第六章 重点突破3 二项式定理的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦二项式定理的综合应用，系统梳理两个多项式乘积的特定项（双通法）、三项式转化为二项式、近似计算及整除余数问题的解题脉络，构建从基础应用到实际问题解决的学习支架。 资料通过“例题-解析-方法提炼-对点练”结构，以双通法解乘积项、转化法解三项式等实例，培养学生逻辑推理与数学运算核心素养。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过易错警示和强化练习查漏补缺，提升数学建模能力。

学习目标 1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项与三项式问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.能利用二项式定理解决整除(余数)、近似计算的问题，提升数学建模、数学运算的核心素养. 题型一　两个二项式乘积问题 (1)在关于x的展开式(1＋x)(1－)6中，x2的系数是(　　) A.30 B.25 C.20 D.15 (2)已知(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为240，则a＝　　　　. 答案：(1)A　(2)3 解析：(1)依题意，得(1－)6展开式的通项为Tk＋1＝(－)k＝(－1)k，k＝0，1，2，…，6，令k＝4，得到x2的系数为(－1)4＝15；令k＝2，得到x的系数为(－1)2＝15，所以(1＋x)(1－)6展开式中x2的系数是15＋15＝30，故A正确.故选A. (2)(x＋)5的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k()k＝2kx5－2k(k＝0，1，2，3，4，5)，令5－2k＝－1，得k＝3，令5－2k＝0，无解，所以(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为a·23＝80a＝240，所以a＝3. 求多项式积的特定项的方法——“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为Tk＋1·＝an－k(bx)k··(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况. 对点练1.(1)(＋)(x＋y)5的展开式中x2y2的系数是　　　　. (2)若(1＋ax2)(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，则实数a的值为　　　　. 答案：(1)20　(2)－4 解析：(1)(x＋y)5的展开式的通项为Tk＋1＝x5－kyk，k＝0，1，2，3，4，5，则(＋)(x＋y)5的展开式中，当k＝2时，x3y2＝10x2y2；当k＝3时，x2y3＝10x2y2，故展开式中x2y2的系数是10＋10＝20. (2)(1＋ax2)(1＋x)6＝(1＋x)6＋ax2(1＋x)6，(1＋x)6的通项为Tk＋1＝xk，令k＝4时，＝15；令k＝2时，＝15，因为(1＋ax2)(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，所以15＋15a＝－45，解得a＝－4. 学生用书⬇第28页 题型二　三项式问题 (双空题)(x－2y＋z)8的展开式共有　　　　项，其中含x3y3z2的项的系数是　　　　.(用数字作答) 答案：45　－4 480 解析：因为(x－2y＋z)8＝[(x－2y)＋z]8＝(x－2y)8＋(x－2y)7z＋…＋(x－2y)z7＋z8，由二项式定理可知，(x＋y)n展开式中共有n＋1项，所以(x－2y＋z)8的展开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项.(x－2y＋z)8是8个(x－2y＋z)连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个(x－2y＋z)中选定3个(x－2y＋z)提供x，在剩下的5个(x－2y＋z)中选定3个(x－2y＋z)提供y，剩下的最后两个(x－2y＋z)提供z，则x3y3z2的系数是·(－2)3·＝－4 480. [变式探究] 1.(变设问)本例展开式中的含x6y2的项的系数是　　　　. 答案：112 解析：由本例分析可得含x6y2的项的系数为·(－2)2＝112. 2.(变设问)本例展开式中的各项系数和为　　　　. 答案：0 解析：只需令x＝1，y＝1，z＝1，则所有项的系数和是(1－2＋1)8＝0. 　　三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合.项与项结合时，要注意合理性和简捷性. 对点练2.(1)(x＋2y－3z)5的展开式中所有不含x的项的系数之和为(　　) A.－32 B.－1 C.1 D.243 (2)(x2＋－2)4的展开式中的常数项为　　　　. 答案：(1)B　(2)70 解析：(1)(x＋2y－3z)5＝[(2y－3z)＋x]5展开式的通项为Tr＋1＝(2y－3z)5－rxr，r∈N，r≤5，若展开式中的项不含x，则r＝0，此时符合条件的项为(2y－3z)5展开式中的所有项，令y＝z＝1，得这些项的系数之和为(－1)5＝－1.故选B. (2)因为(x2＋－2)4＝＝(x－)8，所以展开式通项为Tk＋1＝x8－k(－)k＝(－1)kx8－2k，令8－2k＝0，得k＝4.所以(x2＋－2)4的常数项为第5项，T5＝(－1)4＝70. 题型三　近似计算问题 1.0120最接近下列哪个数字(　　) A.1.20 B.1.21 C.1.22 D.1.23 答案：C 解析：依题意，得1.0120＝(1＋0.01)20，由二项式定理得(1＋0.01)20＝1＋×1×0.01＋×(0.01)2＋…，而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，所以我们得到(1＋0.01)20≈1＋×1×0.01＋×(0.01)2＝1.219，则其与1.22更接近，故C正确.故选C. 求近似值的基本方法 利用二项式定理进行近似计算：当n不是很大，且｜x｜比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 对点练3. 0.995的计算结果精确到0.001的近似值是　　　　. 答案：0.951 解析：由0.995＝(1－0.01)5＝×1－×0.01＋×(0.01)2－×(0.01)3＋…－×(0.01)5＝1－0.05＋0.001－0.000 01＋…－×(0.01)5≈0.951. 题型四　整除(余数)问题 判断5555＋9是否能被8整除.并推理证明. 解：能被8整除，证明如下： 因为5555＋9＝(56－1)55＋9＝5655＋5654(－1)1＋5653(－1)2＋…＋561(－1)54＋(－1)55＋9 ＝5655＋5654(－1)1＋5653(－1)2＋…＋561(－1)54＋8， 注意到最终所得的式子中每一项都能被8整除， 所以5555＋9能被8整除. 整除问题的解题思路 用二项式定理解决整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负；二是二项式定理的逆用. 对点练4.已知今天是星期四，则67－1天后是(　　) A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期五 答案：B 解析：67－1＝(7－1)7－1＝·77·(－1)0＋·76·(－1)1＋…＋·70·(－1)7－1＝77＋76×(－1)1＋75×(－1)2＋…＋71×(－1)6－2.前面7项均能被7整除，则67－1被7整除余5，故67－1天后是星期二.故选B. 任务再现 1.两个二项式乘积问题.2.三项式问题.3.近似计算问题.4.整除和余数问题 方法提炼 双通法、赋值法、转化与化归思想 易错警示 把代数式转化为二项式处理时，要注意转化的等价性与合理性. 1.89被6除所得的余数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：89＝(6＋2)9＝69＋68×2＋67×22＋…＋6×28＋29，展开式的前9项都能被6整除，只有最后一项不能被6整除，所以问题转化为29被6除的余数，而29＝512，被6除的余数为2，所以89被6除的余数为2.故选B. 2.(x＋3y－1)6的展开式中x2y的系数为　　　　. 答案：－180 解析：在(x＋3y－1)6的展开式中，由x2·(3y)·(－1)3＝－180x2y，得x2y的系数为－180. 3.实数1.9965精确到0.001的近似值为　　　　. 答案：31.681 解析：因为1.9965＝(2－0.004)5＝×25－×24×0.0041＋×23×0.0042－×22×0.0043＋×2×0.0044－×0.0045≈32－0.32＋0.001 28＝31.681 28，将1.9965精确到0.001，故近似值为31.681. 学科网（北京）股份有限公司 $