精品解析：天津市红星职业中等专业学校2025-2026学年秋学期期末质量检测高一年级数学学科

2025－2026学年秋季学期红星职专学校期末质量检测 高一年级数学学科 一、选择题 1. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入求解即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点， ∴，即， 解得. 故选：B. 2. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数幂的运算求解即可. 【详解】. 故选：A. 3. 下列各角中与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出与终边相同的角，由此判断选项即可. 【详解】与终边相同的角是， A选项，令，解得，不满足题意； B选项，令，解得，满足题意； C选项，令，解得，不满足题意； D选项，令，解得，不满足题意. 故选：B. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】. 故选：A 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式求值即可. 【详解】， 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切的二倍角公式求解即可. 【详解】∵，则. 故选：B. 7. 函数的振幅、周期、初相分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期公式及振幅、初相的概念易得答案. 【详解】函数的振幅为2，周期函数，初相为. 故选：D 8. 若幂函数在上为减函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，以及幂函数的单调性列方程求解即可. 【详解】已知为幂函数，且在上为减函数， 则且， 由，解得，， 由，解得， 所以， 故选：C. 9. 为得到函数的图象，只需将函数图象上（ ） A. 各点的横坐标缩短为原来的倍，只再向左平移个单位 B. 各点横坐标缩短为原来的倍，只再向左平移个单位 C. 各点的横坐标伸长为原来的2倍，只再向左平移个单位 D. 各点的横坐标伸长为原来的2倍，只再向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的平移变换规律即可解答. 【详解】若想得到函数的图象， 则首先将函数各点的横坐标缩短为原来的倍， 得到， 再将只再向左平移个单位，得， 故选：B. 10. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别分析、、的取值范围，再比较它们的大小. 【详解】已知，因为，且，所以， 已知，因为，所以， 已知，因为，所以， 综上，. 故选：C. 11. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在定理求解. 【详解】函数的定义域为，且在该定义域内是连续的. 因为与在均单调递增，所以函数在. ，，所以， 根据零点存在定理，函数在区间内有唯一一个零点， 故函数的零点所在的区间为， 故选：B. 12. 已知函数，若时，的最小值为，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 当，函数的值域为 C. 函数在区间上的零点个数共有6个 D. 函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知条件求解出的值，再根据正弦型函数的性质求解即可. 【详解】由函数可知，，则和分别取到最大值为1和最小值为， 此时的最小值为半个周期，即， ∴，即，解得， ∴函数， A选项，函数的最小正周期为，故错误； B选项，当，，此时， ∴函数的值域为，故错误； C选项，令，解得， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； ∴函数在区间上的零点个数共有6个，故正确； D选项，函数的图象向左平移个单位长度， 得到的函数为，整理可得， 即函数为，是偶函数，故错误. 故选：C. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 13. 计算：___________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据对数的运算性质以及指数幂的运算求解即可. 【详解】． 故答案为：0. 14. 已知函数（，且）的图象恒过定点 ，则 的坐标为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数型函数的性质求解即可. 【详解】由函数可知，当时，， 即函数图象恒过点. 故答案为： 15. ______. 【答案】## 【解析】 【分析】由诱导公式化简计算即可. 【详解】. 故答案为:. 16. 当时，不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，将指数不等式转化为普通不等式求解. 【详解】当时，指数函数在上单调递减， 已知，且， 所以，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 17. 已知扇形的面积为，弧长为，则扇形的圆心角为___________.（只考虑正值） 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式以及弧长公式求解即可. 【详解】设扇形圆心角为，扇形半径为r， 因为扇形的面积，弧长， 所以，即，解得， 所以，即，解得， 所以扇形的圆心角为. 故答案为：. 18. 函数的定义域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶次根号下大于等于零及对数函数真数大于零可求. 【详解】要使函数有意义， 则，即， 因为以为底的对数函数，为减函数，则，解得， 即，解得， 所以定义域为， 故答案为：. 19. 一个人喝了少量酒后，血液中的精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过___________小时，才能开车．精确到1小时.（，） 【答案】6 【解析】 【分析】根据指数型模型结合对数的运算计算即可. 【详解】设经过t小时后，驾驶员血液中的酒精含量不超过， ∵血液中的酒精含量从，以每小时的速度减少， ∴，即， ∴， 两边取对数可得， ∴驾驶员至少经过6小时才能开车. 故答案为：6. 20. 已知函数，若关于的方程成有3个不相等的实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据将方程的根的个数，转化成直线与图象的交点的个数，再由函数的单调性分别确定函数的值域与的范围即可. 【详解】已知函数， 当时， ， 因为在上为增函数， 所以当时，， 当时，， 即当时， ，且单调递减， 则，则其值域为， 当时， ，且单调递增， 则，即， 值域为， 当时，单调递减，， 所以若关于的方程成有3个不相等的实数解， 则等价于直线与图象有个交点， 结合图象可知，， 且在与与三段中各有一个交点， 当时，令，则， 当时，令，则， 当时，令，则， 因为，所以， 所以，所以即， 所以的取值范围是 故答案为：. 三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步． 21. 已知． （1）求的值 （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式求解即可. （2）根据两角和余弦公式求解即可, 【小问1详解】 因为，所以. 进而. 小问2详解】 因为， 所以. 22. 已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明． 【答案】（1） （2）函数在上是增函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解； （2）利用函数单调性的定义判断并证明. 【小问1详解】 已知，其定义域为， 则， 因为奇函数，则， 所以：， 即， 即，解得. 【小问2详解】 设，且， 则 因为在上是增函数，且， 所以，即， 又因为，， 所以，即，所以， 故函数在上是增函数. 23. 已知函数的最小正周期为 （1）求函数的对称轴； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意结合最小正周期公式求出值，结合正弦型函数的对称性即可得解. （2）根据题意结合正弦型函数的性质即可得解. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， 则，解得， 所以函数， 令，解得， 所以对称轴为. 【小问2详解】 因为函数， ，则， 所以当即时，函数值最大为； 当即时，函数值最小为. 24. 如图所示，函数． （1）求的解析式； （2）将若的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）观察图象可确定最值和周期，再将点代入解析式求出的值即可. （2）首先由正弦型函数的平移变换规律得出函数的解析式，再运用整体法结合正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【小问1详解】 由图象可知，该函数最大值为， 且，所以 ，则最小正周期，则， 所以， 由图象可得，函数过点， 将点代入得，， 则，即， 因为，所以，， 则. 【小问2详解】 由（1）可得， 若的图象向左平移个单位后， 得， 令， 即， 所以函数的单调递增区间为， 令， 即， 所以函数的单调递减区间为. 25. 已知函数，． （1）当时，求在区间内的零点个数； （2）若在区间内恰有5个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）2 （2）或. 【解析】 【分析】（1）分别求解函数在不同区间上的零点即可； （2）分类讨论函数零点个数，结合二次方程根的情况和正弦函数的性质，确定满足条件的a的取值范围． 【小问1详解】 当时： 令，则，，解得，， 因为，所以时，，即此时有个零点； 当时： 此时， 令，即，解得，即此时有个零点， 综上，在区间内的零点个数为个. 【小问2详解】 当时：令，判别式， 当时：令，则，，解得，且. 当，即时，方程在无实根， 由题意，若在区间内恰有5个零点， 则需方程在有5个根， 则，解得，与矛盾，不合题意； 当，即时， 由（1）可知，在区间即内有2个零点，不合题意； 当，即时， ①若方程在有2个实根， 则且，即， 由题意，若在区间内恰有5个零点， 则需方程在有3个根， 则，解得， 由且，可得； ②若方程在有1个实根， 则且，即， 由题意，若在区间内恰有5个零点， 则需方程在有4个根， 则，解得， 由且，可得， 综上，实数的取值范围是：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年秋季学期红星职专学校期末质量检测 高一年级数学学科 一、选择题 1. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各角中与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. -3 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的振幅、周期、初相分别为（ ） A. B. C. D. 8. 若幂函数在上为减函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 9. 为得到函数的图象，只需将函数图象上（ ） A. 各点的横坐标缩短为原来的倍，只再向左平移个单位 B. 各点的横坐标缩短为原来的倍，只再向左平移个单位 C. 各点的横坐标伸长为原来的2倍，只再向左平移个单位 D. 各点的横坐标伸长为原来的2倍，只再向左平移个单位 10. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若时，的最小值为，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 当，函数的值域为 C. 函数在区间上零点个数共有6个 D. 函数图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 13. 计算：___________． 14. 已知函数（，且）的图象恒过定点 ，则 的坐标为_________________. 15. ______. 16. 当时，不等式的解集为___________． 17. 已知扇形的面积为，弧长为，则扇形的圆心角为___________.（只考虑正值） 18. 函数的定义域是_____． 19. 一个人喝了少量酒后，血液中的精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过___________小时，才能开车．精确到1小时.（，） 20. 已知函数，若关于的方程成有3个不相等的实数解，则的取值范围是___________． 三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步． 21. 已知． （1）求的值 （2）求的值． 22 已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明． 23. 已知函数最小正周期为 （1）求函数的对称轴； （2）求函数在上最大值与最小值. 24. 如图所示，函数． （1）求的解析式； （2）将若的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求的单调区间． 25. 已知函数，． （1）当时，求在区间内的零点个数； （2）若在区间内恰有5个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $