课时测评20 独立性检验-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评20　独立性检验 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(　　 ) A．平均数与方差 B．回归分析 C．独立性检验 D．概率 答案：C 解析：判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．故选C. 2．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如表： 心脏病 无心脏病 秃发 20 300 不秃发 5 450 根据表中数据得到χ2＝≈15.968，因为χ2>6.635，则断定秃发与心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性为(　　 ) A．0.1 B．0.05 C．0.025 D．0.01 答案：D 解析：χ2>6.635＝x0.01.故选D. 3．(多选)经过对χ2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当χ2的临界值xα>3.841时，我们(　　) A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B有关 B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B无关 C．有99%的把握说A与B有关 D．有95%的把握说A与B有关 答案：AD 解析：根据独立性检验原理知，当χ2的临界值xα>3.841时，我们有以下结论：在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B有关；即有95%的把握说A与B有关；所以选项A、D正确． 4．给出下列实际问题： ①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系． 其中用独立性检验可以解决的问题有(　　) A．①②③ B．②④⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 答案：B 解析：独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验．故选B. 5．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示， Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值可以为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：CD 解析：根据公式，得χ2＝＝＞3.841， 根据a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意． 6．某高校有10 000名学生，其中女生3 000名，男生7 000名．为调查爱好体育运动是否与性别有关，用分层抽样的方法抽取120名学生，制成独立性检验的2×2列联表，如表，则a－b＝________．(用数字作答) 男 女 合计 爱好体育运动 a 9 #### 不爱好体育运动 28 b #### 合计 #### #### 120 答案：29 解析：根据分层抽样原理，计算抽取男生120×＝84(人)，女生120×＝36(人)，所以a＝84－28＝56(人)，b＝36－9＝27(人)，所以a－b＝56－27＝29(人). 7．为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据： 语文成绩优秀 语文成绩非优秀 总计 男生 10 20 30 女生 20 10 30 总计 30 30 60 经过计算，χ2≈6.667，根据这一数据分析，有______%的把握认为“语文成绩是否优秀与性别有关系”． 下面的临界值表供参考 α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 答案：99 解析：由图表可知：χ2≈6.667>6.635，即有99%的把握认为“语文成绩是否优秀与性别有关系”． 8．吃零食是中学生中普遍存在的现象．长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的列联表 男 女 总计 喜欢吃零食 5 12 17 不喜欢吃零食 40 28 68 合计 45 40 85 根据下面χ2的计算结果，试回答，有________的把握认为“吃零食与性别有关”． 参考数据与参考公式：χ2＝＝＝≈4.722 α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 答案：95% 解析：根据题意知χ2≈4.722>3.841，所以有95%的把握认为“吃零食与性别有关”． 9．(10分)江苏省新高考方案要求考生在物理、历史科目中选择一科，我市在对某校高一年级学生的选科意愿调查中，共调查了100名学生，其中男、女生各50人，男生中选历史15人，女生中选物理10人． (1)请根据以上数据建立一个2×2列联表；(4分) (2)判断性别与选科是否相关．(6分) 附：χ2＝. P(χ2≥x0) 0.010 0.005 0.001 x0 6.635 7.879 10.828 解：(1)由题意可得， 选物理 选历史 合计 男生 35 15 50 女生 10 40 50 合计 45 55 100 (2)提出假设： 学生选科与性别没有关系． 根据列联表中的数据，可以求得χ2＝ ≈25.253. 因为当H0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001， 所以我们有99.9%的把握认为，学生选科与性别有关． 10．(10分)黑人乔治·弗洛伊德被残杀死亡事件，引发了全世界的抗议．近期某校高二年级A班班主任对该班进行了一次调查，发现全班50名同学中，对此事关注的占，他们在本学期期末考试中的政治成绩(满分100分)如下面的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求对此事关注的学生政治成绩的中位数的估计值(精确到0.1 )；(4分) (2)若政治成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量，(6分) ①补充下面的2×2列联表： 政治成绩优秀 政治成绩不优秀 合计 对此事关注 对此事不关注 合计 ②是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？ 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考数据： α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)根据频率分布直方图知，0.005×10＋0.005×10＋0.020×10＝0.3，0.3＋0.030×10＝0.6， 所以中位数在第4组，设中位数为70＋x， 则0.3＋0.030×x＝0.5，解得x≈6.7， 所以数据的中位数为70＋x＝76.7； 即对此事关注的学生政治成绩的中位数估计值为76.7； (2)①由50×＝20，且20×(0.3＋0.1)＝8， 30×(0.15＋0.05)＝6，补充列联表如下； 政治成绩优秀 政治成绩不优秀 合计 对此事关注 8 12 20 对此事不关注 6 24 30 合计 14 36 50 ②由表中数据，计算χ2＝＝≈2.381<2.706， 所以没有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系． 11．(5分)(多选)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表： 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 总计 30 75 105 由上述数据给出下列结论，其中正确的是(　　) 附：χ2＝. α 0.05 0.025 0.010 0.005 xα 3.841 5.024 6.635 7.879 A.能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效 B．不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效 C．能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效 D．不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效 答案：AD 解析：根据列联表，计算χ2＝＝≈6.109>5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效，故A正确；能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，故B错误；不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，故C错误；不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效，故D正确． 12．(5分)为了了解中学生戴眼镜与性别的相关性，某研究机构分别调查了A，B，C三个地区的100名中学生是否戴眼镜的情况，得到三个列联表如表所示． A地区 戴眼镜 不戴眼镜 合计 男 21 29 50 女 19 31 50 合计 40 60 100 B地区 戴眼镜 不戴眼镜 合计 男 25 25 50 女 15 35 50 合计 40 60 100 C地区 戴眼镜 不戴眼镜 合计 男 23 27 50 女 17 33 50 合计 40 60 100 根据列联表的数据，可以得到的结论为(　　) A．在这三个地区中，A地区的中学生戴眼镜与性别关联性最强 B．在这三个地区中，B地区的中学生戴眼镜与性别关联性最强 C．在这三个地区中，B地区的中学生戴眼镜与性别关联性最弱 D．在这三个地区中，C地区的中学生戴眼镜与性别关联性最弱 答案：B 解析：根据χ2＝可知，只需比较三个地区的|ad－bc|的大小即可， 对于A地区，|ad－bc|＝|21×31－29×19|＝100； 对于B地区，|ad－bc|＝|25×35－25×15|＝500； 对于C地区，|ad－bc|＝|23×33－27×17|＝300. 因为100<300<500，所以χ<χ<χ，所以B地区的中学生戴眼镜与性别关联性最强． 13．(15分)某土特产超市为预估2024年元旦期间游客购买土特产的情况，对2023年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表． 购买金额(元) [0，15) [15，30) [30，45) [45，60) [60，75) [75，90] 人数 10 15 20 15 20 10 (1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．(5分) 不少于60元 少于60元 总计 男 40 女 18 总计 (2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p(每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期望．(10分) 解：(1)2×2列联表如下： 不少于60元 少于60元 总计 男 12 40 52 女 18 20 38 总计 30 60 90 χ2＝＝＞5＞3.841， 因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关． (2)X取值范围是{65，70，75，80}，且p＝＝. P(X＝65)＝C×＝. P(X＝70)＝C××＝， P(X＝75)＝C××＝， P(X＝80)＝C×＝. 所以X的分布列为 X 65 70 75 80 P E(X)＝65×＋70×＋75×＋80×＝75. 14．(15分)某次考试中500名学生的物理(满分为150分)成绩服从正态分布N(100，17.52)，数学成绩的频率分布直方图如图所示． (1)如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试中物理、数学特别优秀的大约各有多少人？(2分) (2)如果物理和数学两科都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望；(5分) (3)根据以上数据，是否有99.9%的把握认为物理特别优秀的学生，数学也特别优秀？(8分) 附：①若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954； ②χ2＝； ③ P(χ2≥k) 0.5 0.4 … 0.01 0.005 0.001 k 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828 解：(1)因为物理成绩(记为Y)服从正态分布N(100，17.52)，所以物理特别优秀的概率为P(Y>135)≈(1－0.954)×＝0.023， 数学特别优秀的概率为0.001 6×20×＝0.024， 故物理特别优秀的学生大约有500×0.023≈12(人)， 数学特别优秀的学生大约有500×0.024＝12(人). (2)物理和数学两科都特别优秀的学生有6人，则由(1)可知单科特别优秀的学生有12人． X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. (3)填写2×2列联表如下： 物理特别优秀 物理不特别优秀 总计 数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀 6 482 488 总计 12 488 500 根据列联表中数据，得 χ2＝≈118.928>10.828， 又因为查表可得P(χ2≥10.828)＝0.001， 所以有99.9%的把握认为物理特别优秀的学生，数学也特别优秀． 学科网（北京）股份有限公司 $