4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“随机变量”核心知识点，系统梳理随机变量及离散型随机变量的含义，通过掷骰子、射击环数等问题情境导入，结合定义解析、微提醒及拓展延伸，构建从具体实例到抽象概念的学习支架，帮助学生理解随机变量与事件的联系及表示方法。 该资料以问题驱动培养数学抽象素养，通过旅客数量、点击量等实例辨析提升逻辑推理和数学运算能力。题型分类清晰，课中辅助教师系统教学，课后练习题帮助学生巩固概念，有效查漏补缺。

4．2　随机变量 4．2.1　 随机变量及其与事件的联系 知识 层面 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义，了解随机变量与事件的联系．　2.利用随机变量之间的关系求随机变量表示的事件概率. 素养 层面 通过学习随机变量及离散型随机变量的概念，培养数学抽象素养；通过随机变量表示事件及事件概率的应用，提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1.掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ 提示：共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果． 问题2.某人在射击训练中，射击一次，命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？ 提示：能．试验结果：命中1环，命中2环，···，命中10环，可以用数值表示试验结果：1，2，···，10. 问题3.抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数字来表示随机试验的结果呢？ 提示：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．可以用1表示正面向上，0表示反面向上． 知识点一　随机变量 1．定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为随机变量． 2．表示：随机变量常用大写字母X，Y，···或小写希腊字母ξ，η，ζ···表示． [微提醒]　在引入了随机变量之后，可以利用随机变量来表示事件． 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥； (2)事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1. 在用随机变量表示事件及事件的概率时，有时可不写出样本空间． 知识点二　离散型随机变量 1．定义：取值为有限个或可以一一列举出来的随机变量． [微提醒]　离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1，2，···，n；也可以是无限个，如取值为1，2，···，n，··· [拓展延伸]　离散型随机变量的特征： (1)可用数值表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)试验之前不能确定取何值； (4)试验结果能一一列出． 2．连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值． 知识点三　随机变量之间的关系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)． 学生用书↓第49页 1(多选)下列说法正确的是(　　) A．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个 B．在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量 C．随机变量是用来表示不同试验结果的量 D．在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值 答案：ABCD 解析：对于A，因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．对于B，因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1.对于C，因为由随机变量的定义可知，该说法正确．对于D，因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确． 2．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．某宾馆每天入住的旅客数量是X B．某人在车站等出租车的时间 C．一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量 D．某网站未来1小时内的点击量 答案：AD 解析：对于A，随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它是离散型随机变量；对于B，无法按一定次序一一列出；对于C，一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是随机变量，但所有可能取值在直线上连续，故不是离散型随机变量；对于D，某网站未来1小时内的点击量X是一个随机变量，且X为自然数，故X是离散型随机变量． 3．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是(　　) A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．两颗都是4点 D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 答案：D 解析：抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，而ξ表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，ξ＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2，所以ξ＝4表示的随机试验的结果是一颗是1点、另一颗是3点或者两颗都是2点，即若将两颗骰子的点数记为(x，y)，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是(1，3)，(3，1)，(2，2)． 4．①连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X；②南京长江大桥一天经过的车辆数为X；③某型号彩电的寿命为X；④连续抛掷两枚骰子，所得点数之和为X；⑤某种水管的外径与内径之差X. 其中是离散型随机变量的是________．(请将正确的序号填在横线上) 答案：①②④ 解析：因为②④中X的取值有限，故均为离散型随机变量；因为①中X的取值依次为1，2，3，···，虽然无限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量；而③⑤中X的取值不能按次序一一列举，所以均不是离散型随机变量． 5．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ，则ξ的所有可能取值构成的集合是________． 答案：{6，3，0，－3} 解析：三个问题回答完，其回答可能结果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分可能情况是6分，3分，0分，－3分，所以ξ的所有可能取值构成的集合为{6，3，0，－3}． 题型一　随机变量的概念 例1　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中2023年5月1日的旅客数量； (2)2023年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数； (3)2023年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间； (4)体积为1 000 cm3的球的半径长． [思路点拨]　利用随机变量的定义判断． 解：(1)旅客人数可能是0，1，2，···，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量． (2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，···，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量． (3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量． (4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量． 定义法判定随机变量的策略 1．样本点具有可变性，每次试验对应的样本点不尽相同． 2．样本点具有确定性，每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 对点练1.(1)下列变量中，不是随机变量的是(　　 ) A．一射击手射击一次命中的环数 B．一标准大气压下，水沸腾时的温度 C．抛掷两枚骰子，所得点数之差 D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 (2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　 ) A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)B项中水沸腾时的温度是一个确定值． (2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量． 学生用书↓第50页 题型二　离散型随机变量的判定 例2　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由： (1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号码； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30 m，此林场中树木的高度． [思路点拨] 随机变量的实际背景→判断取值是否具有可列性→得出结论 解：(1)只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片号码可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (2)从10个球中任取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切数值，无法一一列出，不是离散型随机变量． “三步法”判定离散型随机变量 第一步：依据具体情境分析变量是否为随机变量； 第二步：由条件求解随机变量的值域； 第三步：判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量． 对点练2.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值； (2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量． 解：(1) ξ 0 1 2 3 结果 取得3个黑球 取得1个白球，2个黑球 取得2个白球，1个黑球 取得3个白球 (2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0，1，2，3}，所以η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的可能取值为6，11，16，21.显然，η为离散型随机变量． 题型三　对离散型随机变量的理解 例3　写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果： (1)在2024年北京大学的强基招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X； (2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X. [思路点拨]　明确随机变量X的意义，写出X的所有可能取值及每个值对应的试验结果． 解：(1)X可能取0，1，2，3，4，5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0，1，2，3，4，5. (2)X可取3，4，5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1，2，3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5”． 用随机变量表示随机试验结果的关键点和注意点 1．关键点：明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果． 2．注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果． 学生用书↓第51页 对点练3.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果： (1)小明要去北京旅游，可能乘高铁，乘汽车，也可能乘飞机，旅游费用分别为100元、80元和200元，他的费用为ξ； (2)一个质地均匀的正方体骰子，各面分别刻着数字1，2，3，4，5，6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ； (3)检查一个小朋友手上的细菌个数ξ. 解：(1)ξ可能取值为100，80，200，分别表示所花的费用为100元，80元和200元． (2)ξ可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，分别表示所掷点数为1，1；1，2或2，1；1，3或3，1或2，2；···；6，6. (3)ξ可能取值为0，1，2，···，n，···，分别表示细菌个数为0个，1个，2个，···，n个，···. 题型四　随机变量之间的关系 例4　某公司的员工是按照下述方式获取税前工资的：底薪为每月1 000元，每生产一件产品再获取20元，从该公司员工中任意抽取一名，设其某月生产产品为X件，获取的税前工资为Y元． (1)当X＝200时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若P(X≤150)＝0.2，求P(Y>4 000)的值． 解：(1)当X＝200时，表示生产了200件产品， 则Y＝1 000＋200×20＝5 000(元)． (2)Y＝1 000＋20X. (3)因为X≤150⇔20X≤3 000⇔20X＋1 000≤4 000⇔Y≤4 000， 所以P(Y≤4 000)＝P(X≤150)＝0.2， 所以P(Y>4 000)＝0.8. 解答此类问题的关键是理清两个随机变量之间的关系，弄清它们之间的概率等价关系． 对点练4.某公司业务员的薪酬规定如下：在任务范围内(4万件产品)底薪40 000元．在完成额定任务的基础上，每多推销一件本公司产品，则拿提成1.2元．设一名业务员完成的产品销售量为X万件，其薪酬为Y元． (1)当X＝6时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若P(X≤10)＝0.8，求P(Y>112 000)的值． 解：(1)当X＝6时，表示该业务员销售了6万件产品，所以Y＝40 000＋20 000×1.2＝64 000. (2)根据题意知 当X≤4时，Y＝40 000；当X>4时， Y＝(10 000X－40 000)×1.2＋40 000＝12 000X－8 000. (3)因为X≤10⇔12 000X≤120 000⇔12 000X－8 000≤112 000⇔Y≤112 000， 所以P(Y≤112 000)＝P(X≤10)＝0.8， 所以P(Y>112 000)＝1－0.8＝0.2. 1．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．某景点一天的游客数 B．某视频一天的播放次数 C．水文站观测到江水的水位数 D．某收费站一天内通过的汽车车辆数 答案：ABD 解析：由离散型随机变量的概念可知，A，B，D中的随机变量ξ可以一一列出，是离散型随机变量．而C是连续型随机变量． 2．同时抛掷3枚硬币，正面朝上的个数是随机变量，这个随机变量的所有可能取值为(　　) A．3 B．0 C．1，2，3 D．0，1，2，3 答案：D 解析：同时抛掷3枚硬币，正面朝上的个数可能为0，1，2，3.故选D． 3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为(　　) A．第一枚为5点，第二枚为1点 B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C．第一枚为6点，第二枚为1点 D．第一枚为4点，第二枚为1点 答案：C 解析：由于X表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为6－1＝5，而X>4只有一种情况，即X＝5，此时第一枚为6点，第二枚为1点，故选C． 4．已知随机变量X的取值范围是{1，2，3，4，5}，且Y＝2X－1，则Y的取值范围是________． 答案：{1，3，5，7，9} 解析：由于X的取值范围是{1，2，3，4，5}， 又Y＝2X－1， 所以Y＝1，3，5，7，9. 学科网（北京）股份有限公司 $