甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级上学期人教版数学寒假第五周《实际问题与二次函数》试题

甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级上学期人教版数学寒假第五周《实际问题与二次函数》试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 2．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 3．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 4．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 5．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 6．霍邱一商场计划销售某种毛绒玩偶，这种毛绒玩偶每个进价为50元．经调查发现，当售价为120元时，平均每天能售出80个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多销售5个．设这种毛绒玩偶每个降价x元时，每天获得的利润为y元，则y与x之间的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 7．已知四边形是菱形，点从出发沿边运动，点同时从出发沿边运动，两点相遇时，运动停止（点的速度大于点的速度），的面积与点运动的路程之间的函数关系的图象如图所示．根据图象，下列结论错误的是（   ） A．菱形的边长是6 B．点的速度是点的2倍 C．菱形的高是4 D．， 8．如图，在∆ABC中，，，，直线经过点，且垂直于，直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，分别与、（）相交于点，，若运动过程中的面积是（），直线的运动时间是（s），则与之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 10．飞机着陆后滑行的距离y（单位：）关于滑行时间t（单位：）的函数表达式是，则在飞机着陆滑行中，最后滑行的距离是（   ） A． B． C． D． 11．使用家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）之间近似满足函数关系，如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据函数模型和数据，可推断出 此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售单价（为偶数）提高 元． 13．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为 ． 14．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B．以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且轴，若米，则桥面离水面的高度AC为 ． 15．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是，那么水珠达到的最大高度为 米． 16．大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图1，在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距离为m时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 m． 17．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，其中小冬拿绳子的手的坐标是．身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴的距离为1米，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，则m的取值范围为 ． 18．卢沟桥如图①，“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一蝀分波夹镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图②所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点到水中倒影的距离为 米． 19．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 三、解答题 20．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 21．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22．某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米．    x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 23．掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为，实心球行进至最高点处．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 24．春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联，每副春联的进价是元，并且规定每副春联的售价不少于元，不超过元．根据以往的销售经验发现，当每副春联的售价定为元时，日销售量为副，每副春联的售价每提高元，日销售量减少副． (1)若每天的销售量为副，则每副春联的售价为多少元？ (2)当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 25．校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，求该同学此次投掷实心球的成绩？ 26．某商场以每个30元的进价购进某品牌玩具进行销售．根据调查发现，每个玩具的售价为40元时，每周的销售量为600个，每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个．设这种品牌玩具的销售单价上涨x元． (1)这种品牌玩具的销售量为______个；（用含x的代数式表示） (2)①若商场销售该品牌玩具每周获得的利润为y元，求y与x的函数关系式； ②当该品牌玩具的销售单价上涨多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 27．某品牌水果冻的高为，底面为直径是的圆，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线，交点为．以左侧抛物线的顶点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求以为顶点的抛物线的函数表达式． (2)若点的横坐标为，求的长． 28．王伯伯家的柑橘喜获丰收，今年他决定采取现场采摘的销售方式，采摘销售价y（元/吨）与销售量x（吨）之间的函数关系如图所示．已知种植柑橘的成本价是800元/吨． (1)求y关于x的函数表达式． (2)当现场采摘的销售量是多少时，获得利润最大？最大利润是多少？ (3)若王伯伯要求种植柑橘获利不低于12000元，求现场采摘的销售量x的取值范围． 29．随着直播销售逐渐被大众接受，达人直播带货在短视频平台占据了主导地位，成为各大商家的重要销售渠道，某化妆品商家“双十一”在直播间开展预售活动，销售其旗下品牌化妆品，平均每分钟可售出10件，每件盈利30元；为了扩大销售、增加利润，该店再次发布了降价活动，在保障每件商品利润不少于15元的前提下，经过一段时间销售统计，发现销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件．设每件商品降价元，请你解决以下问题： (1)若，则每分钟的销量为______________件，若用含 的代数式表示，降价后每件商品的利润是______________元； (2)若降价后该商品每分钟的销售量记作件，请你求出与之间的关系式及的取值范围； (3)请你算一算每件商品降价多少元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润？最多为多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级上学期人教版数学寒假第五周《实际问题与二次函数》试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C A D B A C 题号 11 答案 B 12．8或10 13．20 14．2.25米 15．6 16． 17． 18．22 19． （）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 20．（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 21．（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：； （2）解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； （3）解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 22．（1）解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 可设抛物线的函数表达式为． 将代入， 得， ∴抛物线的表达式为． （2）由题可知，当喷泉落水时．即， 解得，（舍去）． 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为米． 23．（1）解：设关于的函数表达式为， 把代入解析式得：， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：该男生在此项考试中不能得满分， 理由：令，则， 解得：，（舍去）， ， 该男生在此项考试中不能得满分． 24．（1）解：设每副的售价为元，由题意得： 解得 答：每副春联的售价为元； （2）设每副的售价为元，日销售利润为元， ， ∵，， ∴当时，取得最大值， 答：当每副的售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元． 25．解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离， ∴令，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球的成绩为． 26．（1）解：由题意得：这种品牌玩具的销售量为个； 故答案为； （2）解：①由题意得：； ∴y与x的函数关系式为； ②由①可知：y与x的函数关系式为， ∴开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为； 答：当该品牌玩具的销售单价上涨元时，每周的销售利润最大，最大利润是元． 27．（1）解：设抛物线的函数表达式是， ∵高为， 底面圆的直径为， ∴， 把代入， 解得， ∴函数表达式是， （2）当时，， 点， 设以为顶点的抛物线， ，解得（不符题意，舍去）． ． 28．（1）解：当时，由图象得．当时，设关于的函数表达式为． 将点代入，得， 解得． ， 综上所述，关于的函数表达式为 （2）解：设所获利润为元． 当时，， 当时，； 当时，， 当时，． 综上所述，当现场采摘的销售量是12.5吨时，获得利润最大，最大利润是12500元． （3）解：当时，令，解得； 当时，，把代入，得， 解得或． 关于的抛物线开口向下， 当时，． 综上所述，若王伯伯要求种植柑橘获利不低于12000元，则现场采摘的销售量的取值范围是 29．（1）解：设每件商品降价元，则每分钟的销量为件，降价后每件商品的利润为元， ∴当时，每分钟的销量为件． 故答案为：12，； （2）由题意，得 ∵每件商品利润不少于15元， ∴ ∴ ∴与的函数关系式为 （3）设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元， 由题意，得， ∵， ∴当时，能取到最大值，最大值为400元， 即当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润，最大利润为400元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $