精品解析：江苏省南京市职业学校2025-2026学年度第一学期综高期末联考试卷高二数学

南京市职业学校2025~2026学年度第一学期综高期末联考试卷 2024级综合高中《数学》 （满分150分，考试时间120分钟） 2026.01 注意事项： 1．本试卷包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11～第23题，共13题）两部分.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂选其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4．如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 第1卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上对应项的方框涂满、涂黑） 1. 设全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 45 4. 把一个铁制的底面半径为4，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 7. 一个不透明的盒子里装有7个小球，这些球除分别标有不同数字1，2，3，4，5，6，7外，其他完全相同，若从盒子里随机摸出两个小球，则这两个球的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 9. 2025年“九・三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为，若将函数图像上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图像，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 设等比数列的前项和为，若，则______． 12. 已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是______． 13. 在正方体中，若为的中点，则直线与侧面所成角的正弦值为______． 14. 已知，则______． 15. 设，且，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明及证明过程） 16. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）求不等式的解集. 17. 年江苏广播电视台《金陵悦读者》青少年朗读专场以“双争”为主题，延续中华文脉与基因，激发青少年的爱国爱乡情怀，让经典的力量浸润青少年的心田，使时代之声得以传扬.同时，该活动也为广大学生提供一个认识自我、锻炼自我、展示自我、完善自我的舞台，携手广大青少你立时代新潮，发时代新声.某学校准备从2名女同学与7名男同学中随机抽取5名同学为本次朗读会做准备练习，这些同学均以单人形式按先后顺序进行练习． （1）若两名女同学均参加练习，且她们的练习顺序不能相邻，则不同的安排方法有多少种？ （2）若两名女同学均参加练习，且前三名练习的同学中有女同学，则不同的安排方法有多少种？ 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最值以及对应的值； （3）若方程在上有两个不同的根，求的取值范围． 19. 已知正项数列的首项为，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且是等差数列，求数列的前项和为； （3）已知数列满足，若数列的前项和为，求的值. 20. 在中，角的对边分别是． （1）若，求的值； （2）若的面积，求： ①的外接圆半径； ②若，且为锐角，求的边长． 21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点为侧棱的中点，且． （1）求证：平面； （2）求证：面； （3）求三棱锥的体积． 22. 随着人们健康观念提升、老龄化进程加快等因素的影响，我国医疗消费市场需求十分旺盛．某医疗器械公司计划改进技术，进一步增强产品的市场竞争力．已知生产该产品固定成本为万元，另外每生产1百件产品需要增加成本万元，总收入万元与年产量百件之间满足函数 （1）写出利润万元关于年产量百件的函数关系式；【利润收入成本】 （2）当年产量为多少百件时，企业所获利润最大？最大利润为多少万元？ 23. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，若点在以线段为直径的圆上（为坐标原点），求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市职业学校2025~2026学年度第一学期综高期末联考试卷 2024级综合高中《数学》 （满分150分，考试时间120分钟） 2026.01 注意事项： 1．本试卷包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11～第23题，共13题）两部分.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂选其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4．如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 第1卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上对应项的方框涂满、涂黑） 1. 设全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定图中阴影部分所代表的集合运算关系，然后根据集合的运算规则进行计算. 【详解】图中阴影部分表示的集合是在全集中，属于集合但不属于集合的元素组成的集合，即. 全集，，那么， 已知，所以. 故选：C. 2. 设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何性质得出，结合复数的运算法则即可得解. 【详解】复数在复平面内对应的点为，所以， 则，所以虚部为， 故选：. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行求出，再根据向量的加法运算以及向量模的计算公式求解即可. 【详解】因为向量，且， 所以，解得，. 因此，从而. 故选：A. 4. 把一个铁制的底面半径为4，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆柱的侧面积公式求出高，设球的半径为，由球的体积与圆柱的体积相等列方程，求出，再根据球的表面积公式可求解. 【详解】设圆柱的高为，球的半径为， 因为圆柱底面半径为4，侧面积为， 所以，解得. 由于圆柱熔化后铸成一个球，则 ，解得， 所以这个铁球的表面积为. 故选：D 5. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质及充分条件的定义即可得解. 【详解】是两条不同的直线，是两个不同的平面，， 则时，，故充分性成立； 时，，故必要性成立， 所以“”是“”的充分条件， 故选：. 6. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，先求出抛物线的准线方程，将转化为到准线的距离，求出，进而得的坐标，据此可求解. 【详解】由抛物线方程，可知其准线方程为， 设，则，由抛物线的定义可得： ，解得， 将代入，可得，即. 所以. 故选：B 7. 一个不透明的盒子里装有7个小球，这些球除分别标有不同数字1，2，3，4，5，6，7外，其他完全相同，若从盒子里随机摸出两个小球，则这两个球的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设“这两个球的数字之和是偶数”为事件，利用组合计数原理分别求出从盒子里随机摸出两个小球与事件的基本事件数，再根据古典概型的计算公式可求解. 【详解】设“这两个球的数字之和是偶数”为事件，则 从盒子里随机摸出两个小球，有个基本事件，事件包含的基本事件数为， 所以. 故选：B 8. 等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列的求和公式得出数列为公差为的等差数列，利用求出公差，即可得解. 【详解】等差数列的前项和为，则， ， 所以数列为公差为的等差数列， ，解得， ， 故选：. 9. 2025年“九・三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为，若将函数图像上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图像，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图像的平移变换规律，结合诱导公式即可得解. 【详解】函数，若将函数图像上所有点向左平移个单位长度， 则， 故选：. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的定义以及得到中各边的关系，结合余弦定理和离心率公式，即可解得. 【详解】因为双曲线左、右焦点分别为， 由定义可知双曲线右支上一点满足， 又，所以， 在中，，， 由余弦定理可知 即， 可化为，即， 解得. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 设等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与前项和公式求值即可. 【详解】已知为等比数列，设公比为， 由， 得，两式相除得， 代入②中得，， 解得， 所以， 故答案为：. 12. 已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点坐标和渐近线方程，可求出a和b的值，继而求出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的一个顶点是，所以双曲线焦点在y轴上，且， 又渐近线方程为，所以，得到， 故双曲线的标准方程为. 故答案为：． 13. 在正方体中，若为的中点，则直线与侧面所成角的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，及线面角的定义，利用解直角三角形，即可求解. 【详解】 因为在正方体中，平面， 所以是直线与侧面所成角， 设正方体的棱长为1，则， 所以, 所以， 即直线与侧面所成角的正弦值为. 故答案为：. 14. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系得到，逆用两角差的余弦公式，即可解得. 【详解】因为，所以， 又， 所以 . 故答案为： 15. 设，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据均值不等式求解即可； 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明及证明过程） 16. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的定义得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用对数函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 因为是指数函数， 所以且，，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 因为在上单调递增， 不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. 17. 年江苏广播电视台《金陵悦读者》青少年朗读专场以“双争”为主题，延续中华文脉与基因，激发青少年的爱国爱乡情怀，让经典的力量浸润青少年的心田，使时代之声得以传扬.同时，该活动也为广大学生提供一个认识自我、锻炼自我、展示自我、完善自我的舞台，携手广大青少你立时代新潮，发时代新声.某学校准备从2名女同学与7名男同学中随机抽取5名同学为本次朗读会做准备练习，这些同学均以单人形式按先后顺序进行练习． （1）若两名女同学均参加练习，且她们的练习顺序不能相邻，则不同的安排方法有多少种？ （2）若两名女同学均参加练习，且前三名练习的同学中有女同学，则不同的安排方法有多少种？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用插空法结合排列数运算即可. （2）首先考虑2名女同学均参加练习且不考虑顺序的排法总数，再考虑前3名练习的学生中没有女同学的排法数量，再由总数减去前3名练习的学生中没有女同学的排法数量即可. 【小问1详解】 若2名女同学均参加练习， 则只需要再从剩下的7名男同学中选取3名男同学则有种排法， 在安排顺序时，2名女同学不相邻， 将2名女同学插入3名男同学形成的个空中，有种排法， 则不同的安排方法有种． 【小问2详解】 若2名女同学均参加练习且不考虑顺序， 则不同的安排方法有种， 若前3名练习的学生中没有女同学， 则这2名女同学被安排在最后两个练习， 不同的安排方法有种， 所以2名女同学参加练习， 且前3名练习的同学中有女同学的安排方法有种. 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最值以及对应的值； （3）若方程在上有两个不同的根，求的取值范围． 【答案】（1） （2），此时；，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合降幂公式及辅助角公式，将函数化为正弦型函数，结合正弦型函数的周期性，即可求解； （2）根据题意，结合正弦型函数的图像和性质，即可求解； （3）根据题意，可作出函数在区间上的图像，将方程在上有两个不同的根，转化为函数与的图像在上有两个不同的交点，结合函数图像，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 由（1）知， 因为，所以， 所以当时，函数取得最大值，即，此时； 当时，函数取得最小值，即，此时； 【小问3详解】 由题意，作出函数，的图像： 又方程在上有两个不同的根， 等价于函数与的图像在上有两个不同的交点， 由图像可知， 所以的取值范围是. 19. 已知正项数列的首项为，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且是等差数列，求数列的前项和为； （3）已知数列满足，若数列的前项和为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义得出为等比数列，再由等比数列的通项公式求值即可. （2）根据等差数列与等比数列的前项公式结合分组求和法求值即可. （3）运用裂项相消法列方程求解即可. 【小问1详解】 由， 得， 则，解得为常数， 所以正项数列是首项为，且公比为的等比数列， 所以 【小问2详解】 令，则数列， 由题意知，是等差数列，所以为等差数列， 且，， 所以，即， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以， 即， 所以 所以数列的前n项和为 . 【小问3详解】 ， 所以 ， 则，解得. 20. 在中，角的对边分别是． （1）若，求的值； （2）若的面积，求： ①的外接圆半径； ②若，且为锐角，求的边长． 【答案】（1） （2）①7；②13 【解析】 【分析】（1）正余弦定理的边角互化应用即可得解； （2）①由三角形的面积公式和正弦定理即可得解； ②由①及正弦定理得，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正余弦定理的边角互化应用可知： 可化为， 整理得，由于，化简得. 【小问2详解】 ①因为， 由三角形面积公式知：， 解得， 由正弦定理知：外接圆直径为， 所以的外接圆半径为：； ②由已知及①知：，，所以， 又因为为锐角，所以， 由及， 整理得：， 解得或（舍），所以. 21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点为侧棱的中点，且． （1）求证：平面； （2）求证：面； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，根据线面平行的判定可证明结论； （2）由线面垂直的判定和性质，可得平面，从而，据此可证明结论； （3）由点是的中点，可得到平面是到平面的距离的2倍，根据可求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接，如上图. ∵底面是正方形，∴是的中点. 在中，点，分别为，的中点, ∴. 又平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 ∵在中，，点是的中点，∴. ∵底面是正方形，∴； ∵平面，平面，∴； 又，平面，∴ 平面. ∵平面，∴. 又，，平面， ∴面； 【小问3详解】 ∵点是的中点，所以到平面是到平面的距离的2倍， 所以. 22. 随着人们健康观念提升、老龄化进程加快等因素的影响，我国医疗消费市场需求十分旺盛．某医疗器械公司计划改进技术，进一步增强产品的市场竞争力．已知生产该产品固定成本为万元，另外每生产1百件产品需要增加成本万元，总收入万元与年产量百件之间满足函数 （1）写出利润万元关于年产量百件的函数关系式；【利润收入成本】 （2）当年产量为多少百件时，企业所获利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】（1） （2）当年产量为百件时，企业所获利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据利润收入成本建立函数模型即可. （2）根据二次函数的最值公式和一次函数的单调性确定最值即可. 【小问1详解】 已知， 由题意可知， ∴ 【小问2详解】 当时，， 为开口向下的二次函数， 当时，万元， 当时，为减函数， 当时，万元 综上所述，∵ ∴当时，万元， 即当年产量为百件时，企业所获利润最大，最大利润为万元． 23. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，若点在以线段为直径的圆上（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量的内积坐标公式与椭圆的离心率求解即可； （2）根据联立方程组，借助向量的内积的坐标公式与韦达定理求解即可； 【小问1详解】 由题意可知：， ∴ ∴ 又因为离心率为，所以 得： 所以椭圆标准方程为 【小问2详解】 设过点且斜率为的直线方程为： 因为直线与椭圆交于不同的两点 ∴联立方程 整理得： 因为相交，所以 即： ∴是上述方程得两个根，则 由题意知：坐标原点在以线段为直径的圆上 ∴ ∴ ∴ 所以 即： 解得：. 经检验符合题意（），所以 所以直线的方程为：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $