6.3.2二项式系数的性质 同步训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2二项式系数的性质同步训练 一、单选题 1．在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 2．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数和为2186 B．第4项与第5项的系数相等 C．的项的系数为21 D．二项式系数最大为35 3．设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 4．的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 5．在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 8．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 二、多选题 9．已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 10．设，则下列结论正确的是（    ） A．常数项为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的值为2916 11．若，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若，则的值是 . 13．的展开式中的系数为 14．已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 四、解答题 15．已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 16．已知. (1)求的值. (2)求的值； 17．若，且. (1)求的展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 18．已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： (1)； (2)含的项； (3)偶数项的系数的和． 19．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49. (1)求实数n和a的值； (2)求的展开式中的系数. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可. 【详解】由题可知：的项的二项式系数为. 故选：A 2．D 【分析】对于A，赋值即可判断；对于BC，由二项式定理即可验算；对于D，由二项式系数的增减性即可判断. 【详解】对于A中，令，可得，即展开式各项系数和为，所以A错误； 对于B中，二项式展开式的通项为， 可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为， 所以展开式的第4项和第5项的系数不相等，所以B错误； 对于C中，由二项式展开式的通项为， 可得的项的系数为，所以C错误； 对于D中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大， 二项式系数的最大值为，所以D正确. 故选：D. 3．D 【分析】令，可得，解出m的值即可. 【详解】令，则可得. 又，则． 故选：D． 4．D 【分析】写出该二项式展开式的通项，令，代入系数求解即可. 【详解】展开式的通项为：， 令得含项的系数为. 故选：D 5．B 【分析】根据题意结合二项式展开式的性质可得，从而可求出的值. 【详解】根据题意可得， 所以n＝2＋12＝14． 故选：B 6．B 【分析】根据二项展开式的各项系数和的计算公式，利用赋值法计算. 【详解】由， 即， 设， 则， 令，则， 令，则， 所以. 故选：B. 7．C 【分析】求出二项式展开式的通项公式，求出分析判断AB；赋值计算判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，解得，当时， 即有，因此的最大值为，B正确； 对于C，当分别取时，，则，C错误； 对于D，当分别取时，，则， 而，因此，D正确. 故选：C 8．C 【分析】根据二项式系数和公式可得，利用赋值法可得，即可利用二项式展开式的通项特征求解. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故选：C 9．BC 【分析】应用赋值法计算求出参数，再求解二项式系数和判断A，应用系数最大计算判断B，应用通项公式计算得出常数项及有理项判断C，D. 【详解】对于A，二项式的展开式的各项系数之和为， 由已知，， 故有或（舍去）， 二项式的奇数项的二项式系数和为，故A错误； 对于B，通项公式为，故当时，系数最大，即第6项的系数最大，故B正确； 对于C，令，求得，可得该二项式存在常数项，故C正确； 对于D，令为整数，可得，故该二项式存在6个有理项，故D错误， 故选:BC. 10．CD 【分析】根据二项展开式的通项公式，结合赋值法，依次判断各个选项即可. 【详解】的展开式的通项为， 对于A：常数项为，故A错误； 对于B：第4项系数即的系数，， 故的系数，故B错误； 对于C：令，得； 令，得， 将两式相减，得，故，故C正确； 对于D：令，得，故D正确. 故选：CD. 11．AD 【分析】应用赋值法可判断BCD，由二项式展开项的通项公式可求的值，判断A. 【详解】当时，．B错误． 当时，． 又，所以，C错误． 当时， ．D正确． 又, 当时，即，此时,展开式中的系数为 当时，即，此时，展开式中的系数为 ， ，A正确. 故选：AD 12．0 【分析】首先对已知赋值，令，求得，令，求得的值，然后利用通项公式求得，从而求得结果． 【详解】令，则， 令，则， 又含的项为，所以， 所以. 故答案为：0. 13． 【分析】原式可转化为，利用二项展开式通项公式分别求和的系数即可. 【详解】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为： 14． 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【详解】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【详解】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 16．(1)80 (2)242 【分析】（1）法一：写出的展开式，得到； 法二：写出通项公式，得到，得到答案； （2）法一：赋值法得到，，求出答案； 法二：写出的展开式，得到，，，，，求出答案. 【详解】（1）法一：由二项式定理，得，则. 法二：由通项公式，得， 令得，，则. （2）法一：因为， 所以令，得， 令，得 则. 法二：由二项式定理，得 因为 所以，，，，， 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据展开式的通项公式为，令，结合，即可求出的值，判断出的展开式中二项式系数最大的项，根据通项公式即可求解； （2）根据赋值法，令，可求出；令，得，两式相减可得，即可求解. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 所以令得. 又，所以，化简整理得，解得或（舍）. 故的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为； （2）令，可知， 令，得， 所以， 故. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式系数的和可求； （2）根据二项展开式的通项可求含的项； （3）利用通项公式可求偶数项的系数的和． 【详解】（1）由题意得，所以． （2）由（1）知，则展开式的通项为． 令，得， 所以含的项为． （3）展开式中第2项系数为， 第4项系数为， 第6项系数为， 所以展开式中偶数项的系数和为． 19．(1)， (2)24 【分析】（1）根据二项式系数和的性质求出n，再由展开式的前3项系数之和求出a； （2）利用的展开式的通项公式可得答案. 【详解】（1）由题意得，，故， 因为的展开式中前3项的系数之和为49， 所以，整理得， 解得或， 又，所以. （2）的展开式的通项为，， 令，可得，不合题意，所以中不存在含的项， 令，可得，所以， 令，可得，所以， 所以的展开式中的项为， 所以的展开式中项的系数为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $