3.1.1 第1课时 基本计数原理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

3．1　排列与组合 3．1.1　基本计数原理 第1课时　基本计数原理 知识层面 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理．　2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 素养层面 通过对计数原理的学习，培养数学抽象素养；借助计数原理的实际应用，培养数学建模、逻辑推理、及数学运算素养. 1.某人大代表明天要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择，一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘．那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？ 问题1.该代表从济南到北京的方案可以分为几类？ 提示：两类． 问题2.每类方案中各有几种方法？ 提示：乘飞机3种方法，乘高铁4种方法． 问题3.该代表从济南到北京共有多少种不同的方法？ 提示：共3＋4＝7种方法． 2．一名志愿者从A地赶赴B地为游客提供导游服务，但需经过C地，已知从A地到C地每天有7个航班，从C地到B地每天有6趟火车． 问题4.该志愿者从A地到B地需要经历几个步骤？ 提示：两个步骤． 问题5.完成每一步各有几种方法？ 提示：第一步有7种方法，第二步有6种方法． 问题6.该志愿者从A地到B地共有多少种不同的方法？ 提示：7×6＝42种方法． 学生用书↓第2页 知识点一　分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． [微提醒]　1.应用分类加法计数原理需要明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；怎样才算完成这件事；完成这件事可以有哪些方法； 2．要明确完成这件事的n类办法是相互独立的；每一类办法中的方法都可以单独完成这件事，不需要用到其他的方法； 3．分类是利用分类加法计数原理的关键，分类必须明确标准：(1)每一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的；(2)每一类中的任意两种方法也不相同． 4．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类．一般地，标准不同，分类的结果也不同． 知识点二　分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点： (1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； (2)完成每一步都有若干种方法； (3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点三　两个计数原理的区别与联系 区别一 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果(最后一步除外)，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各步都完成了，才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法数 [警示]　在解决计数问题时，先分析是需要分类还是需要分步，分类应满足：完成一件事的任何一种方法必属于且仅属于其中某一类，即“类”与“类”之间满足确定性和并列性．分步应满足：完成一件事必须连续完成所有步骤，注意“步”与“步”之间的连续性． 1．已知椭圆＋＝1，若a∈{2，4，6，8}，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，则这样的椭圆有(　　) A．12个 B．16个 C．28个 D．32个 答案：C 解析：根据题意，分4种情况讨论，(1)a＝2时，b有7种情况，(2)a＝4时，b有7种情况，(3)a＝6时，b有7种情况，(4)a＝8时，b有7种情况，则一共有7＋7＋7＋7＝28种情况． 2．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有(　　) A．6种 B．12种 C．30种 D．36种 答案：B 解析：因为甲、乙两人从4门课程中各选修1门，所以由乘法原理可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种． 3．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有(　　) A．24种 B．14种 C．10种 D．9种 答案：B 解析：首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4×3＝12种，第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类加法计数原理知共有12＋2＝14种穿衣服的方式． 4．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个． 答案：36 解析：第1步，确定数b，有6种不同取值；第2步，确定数a，也有6种不同取值．根据分步乘法计数原理，知共有虚数6×6＝36(个)． 5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条． 答案：12 解析：经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个，共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条． 学生用书↓第3页 题型一　分类加法计数原理的应用 例1　在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ [思路点拨]　根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论． 解：方法一：分析个位数，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故有7个； 同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……；个位是2的只有1个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 方法二：按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 方法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出： 12，13，14，15，16，17，18，19， 23，24，25，26，27，28，29， 34，35，36，37，38，39， 45，46，47，48，49， 56，57，58，59， 67，68，69， 78，79， 89. 共有36个符合题意的两位数． 1．应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事； 2．利用分类加法计数原理解题流程： 对点练1.高二(1)班有学生50人，男生30人；高二(2)班有学生60人，女生30人；高二(3)班有学生55人，男生35人． (1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？ (2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 解：(1)选一名学生有3类不同的选法： 第一类，从高二(1)班选一名，有50种不同的方法； 第二类，从高二(2)班选一名，有60种不同的方法； 第三类，从高二(3)班选一名，有55种不同的方法． 故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种不同的方法． (2)选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法； 第一类，从高二(1)班男生中选有30种不同的方法； 第二类，从高二(2)班男生中选有30种不同的方法； 第三类，从高二(3)班女生中选有20种不同的方法． 故选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不同选法．　　 题型二　分步乘法计数原理的应用 例2　已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？ [思路点拨]　确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决． 解：完成表示不同的圆这件事，可以分为三步： 第一步：确定a有3种不同的选取方法； 第二步：确定b有4种不同的选取方法； 第三步：确定r有2种不同的选取方法． 由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)． 学生用书↓第4页 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 对点练2.由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个： (1)无重复数字的三位数？ (2)可以有重复数字的三位数？ (3)无重复数字的三位偶数？ 解：(1)分三步完成： 第一步，排百位，1，2，3三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步，排十位，除百位上已用的，其余三个数都可以，有3种不同的方法；第三步，排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数都可以，有2种不同的方法．依据分步乘法计数原理，可组成无重复数字的三位数共3×3×2＝18(个)． (2)分三步完成： 第一步，排百位，1，2，3这三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步，排十位，0，1，2，3这四个数字都可以，有4种不同的方法；第三步，排个位，0，1，2，3这四个数字都可以，有4种不同的方法．依据分步乘法计数原理，可组成有重复数字的三位数共3×4×4＝48(个)． (3)分两类完成： 第一类，个位数字是0，再分步，十位数字有3种选法，百位数字有2种选法，共有3×2＝6(种)方法；第二类，个位数字是2，再分步，百位数字有2种选法，十位数字有2种选法，共有2×2＝4(种)方法．依据分类加法计数原理，可组成无重复数字的三位偶数共6＋4＝10(个)． 题型三　两个计数原理的简单综合应用 例3　现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，现召开高一年级座谈会，推选两人做会中发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ [思路点拨] 解：分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)． 利用两个计数原理的解题策略 1．运用两个原理的关键在于正确区分“分类”与“分步”，分类就是能“一步到位”，即任何一类中任何一种方法，都能完成这件事；而分步只能是“局部到位”，即任何一步中任何一种方法只能完成事件中的某一部分． 2．在既有分类又有分步的题型中，一般先分类，然后在每一类中再分步 对点练3.有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加． (1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？ (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？ (3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？ 解：(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法． 由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法． (2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学，有8种方法；第3步选女同学，有5种方法． 由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法． (3)可分两类，每一类又分两步． 第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法； 第2类，选一名老师再选一名女同学，有3×5＝15种选法． 由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法． 学生用书↓第5页 易错点　因分辨不清两个计数原理而致错 (1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有(　　) A．24种 B．4种 C．43种 D．34种 (2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3班，则此人的走法共有________种． [易错分析]　(1)若选择信箱作为标准，则第一个信箱可以有3封信去投，共有3种投法；同理第二个信箱也有3种投法；依次类推共有3×3×3×3＝34种投法，故而错选D； (2)若搞不清分步还是分类，把此题当成分步，则有3×4＝12种，从而出错. [误区警示]　解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算．解决本题易出现的问题是对完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误．对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地要先乘火车后坐轮船，进而使用分步乘法计数原理计算． [正解]　(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就完成了这件事情．由分步乘法计数原理可得共有43种方法，故选C． (2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地．根据分类加法计数原理可得此人的走法共有4＋3＝7(种)． 答案：(1)C　(2)7 1．完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有(　　) A．6种 B．10种 C．4种 D．60种 答案：B 解析：根据分类加法计数原理，不同的选法共有6＋4＝10种．故选B． 2．(多选)现有红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是(　　) A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 答案：ABD 解析：对于A，从中任选1个球，有4＋5＋6＝15种不同的选法，故A正确；对于B，若每种颜色选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，故B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6＝74种不同的选法，故C错误；对于D，若要不放回地依次选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，故D正确．故选ABD． 3．某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有________种不同的走法． 答案：25 解析：依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步乘法计数原理知，从上山到下山的方法共有5×5＝25种，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法． 4．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A，B的值，则Ax＋By＝0可表示________条不同的直线． 答案：22 解析：当A＝0时，可表示1条直线；当B＝0时，可表示1条直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5×4＝20条不同的直线．由分类加法计数原理知，共可表示1＋1＋20＝22条不同的直线． 学科网（北京）股份有限公司 $