边形所夹的锐角都相等，即），拼接一圈后，若中间形成一个正六边形，则每两个正五边形所夹的锐角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．学校大门口的伸缩门，实际上利用了四边形具有 的性质． 12．图形中的值为 ． 13．如图，在七边形中，，的延长线交于点O．若与，，，相邻的四个外角的和为，则的度数为 ． 14．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 15．如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 条对角线． 三、解答题 16．（1）一个多边形的内角和是，求这个多边形的边数． （2）根据图中的相关数据，求出的值．    17．如图，一个正方形和一个正六边形有一边重合．    (1)用无刻度的直尺画出这个图形的对称轴，保留作图痕迹，不写作法； (2)求的度数． 18． 已知一个多边形的内角和与外角和相加等于，求这个多边形的边数及对角线的条数． 19．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形． (1)请你根据图中的图形，填写表中空格； (2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由． 正多边形边数 3 4 5 … n 正多边形每个内角的度数 … 20．如图，在四边形中，，E是边上的一点，且，求证：． 21．如图，已知四边形是长方形，用一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别记为和，求的值． 22．（1）已知：如图1，．求证： 分析：方法①延长到D，过点C作射线（图2），这样就相当于把移到了的位置，把移到了位置． 方法②过点A作直线（图3），把三个角“凑”到A处． 从上面选一种你喜欢的方法写出证明过程． 解决问题： （2）如图4，外一点D，连接、．求证：． （3）如图5，外两点D、E，连接、、．沿着折叠得到图6，点E落在点F．则 （答案直接写在横线上）． 23．如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 24．综合与实践，阅读理解： 学习三角形内角和定理，给我们认识到：任何一个三角形的三个内角之和都等于，现在依靠同学们通过探索归纳，解决以下问题： 【问题引入】 （1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中的虚线剪去，等于（    ） A．    B．    C．    D． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则等于________度； 【类比探究】 （3）如图2，根据（1）与（2）的解答和思考过程，请你归纳猜想与的数量关系是________（直接写出结果）； 【知识拓展】 （4）如图3，若没有把剪掉，而是把它折成如图3所示的形状，试探究与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了多边形的外角和是．根据任何多边形的外角和是即可求出答案． 【详解】解：∵任意一个多边形的外角和都是， ∴正六边形的外角和为． 故选：C． 2．C 【分析】根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，把边形分成个三角形解答即可． 【详解】解：从八边形的一个顶点可以引条对角线，可分割成个三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，牢记边形从一个顶点出发可引出条对角线，把边形分成个三角形是解题的关键． 3．B 【分析】根据多边形的外角的定义解决此题． 【详解】解：∵， ∴． ∴每次旋转的角度． 故选：B． 【点睛】本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角的定义是解决本题的关键． 4．D 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，由题意得，张老师转的角度即为五边形的外角和的度数，且没有走与相邻的外角，再根据多边形外角和为即可得到答案． 【详解】解：由题意得，张老师从点A出发，沿着五边形的边行走又回到A点，则他转的角度即为五边形的外角和的度数,且没有走与相邻的外角， ∴张老师共转了， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：在中，分别为的高，垂足分别为D，E， 如图，当是钝角时， 由题意：， ∴； 当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴； 综上所述，等腰三角形的顶角的度数为或． 故选：D． 6．C 【分析】根据等边三角形、正方形、正五边形的性质得出，根据三角形的外角和为，即可解答． 【详解】解：∵图中三角形，四边形，五边形为等边三角形、正方形、正五边形， ∴， ∵，， ∴， 故选：C．    【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握三角形的外角和为，正多边形每个内角都相等． 7．C 【分析】本题考查了正多边形的内角，对顶角等知识，根据正五边形的性质和多边形内角和定理求出，根据四边形内角和是求出，然后根据对顶角性质求解即可． 【详解】解：∵为正五边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C 8．D 【分析】本题考查了平面镶嵌，欲解答此题，要熟悉平面镶嵌的定义还要熟悉正多边形内角和外角的求法． 根据正三角形的每个内角为，正十边形的每个内角为，若能构成镶嵌，则还需正多边形的每个内角为，据此即可求解． 【详解】解：∵正三角形的每个内角为， 正十边形的每个内角为， ∴还需正多边形的每个内角为， 其每个外角为， 其边数为． 故选：D． 9．B 【分析】先根据多边形的内角和公式分别求得，，进而求得，再根据正五边形的性质可得，根据三角形内角和定理求得，根据邻补角的性质求得，最后利用四边形内角和为，即可求得的度数． 【详解】解：如图，   六边形是正六边形，五边形是正五边形， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的内角问题，角的和差计算，正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的每一个内角度数为． 10．C 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角和等知识，求出正五边形和正六边形的每个内角，即可求解，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正五边形的每个内角为： ， 正六边形的每个内角为： ， ∴每两个正五边形所夹的锐角为： ， 故选：C． 11．不稳定性 【分析】根据四边形的不稳定性进行分析，即可得到答案． 【详解】解：学校大门口的伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性． 故答案为：不稳定性． 【点睛】本题主要考查了四边形不稳定性的是实际应用，正确理解三角形稳定形和四边形不稳定性是解题关键． 12．50 【分析】此题考查了多边形内角和，根据多边形的内角和定理解题即可． 【详解】解：， 故答案为：50． 13．/50度 【分析】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于是解题的关键．根据题意计算，，，的度数之和，再计算五边形的内角和，即可求解． 【详解】解： ，，，的外角和等于， ， 五边形的内角和为， ． 故答案为：． 14．14 【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是的整数倍”是解题的关键． 设少输入的内角为，则；由结合可得：，再将代入，解关于n的方程即可． 【详解】解：设少输入的内角为， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴， ∴， 解得：． 故答案为14． 15． 【分析】本题主要考查了图形规律，根据已有多边形对角线的条数，归纳出规律成为解题的关键． 先确定一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线，据此归纳规律即可解答． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线， 则一个n边形共有（，且n为整数）条对角线． 故答案为：． 16．（1）8；（2） 【分析】（1）根据多边形的内角和公式解答即可； （2）根据四边形的内角和是列出方程求解即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 则， 解得：； 答：这个多边形的边数是8； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟知n边形的内角和是是解题的关键． 17．(1)见解析 (2)的度数为 【分析】（1）连接交于点，连接交于点N，过点作直线即可； （2）根据多边形的内角和可得和的度数，再根据周角是即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作    （2）解：∵四边形是正方形， ∴ ∵正六边形的内角和为， ∴正六边形一个内角的度数为 ∴ ∴ ∴的度数为 【点睛】本题考查作图，正多边形的内角和：且为正整数)，角的和差，应用正多边形的性质是解题的关键． 18．这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54． 【分析】已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是360度，因而内角和是1800度．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． 【详解】解：设这是边形，则 ， ， ． 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54． 【点睛】考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决． 19．(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查正多边形内角的度数； （1）根据题意，得出正多边形每个内角的度数为即可； （2）先求出正六边形内角的度数，再求多边形的内角加在一起能否组成一个周角即可． 【详解】（1）解：根据题意，正多边形每个内角的度数为： （2）解：正六边形内角的度数： ∴3个正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形； ∴选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形． 20．见解析 【分析】此题主要考查了平行线的判定以及多边形内角和定理，根据已知得出是解题关键． 根据题意结合四边形内角和定理得出，则即可得出答案． 【详解】证明：在四边形中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．或或 【分析】此题考查了多边形的内角和，分别做出直线，再分别求出即可． 【详解】解：不同的划分方法有4种，见图： 不同的的值分别是： ， ， ， ， 即的值为或或. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明及应用，涉及四边形内角和，五边形内角和，折叠问题等，解题的关键是掌握平行线的性质． （1）方法①延长到D，过点C作射线，结合平行线的性质与平角的定义可得结论； 方法②过点A作直线，结合平行线的性质与平角的定义可得结论； （2）由（1）的结论可得，，再相加可得结论； （3）连接，由（1）知，，， 由（2）知，，再相加可得答案． 【详解】证明：（1）方法①延长到D，过点C作射线，如图： ∴，， ∵， ∴； 方法②过点A作直线，如图： ∴，， ∵， ∴； （2）由（1）知，，， ∴， ∴， 即； （3）连接，如图： 由（1）知，，， 由（2）知，， ∴ ， ∴． 23．(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的知识； （1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）根据（2）中的结论列方程求解即可． 【详解】（1）由正方形， 可得：， ； 由正五边形，可得：，， ， ； 由正六边形，可得：，， ， ； 故答案为：，，； （2）根据（1）中的结果发现等于正边形一个内角的度数， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 解得． 24．（1）C；（2）；（3）；（4），见解析 【分析】（1）先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求出． （2）由可得出，再用四边形内角和为可算出最终结果． （3）根据（1）与（2）的解答进行归纳即可； （4）根据平角和三角形内角和定理解答即可求出． 【详解】解：（1） , ． 故选：C． （2）， ． ， ． 故答案为：． （3）当时， 当时， 由此得出：． （4）与的数量关系为： 理由如下 即． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平角，三角形内角和定理，四边形的内角和定理；知道剪去直角三角形的这个直角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $