11.1～11.2不等式、一元一次不等式寒假预习讲义 2025-2026学年人教版七年级下学期数学（知识点归纳+题型解读+综合测试）

11.1～11.2不等式、一元一次不等式寒假预习讲义（人教版） 💧课前预习★目标 ◆ 理解不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集等基本概念； ◆ 熟记不等式的基本性质，能够熟练应用不等式的性质解决相关题目； ◆ 了解不等式解集的表示方法，能够熟练的在数轴上表示不等式的解集； ◆ 掌握一元一次不等式解应用题的基本步骤，并能熟练利用一元一次不等式解决实际应用题． 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1不等式的概念】 （1）一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如7＜8，-4＞-5；有些不等式中含有未知数，如2x＞7中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【知识点2不等式的解及解集】 1．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 3．不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤5的解集为x≤7． （2）用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【要点提示】在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”： 一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈； （2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【知识点3不等式的基本性质】 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【知识点4一元一次不等式的概念】 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，x>20是一个一元一次不等式． 【知识点5一元一次不等式的解法】 1.一元一次不等式的解法： ①去分母：在不等式两边同时乘上分母的最小公倍数．（根据等式的性质2）； ②去括号：利用去括号的法则； ③移项：把含有未知数的移到等号的左边，常数移到等号的右边．（根据等式的性质1） ④合并：利用合并同类项法则进行合并． ⑤系数化为1：不等式两边除以系数或乘上系数的倒数．当系数为负数时，不等号方向一定要改变．（根据不等式的性质2或3） 【知识点6一元一次不等式的应用】 1.列不等式解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，抓住的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并理解其含义； ②设：设出适当的未知数； ③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式； ④解：解出所列的不等式的解集； ⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1不等式的定义 例1．a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列不等式，掌握知识点是解题的关键． “平方差”指两个数的平方之差，即；“不小于”表示大于或等于，即大于或等于3，即可解答． 【详解】解：a与b的平方差不小于3，用不等式表示为． 故选C． 变式1．用适当的式子表示与的和是负数： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式，根据题意，“和是负数”表示和小于零，列出不等式即可． 【详解】a与b的和是负数，即它们的和小于零， 所以表示为． 故答案为：． 变式2．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可； （2）该顾客得到的优惠超过30元时，，根据对应的促销方式列出不等式即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 题型2不等式的解集 例2．下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 变式1．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有 ． （2）的负整数解有 ． 【答案】 1，2 －3，－2，－1 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． （1）由不等式，结合正整数定义，找出所有满足条件的正整数； （2）由不等式 ，结合负整数定义，找出所有满足条件的负整数． 【详解】解：（1），且为正整数， 可取，， 故答案为：； （2），且为负整数， 可取，，． 故答案为：，，． 变式2．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 题型3不等式的性质 例3．已知，下列不等式中，成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，需根据不等式的三条性质对每个选项进行判断，找出成立的不等式． 【详解】∵ ∴根据不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变， ∴，故A选项不成立； ，故B选项不成立； ∵根据不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变， ∴，故C选项不成立； ∵根据不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变， ∴，故D选项成立． 故选：D． 变式1．根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵将“”变形为“”，需要在不等号两边同时乘以， ∵不等号由“”变成“”， ∴， 故答案为：． 变式2．某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了不等式基本性质的应用，正确理解题意列不等式求解是关键．根据题意列出不等式，整理得，再根据不等式基本性质即可得出． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 不等式两边都减去，得， 不等式两边都除以5，得， 所以a与b的大小关系为． 题型4一元一次不等式的定义 例4．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 变式1．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， 则且， 解，得或， 即或， 当时，，不符合系数不为0的条件， 当时，，符合条件， 故答案为：1． 变式2．若(m-2)-2≥7是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】m=-2 【分析】由题意可知：m2-3=1，m-2≠0，即可解答. 【详解】解∵不等式(m-2) -2≥7是关于x的一元一次不等式， ∴m2-3=1，m-2≠0， 解得m=-2 当m=-2时，不等式是关于x的一元一次不等式 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 题型5求一元一次不等式的解集 例5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步计算即可． 【详解】解： 两边同时乘3去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得， 故选：B． 变式1．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出答案． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 故答案为：． 变式2．在解不等式时，小聪给出如下解法： 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得______ 两边同除以，得______ (1)请帮小聪把剩余的步骤补充完整； (2)其中第二步“移项”的依据是______． 【答案】(1)， (2)不等式的基本性质1 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据解一元一次不等式的一般步骤即可判断和求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （2）解：第二步“移项”的依据是不等式的基本性质1． 故答案为：不等式的基本性质1． 题型6求一元一次不等式的整数解 例6．不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 首先解不等式，然后确定不等式的正整数解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴正整数解有， 故正整数解有个， 故选：B． 变式1．写出不等式的一个负整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的负整数解． 【详解】解：， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为、、，任取一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【答案】(1)-3 (2)，0 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集以及代数式求值，根据题意列出不等式组是解答本题的关键． （1）把代入整式计算即可； （2）根据题意可得不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得， 解得， 的非正整数值为，． 题型7在数轴上表示不等式的解集 例7．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示，关键是掌握：解不等式得到解集后，含等号的解集在数轴上用实心圆点表示，不含等号用空心圆圈表示；大于对应向右绘制射线，小于对应向左绘制射线． 【详解】解：解不等式，得； 根据数轴表示解集的规则，需在数轴上数字1的位置标注实心圆点，再向数轴正方向绘制射线． 观察各选项，只有选项D符合该表示． 故选：D． 变式1．关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式，掌握不等式的解法、数形结合思想是解题的关键，解不等式可得，由数轴可得，因此，可求出的值． 【详解】解：由得： ， 由数轴可得， ， ， 故答案为：2． 变式2．解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”，最后在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 在数轴上表示不等式的解集如下． 题型8求一元一次不等式解的最值 例8．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 变式1．关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】(1)这个算式的值为 (2)被遮挡的数的最小值为 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． （2）解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 题型9列一元一次不等式 例9．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式，解决本题的关键是总时间小于8分钟． 根据题意，总时间由步行时间和小跑时间组成，且总时间小于8分钟，据此列出不等式即可． 【详解】解：∵步行距离为米， ∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， 又∵在之前到达，即总时间小于8分钟， ∴根据题意列出的不等式为． 故选：A． 变式1．x与x的2倍的和是非正数，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键． 根据与的2倍的和，则，再利用非正数，即小于等于零，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：． 故答案为：． 变式2．一座小水电站的水位在（不包括和）时，发电机能正常工作，设水库水位为（）． (1)用不等式表示发电机正常工作的水位范围，并把它在数轴上表示出来； (2)当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？①；②；③；④． 【答案】(1)，见解析 (2)①②发电机不能正常工作，③④发电机能正常工作 【分析】本题主要考查不等式的应用，理解不等式的意义，在数轴上表示不等式是关键． （1）直接写出不等式，再在数轴表示出来即可； （2）分别判断①；②；③；④，是否满足，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一座小水电站的水位在（不包括和）时，发电机能正常工作， ∴， 不等式组的解集在数轴上表示，如图 ． （2）①∵， ∴发电机不能正常工作； ②∵， ∴发电机不能正常工作； ③∵， ∴发电机能正常工作 ④∵， ∴发电机能正常工作． 答：①②发电机不能正常工作，③④发电机能正常工作． 题型10用一元一次不等式解决实际问题 例10．甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了7场，甲队保持不败，得分超过15分，则甲队胜了（    ） A．5场 B．至多5场 C．至少5场 D．至少6场 【答案】C 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设甲队胜了场根据甲队得分超过分列一元一次不等式求解，结合为整数确定甲队胜场的最小值，进而选出正确选项． 【详解】解：设甲队胜了场， 则， 解得：， ∴的最小值为， 即甲队至少胜了场， 故选：C． 变式1．如图，书架长102cm，在该书架上按图所示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚1.2cm，每本语文书厚1.5cm．若书架上已摆放30本语文书，设数学书摆放了本，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握根据题意找出不等关系，正确表示两种书的总厚度是解题的关键． 先计算本语文书的总厚度，再表示出本数学书的总厚度，根据 两种书的总厚度不超过书架长度的条件，列出不等式． 【详解】解：本语文书的总厚度：， 本数学书的总厚度：， 总厚度不超过， 因此可列不等式：． 故答案为：． 变式2．某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本万元，如果每套软件定价万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？ 【答案】至少需要售出229套软件才能不亏本 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设至少售出套软件，根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】解：设至少售出套软件， 则， 解得：， ， 由于套数必须为整数， 故至少需要售出229套软件． 题型11用一元一次不等式解决几何问题 例11．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 变式1．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 变式2．如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？ 【答案】当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，涉及到了一元一次不等式，解题关键是列出一元二次方程并求解，本题根据生态园面积为96列出方程求解即可． 【详解】解：设生态园宽为x米， ， ∵要利用一面20米长的墙为一边， ∴， ∴， 此时长为， 答：当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，根据“不得超过”的含义，噪音x应不超过50分贝，即． 【详解】解：∵ 噪音不得超过50分贝， ∴ ， 故选：D． 2．下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意； B、包括，故该选项不符合题意； C、包括，故该选项不符合题意； D、包括，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．已知，则下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质．熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变，是解题的关键．通过对已知不等式进行合理变形，对比选项即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴不等式两边同时加， ∴， 即，其他选项均不符合不等式的基本性质． 故选：． 4．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．正确地求出不等式的解集是解题的关键．注意在数轴上表示不等式的解集时，含等号，用实心点，不含等号，用空心点． 先求出不等式的解集，在数轴上表示出解集，进行判断即可． 【详解】解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： ， 故选：D． 6．关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的整数解问题，先解不等式得到，再根据恰有两个负整数解确定这两个负整数为、，进而推导b的取值范围，最后结合选项判断符合条件的取值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 不等式恰有两个负整数解 ∴ 这两个负整数解为、， ∴ ， 结合选项，只有在该取值范围内； 故选：D 7．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 8．今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长年后此树树围超过，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据生长年后此树树围超过（即），即可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：∵ 初始树围为，每年增长， ∴ 年后树围为. 又∵ 树围超过（即）， ∴ ． 故选：A. 9．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 二、填空题 10．“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 11．下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，由得，据此可得答案． 【详解】解：由得， ∴是不等式的解得是④，⑤4， 故答案为：④⑤． 12．若，则 ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，直接得到比较结果． 【详解】解：由，两边同时乘，得， 故答案为：． 13．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 14．将不等式化为“”或“”的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式． 根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 15．写出不等式的一个负整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元一次不等式及求整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．先求解不等式，再找出负整数解即可． 【详解】解：， ， ， 解得， ∴ 不等式的负整数解为、、， 故答案为：（答案不唯一）． 16．已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，熟练掌握数轴表示解集的方法是解题的关键； （1）（2）（3）根据数轴上表示不等式解集的方法，判断折线方向以及端点是实心还是空心来确定不等式的解集． 【详解】解：（1）折线开口向左，表示小于，端点空心即不包含， 则该不等式的解集为：； （2）折线开口向右，表示大于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：； （3）折线开口向左，表示小于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：． 17．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了 道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 18．用不等式表示“与2026的和不大于”： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，熟练掌握根据题意列不等式是解题的关键． 根据题意，“与2026的和不大于”可转化为不等式； 【详解】解：∵与2026的和不大于， ∴； 故答案为：． 三、解答题 19．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，在不等式两边同加上3即可； （2）根据不等式的基本性质，在不等式两边同减去即可； （3）根据不等式的基本性质，在不等式两边同乘以5即可； （4）根据不等式的基本性质，在不等式两边同除以，改变不等号的方向，据此求解即可． 【详解】（1）解：不等式两边同加上3，得， ； （2）解：不等式两边同减去，得， ； （3）解：不等式两边同乘以5，得， ； （4）解：不等式两边同除以，得， ． 20．解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． 21．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键． （1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围； （2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵， ∴， 解得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得，，范围内的最小整数解为， 将，代入方程，得： ， 解得，． 22．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“至少含有3600单位的维生素C”可得不等式； （2）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“甲、乙两种原料的费用不超过65元”列出不等式. 【详解】（1）解：设所需甲种原料的质量，由题意得： . （2）解：根据题意，得． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式. 23．已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【详解】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 24．某购物平台推出以下两种图书促销方式： 方式一：满100元减50元． 方式二：单件图书打六折（即按原价的计算）． 请回答下列问题： (1)若购买一册书的原价是80元，分别计算按方式一和方式二进行购买所需支付的金额． (2)设购买的图书原价为t元，按原价是否满100元分两种情况，分别写出按方式一、方式二购买时需支付的金额（用含t的代数式表示），填写在下表： 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 (3)购买图书的原价在什么范围内，两种方式支付的金额相同？ (4)根据以上结果，分析如何根据图书原价选择更省钱的购买方式． 【答案】(1)按方式一购买需要支付的金额为80元，按方式二购买需要支付的金额为元 (2)表见解析 (3)元时，按两种方式支付金额相同 (4)当时，按方式二购买更省钱，当时按方式一购买更省钱，当时，两种方式费用一样，当时，按照方案式购买更省钱 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用； （1）根据题意列算式求解即可； （2）根据题意列出代数式，完成列表； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解； （4）根据题意分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：按方式一购买需要支付的金额为：80元． 按方式二购买需要支付的金额为：元． （2）解：根据题意，补全表格如下： 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 （3）解：根据题意，得， 解得： 答：元时，按两种方式支付金额相同； （4）解：由题意，结合（2），得 当时，方式一是按原价购买，方式二是打六折购买，故方式二购买更省钱； 由得， 由， 由得， 答：当时，按方式二购买更省钱； 当时，按方式一购买更省钱； 当时，两种方式费用一样； 当时，按照方式二购买更省钱． 25．如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 【答案】(1)8，6 (2)点表示的数是 (3)机器人变成彩色的总时长为8秒 【分析】本题考查了数轴、线段的中点、一元一次不等式的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据数轴的性质可得，由此即可得； （2）先判断出点只能在点的右侧，再根据线段和差可得，然后根据数轴的性质求解即可得； （3）先确定，求出点表示的数为，点表示的数为，再分三种情况：①，②和③，根据建立不等式求解即可得． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数分别为，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵，，且点在点的右侧， ∴点只能在点的右侧，位置如图所示： ∴， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的数是． （3）解：∵点表示的数分别为， ∴， 由题意得：点从点运动到点所需时间为秒， ∴当时，点在上，点在点处，此时，即， ∴当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∴当机器人的运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 令，解得． ①当时，点在点的左侧，未追上点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②当时，点与点重合，，符合题意； ③当时，点在点的右侧，超过点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； 综上，当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∵当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人变成彩色， ∴机器人变成彩色的总时长为（秒）， 答：机器人变成彩色的总时长为8秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1～11.2不等式、一元一次不等式寒假预习讲义（人教版） 💧 课前预习★目标 ◆ 理解不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集等基本概念； ◆ 熟记不等式的基本性质，能够熟练应用不等式的性质解决相关题目； ◆ 了解不等式解集的表示方法，能够熟练的在数轴上表示不等式的解集； ◆ 掌握一元一次不等式解应用题的基本步骤，并能熟练利用一元一次不等式解决实际应用题． 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1不等式的概念】 （1）一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如7＜8，-4＞-5；有些不等式中含有未知数，如2x＞7中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【知识点2不等式的解及解集】 1．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 3．不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤5的解集为x≤7． （2）用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【要点提示】在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”： 一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈； （2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【知识点3不等式的基本性质】 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【知识点4一元一次不等式的概念】 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，x>20是一个一元一次不等式． 【知识点5一元一次不等式的解法】 1.一元一次不等式的解法： ①去分母：在不等式两边同时乘上分母的最小公倍数．（根据等式的性质2）； ②去括号：利用去括号的法则； ③移项：把含有未知数的移到等号的左边，常数移到等号的右边．（根据等式的性质1） ④合并：利用合并同类项法则进行合并． ⑤系数化为1：不等式两边除以系数或乘上系数的倒数．当系数为负数时，不等号方向一定要改变．（根据不等式的性质2或3） 【知识点6一元一次不等式的应用】 1.列不等式解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，抓住的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并理解其含义； ②设：设出适当的未知数； ③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式； ④解：解出所列的不等式的解集； ⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1不等式的定义 例1．a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 变式1．用适当的式子表示与的和是负数： ． 变式2．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 题型2不等式的解集 例2．下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 变式1．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有 ． （2）的负整数解有 ． 变式2．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 题型3不等式的性质 例3．已知，下列不等式中，成立的是（） A． B． C． D． 变式1．根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为 ． 变式2．某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系． 题型4一元一次不等式的定义 例4．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 变式2．若(m-2)-2≥7是关于x的一元一次不等式，求m的值． 题型5求一元一次不等式的解集 例5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式1．不等式的解集为 ． 变式2．在解不等式时，小聪给出如下解法： 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得______ 两边同除以，得______ (1)请帮小聪把剩余的步骤补充完整； (2)其中第二步“移项”的依据是______． 题型6求一元一次不等式的整数解 例6．不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 变式1．写出不等式的一个负整数解 ． 变式2．已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 题型7在数轴上表示不等式的解集 例7．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） 变式1．关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则 ． 变式2．解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 题型8求一元一次不等式解的最值 例8．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A．B．C．D． 变式1．关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 变式2．李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 题型9列一元一次不等式 例9．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 变式1．x与x的2倍的和是非正数，用不等式表示为 ． 变式2．一座小水电站的水位在（不包括和）时，发电机能正常工作，设水库水位为（）． (1)用不等式表示发电机正常工作的水位范围，并把它在数轴上表示出来； (2)当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？①；②；③；④． 题型10用一元一次不等式解决实际问题 例10．甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了7场，甲队保持不败，得分超过15分，则甲队胜了（    ） A．5场 B．至多5场 C．至少5场 D．至少6场 变式1．如图，书架长102cm，在该书架上按图所示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚1.2cm，每本语文书厚1.5cm．若书架上已摆放30本语文书，设数学书摆放了本，则可列不等式为 ． 变式2．某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本万元，如果每套软件定价万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？ 题型11用一元一次不等式解决几何问题 例11．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 变式1．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    变式2．如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？ ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 3．已知，则下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 6．关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 7．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长年后此树树围超过，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 9．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ．【 11．下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 12．若，则 ．（填“＞”“＜”或“=”） 13．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 14．将不等式化为“”或“”的形式为 ． 15．写出不等式的一个负整数解 ． 16．已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 17．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了 道题； 18．用不等式表示“与2026的和不大于”： ． 三、解答题 19．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 20．解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 21．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 22．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 23．已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 24．某购物平台推出以下两种图书促销方式： 方式一：满100元减50元． 方式二：单件图书打六折（即按原价的计算）． 请回答下列问题： (1)若购买一册书的原价是80元，分别计算按方式一和方式二进行购买所需支付的金额． (2)设购买的图书原价为t元，按原价是否满100元分两种情况，分别写出按方式一、方式二购买时需支付的金额（用含t的代数式表示），填写在下表： 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 (3)购买图书的原价在什么范围内，两种方式支付的金额相同？ (4)根据以上结果，分析如何根据图书原价选择更省钱的购买方式． 25．如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $