20.2勾股定理逆定理(六大题型)同步练习2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.2勾股定理逆定理（六大题型） 1．以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（    ） A．1，1， B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，8，11 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理判定直角三角形．根据三角形中，两较短边的平方和等于较长边的平方，则该三角形是直角三角形，由此进行判定即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，该选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，该选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，该选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，该选项不符合题意； 故选：B． 2．下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是做题的关键．若三角形的三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：对于选项A：，这三条线段不能构成三角形，故不符合题意； 对于选项B：，，，这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题意； 对于选项C：，，，这三条线段能组成直角三角形，故符合题意； 对于选项D： ，，，这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 3．小明同学用长度是的木棒拼三角形，一共能拼出 个直角三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，据此可求出能构成三角形的组合，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么该三角形是直角三角形，据此可确定能构成直角三角形的组合． 【详解】解：，，，， ，，，， ，， ∴能构成三角形的组合为，，， ，，，， ， ∵，， ，， ，， ，， ∴能构成直角三角形的组合为，， ∴一共能拼出2个直角三角形， 故答案为：2． 4．下列四组数：；；；．能作为直角三角形三条边长度的组数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，通过验证每组数中两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，判断能否构成直角三角形，统计符合条件的组数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，第一组数能作为直角三角形三边长 ∵，， ∴第二组数不能作为直角三角形三边长 ∵，， ∴第三组数不能作为直角三角形三边长 ∵， ∴，第四组数能作为直角三角形三边长 综上，符合条件的有2组， 故选：B． 5．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，1， D．，2， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理的概念是解题关键．勾股定理的逆定理，即若三角形三边长、、（c为最长边）满足，则该三角形为直角三角形，只需验证每组线段中较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：选项A中，，能组成直角三角形，选项A不符合题意； 选项B中，，能组成直角三角形，选项B不符合题意； 选项C中，，能组成直角三角形，选项C不符合题意； 选项D中，，，不能组成直角三角形，选项D符合题意． 故选：D． 6．已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形三边关系和勾股定理逆定理，通过验证三条线段是否满足三角形不等式，并利用勾股定理逆定理判断三角形类型即可． 【详解】解：∵，，， ∴三条线段能围成三角形； ∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， 故选：A． 7．已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且a为斜边长， 故选C． 8．下列选项中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．的三条边之比是 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理及勾股定理的逆定理． 根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理对各选项逐一分析 【详解】解：A．设，， ∵三角形内角和为 ∴ 解得，则最大角 ∴不是直角三角形 B．由变形得 ∴是直角三角形 C．由得 ∵ ∴，解得 ∴是直角三角形 D．设的三边为，，（） ∵，符合勾股定理的逆定理 ∴是直角三角形 故选：A 9．如图，的顶点，，所对的边分别为，，． (1)若，试说明是直角三角形； (2)在（1）的条件下，边所在的直线上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，5或8或18或 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识点． （1）先根据非负数性质求解，再由勾股定理逆定理求解即可； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ ，， ， ∴， ∴ 是直角三角形 （2）解：存在， ①时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点， ∵ ∴； ②时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点、， ∴；； ③时，作的垂直平分线交直线于点，设，则 ∵， ∴， ∴ 解得，即 综上：的值为5或8或18或． 10．在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，涉及三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，直角三角形的判定需满足一个角为或三边满足勾股定理，通过三角形内角和定理或勾股定理验证每个选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：∵三角形内角和为， A项：由，代入得，解得，∴为直角三角形； B项：设，，，则，解得 ，得出，，，无角，∴不是直角三角形； C项：，符合勾股定理，∴为直角三角形，； D项：设，，，则，，∴，为直角三角形，， 综上所述，不能判定的是B， 故选：B． 11．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 12．如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，点A和点B关于y轴的对称点的坐标分别为和． (1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系； (2)画出关于y轴的对称图形； (3)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)△ABC是直角三角形．见解析 【分析】此题考查点的坐标、轴对称的作图、勾股定理及其逆定理的应用，正确作图是关键． （1）根据已知点的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）找到关于y轴的对称点，顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出三边的长度，再用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：如图，即为所求； （3）解：结论：是直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，其中． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用． 先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，即可求解的面积． 【详解】解：∵在正方形网格中，每个小正方形的边长是1， ∴由勾股定理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故D错误，A、B、C正确， 故选：D． 14．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查格点作图，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理作图即可． 【详解】（1）解：找一个格点，以为腰，使，则为等腰三角形． （2）在图2中画一个格点，以为底，使，为等腰直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据（1）可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理和网格的特点可得，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可得， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是． (1) 的形状是_________； (2)画出关于x轴对称的 (点，，分别对应点A，B，C)，并写出点，的坐标； (3)在y轴上存在点 P，使得P到点A和点C的距离和最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)图见解析，，； (3)图见解析，． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，坐标与轴对称． （1）利用勾股定理的逆定理，即可判断的形状； （2）利用轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）作出点关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为点． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； （2）解：如图，即为所求； ； 由图可知：，； （3）解：如图，点即为所求，由图可知：． 17．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题以网格背景考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，即得点B到的距离为边． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴点B到的距离为． 故答案为：． 18．在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理进行作图即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，线段为所作的线段． 理由如下： ． （2）解：如图，即为所作的三角形． 理由如下： ∵， ∴， 即， ∴为直角三角形，且三边长均为无理数． 19．如图，正方形网格的边长为1，，，，网格中的格点，以其中三个点为三角形的顶点，可以构成直角三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析即可． 【详解】解：由勾股定理得， ，，，，，， ， 不是直角三角形； ， 为直角三角形； ， 为直角三角形； ， 为直角三角形， 综上，可以构成直角三角形的有3个． 故选：C． 20．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 21．如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，先由面积关系证明，然后证明，，，最后得到，再由求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 由题意得，， ∵ ∴， ∴， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 22．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 变式：若，则 ， ． 【答案】 7 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用勾股定理以及角平分线的性质求解． 过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线性质定理得到，由面积法得到，即可求解，即可求解的面积；过点作于点，由面积法得到，则，即可求解，然后通过勾股定理逆定理证明，则，可得为等腰直角三角形，，通过等面积得到，，最后再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵的面积为4， ∴ ∴的面积为； 过点作于点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7，，． 23．在中，，，上的中线，则 ． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线段垂直平分线的性质是关键．先根据勾股定理的逆定理，证明，再根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：是上的中线， ， ， 是直角三角形，， ， ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：17． 24．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）先运用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据四边形的面积等于与的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ． （2）解：∵，， ， ∴是直角三角形，， ∴ ． 25．如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 26．如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积． 【答案】的面积为6 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握相应知识的运用是解题的关键． 延长至点，使，连接，可证，则，，则，根据勾股定理逆定理可得，计算出的面积即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ∵为边的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 27．如图，在和中，，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】要证明，只需证明为直角三角形且．我们通过在上截取，构造全等三角形，将转化为，再在中用勾股定理逆定理判定直角，求出的长度，最后回到验证勾股定理逆定理即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵，，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握通过构造全等三角形实现线段与角的转化，再结合勾股定理逆定理判定直角是解题的关键． 28．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，且，然后利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ，则． ， ． 为直角三角形，且． ． 29．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 30．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中， 根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解： 在中，， 由勾股定理得； （2）解：在中， 由于，即， 则是直角三角形， 因此． 31．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】17100元 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形和四边形的面积计算等知识点，解题的关键是通过连接对角线，将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形和的面积之和． 先在中，利用勾股定理求出的长度；再根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形；然后分别计算和的面积，求和得到四边形的总面积；最后根据每平方米地板的价格，计算出总费用． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， ∵运动型塑胶地板每平方米元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为元． 32．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)1800元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理求解即可； （2）求出四边形的面积，即可求解费用． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴，则（舍负） ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：由（1）知，而 ∴， ∴费用为：（元） 33．某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地进行改造，经测量，，米，米，米，米，连接． (1)求的长度； (2)若在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用． 【答案】(1)的长度为25米； (2)该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）得，米，利用勾股定理的逆定理证出，利用三角形的面积公式计算出四边形的面积，结合运动型塑胶地板每平方米200元，即可求解． 【详解】（1）解：，米，米， 由勾股定理得：（米）， 答：的长度为25米； （2）解：，， ， 是直角三角形． （平方米） 则（元） 答：该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 34．渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）设，则在中，，，，最后结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ∴， 是直角三角形，即， 是从村庄到渭河边的最短路线； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解这个方程，得， ∴原来的路线的长为． 35．某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)连接，求的长； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1) (2)57000元 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理的应用，掌握相关定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）由勾股定理逆定理可得是直角三角形，再计算面积，进而得到绿化费用即可． 【详解】（1）解：， ； 答：的长为； （2）解：， ， 是直角三角形，且， ， ， ， （元）． 答：绿化这片空地共需花费57000元． 36．冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖． (1)的度数为_____； (2)村庄距省道的最短距离为_____； (3)如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间． 【答案】(1) (2)24 (3)小时 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的面积公式、勾股定理的应用以及行程问题的计算，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积法求高，再通过勾股定理计算线段长度，最终结合速度公式求解时间． （1）利用勾股定理逆定理，由判断为直角三角形，得； （2）用直角三角形面积公式，求出点到的距离； （3）过点作的垂线，设垂足为，在中用勾股定理求出的长度，再结合速度公式计算降雪持续时间． 【详解】（1）解： 在中，，，， ，． ． 是直角三角形，且． 故答案为：． （2）解：设点到的距离为， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故答案为：． （3）解：过点作于点，则， 在中，，， 由勾股定理得． 同理，， ． 降雪中心移动速度为， 持续时间． 答：此次村庄持续降雪小时． 37．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响海港持续的时间有 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理的应用，关键是将实际台风影响问题转化为直角三角形的几何模型，通过几何计算与运动公式结合求解． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证，判断为直角三角形；再通过直角三角形的面积公式求出点到的距离，将与台风影响半径比较，若，则海港受台风影响． （2）先确定台风开始影响和结束影响海港时的位置、，使得；在中，用勾股定理求出的长度，结合对称性质得到影响的路程；最后根用的长度除以台风移动速度，即可求出持续时间． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 由三角形面积公式得， 即，解得． ∵，即点到的距离小于台风影响半径， ∴海港受台风影响； （2）解：在线段上取两点、，使得，连接，． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． ∵台风中心移动速度为， ∴影响持续时间为小时． 38．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同． (1)求之间的距离； (2)珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 39．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)与垂直，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 40．如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 【答案】(1)25 (2)当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s 【分析】（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出长度，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解： 在中， ， 小路的长为. 故答案为：25. （2）解：如图所示，过点作于点． 当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ，，，， ， 是直角三角形，， 则， ， ， ． ． 故当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等面积法，解题的关键是正确掌握相关性质内容． 41．如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 42．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 44．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 45．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 46．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2)“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，证明见解析 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 47．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 48．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 49．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)15 (2)有，见解析 【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； (2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积， 【详解】（1）∵，，    ∴ ∴ （2）证明：∵，， ∴，， ∴ ∴ 所以∆ABC为直角三角形； ∴ 【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． 50．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可； （2）利用勾股定理计算画出即可； （3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】解：（1）填直角梯形，长方形； （2）如图， （3）证明：∵△ABD为等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝60°， ∵∠CBE＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， 即∠ABC＝∠DBE， 又∵BE＝BC， ∴△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC，AC＝ED； 连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中， DC2+CE2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2． 【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理逆定理（六大题型） 知识点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 知识点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点： 当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点三、互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 要点： 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（    ） A．1，1， B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，8，11 2．下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 3．小明同学用长度是的木棒拼三角形，一共能拼出 个直角三角形． 4．下列四组数：；；；．能作为直角三角形三条边长度的组数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，1， D．，2， 6．已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 7．已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 8．下列选项中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．的三条边之比是 9．如图，的顶点，，所对的边分别为，，． (1)若，试说明是直角三角形； (2)在（1）的条件下，边所在的直线上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 10．在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型二、在网格中判断直角三角形 11．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 12．如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，点A和点B关于y轴的对称点的坐标分别为和． (1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系； (2)画出关于y轴的对称图形； (3)判断的形状，并证明你的结论． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是． (1) 的形状是_________； (2)画出关于x轴对称的 (点，，分别对应点A，B，C)，并写出点，的坐标； (3)在y轴上存在点 P，使得P到点A和点C的距离和最小，请直接写出点P的坐标． 17．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于 ． 18．在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 19．如图，正方形网格的边长为1，，，，网格中的格点，以其中三个点为三角形的顶点，可以构成直角三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 21．如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 22．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 变式：若，则 ， ． 23．在中，，，上的中线，则 ． 24．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 25．如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 26．如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积． 27．如图，在和中，，，，，．求证：． 28．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 29．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 30．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 题型四、勾股定理逆定理的实际应用 31．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用． 32．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 33．某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地进行改造，经测量，，米，米，米，米，连接． (1)求的长度； (2)若在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用． 34．渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 35．某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)连接，求的长； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？ 36．冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖． (1)的度数为_____； (2)村庄距省道的最短距离为_____； (3)如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间． 37．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？ 38．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同． (1)求之间的距离； (2)珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 39．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 40．如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 题型五、图形上与已知两点构成直角三角形的点 41．如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 42．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 44．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 45．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 题型六、勾股定理逆定理中的新定义 46．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 47．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 48．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 49．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 50．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $