第六章 重点突破2 组合的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦组合问题的四大核心类型，包括有限制条件的组合、与几何相关的组合、分组分配问题及排列组合综合问题，构建从基础组合知识到复杂计数应用的学习支架，助力学生系统掌握组合问题的解题方法。 资料通过变式探究（如变设问调整条件）和对点练强化应用，结合分类讨论、隔板法等学科特色方法，培养学生数学建模与逻辑推理核心素养。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固解题思路，有效查漏补缺。

学习目标 1.能用组合知识求解具有限制条件的问题.　2.能用排列与组合解决与几何有关的问题、分组分配等问题. 3.通过几种有限制条件的组合的学习，提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养. 题型一　有限制条件的组合问题 (链教材P25例7)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选. 解：(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长， 故共有·＋·＝825种. 或采用排除法有－＝825种. (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生， 故共有·＋·＋＝966种. (3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有种； 第二类：女队长不当选，男队长当选，有·＋·＋·＋种. 故共有＋·＋·＋·＋＝790种. 学生用书⬇第18页 [变式探究] 1.(变设问)在本例条件下，男队长必须当选且女生多于男生有多少种方法？ 解：分两类情况： 第一类，女生3人男生2人(含男队长)， 有＝70种， 第二类，女生4人男生1人(男队长)有＝5种， 所以男队长必须当选且女生多于男生有70＋5＝75种方法. 2.(变设问)在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解：分两类情况： 第一类，没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有＝462种选法. 第二类，一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有＋＝660种选法. 所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122种. 有限制条件的组合问题的类型 一是“含”与“不含”问题：其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的元素去掉再取，分步计数. 二是“至多”“至少”问题：其解法常有两种思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 对点练1.小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种. (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 解：(1)若不买苹果，共有＝10种买法. (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有＋＝16种买法. (3)当香橙和圣女果中只买香橙时，有种买法； 当香橙和圣女果中只买圣女果时，有种买法； 当香橙和圣女果都买时，有种买法. 故买法总数为＋＋＝12种. 题型二　与几何有关的组合问题 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别有5个点和6个点(都不同于点O)，这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？ 解：法一(直接法)：以点O作为分类标准，有下列两种情况： 当取到点O时，在OA，OB上各取一点(与点O不同)，有＝30种； 当不取到点O时，①是从OB上取两点(与点O不同)，在OA上取一个点(与点O不同)，有＝75种；②是从OA上取两点(与点O不同)，在OB上取一个点(与点O不同)，有＝60种. 所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有30＋75＋60＝165个. 法二(间接法)：从12个点中任取三点有种选法，排除从OA上任取三点的种选法，再排除从OB上任取三点的种选法，所以共有－－＝165个不同的三角形. 解答与几何有关的组合问题的策略 1.几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强. 2.解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可. 3.计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数. 对点练2.(1)以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为(　　) A.24 B.58 C.64 D.70 (2)平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定　　　　条直线. 答案：(1)B　(2)26 解析：(1)依题意知，要以平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面，8个顶点任选4个，有种，8个顶点任选4个，共面的有12种，所以以平行六面体的顶点为顶点的四面体有－12＝58个.故选B. (2)先分类，再分步.当取3个共线的点中的两个时，可确定1条；当取不共线的5个点中的两个时，可确定＝10条；当取不共线的5个点中的一个与共线三个点中的一个时，可确定＝15条，所以一共26条. 题型三　分组、分配问题 角度1　不同元素的分组、分配问题 (多选)下列说法正确的有(　　) A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法 学生用书⬇第19页 B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法 C.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲分4本，乙、丙各一本，有30种不同的分法 D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法 答案：ACD 解析：对于A，法一：6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，最后2本给丙，共有种不同的分法；法二：6本不同的书平均分成3组，有种方法，再分每人一组，共有＝种方法，故A正确；对于B，6本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2本作为一组，最后3本作为一组，共有种，再将3组分给甲、乙、丙三人，共有种，故B不正确；对于C，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲分4本，乙、丙各一本，所以共有＝30种分法，故C正确；对于D， 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论：①一人4本，其他两人各1本，共有＝90种；②一人1本，一人2本，一人3本，共有＝360种；③每人2本，共有＝90种，故共有90＋360＋90＝540种，故D正确.故选ACD. “分组”与“分配”问题的解法 1.分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； (2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. 2.分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 角度2　相同元素的分组、分配问题 (双空题)将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为　　　　，恰有一个空盒子的方法数为　　　　. 答案：35　175 解析：先把8个相同的小球排成一行，然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，故每个盒子都不空的方法数共有＝35种；若恰有一个空盒子，先选出一个空盒子，有种选法，并在8个小球之间的7个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，有种插法，故由分步乘法计数原理恰有一个空盒子的方法数共有·＝175种. 用“隔板法”求相同元素的分配问题的一般步骤 第1步，定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量； 第2步，定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数； 第3步，插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数. 对点练3.(1)已知 A，B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有(　　) A.24种 B.48种 C.50种 D.70种 (2)某校准备参加2025年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班.若每班至少一个名额，则不同的分配方案有　　　　种.(用数字作答) 答案：(1)C　(2)36 解析：(1)依题意，分三种情况：①A公司承包2项工程，剩余4项工程B公司承包，则有＝15种方式；②A公司承包3项工程，剩余3项工程B公司承包，则有＝20种方式；③A公司承包4项工程，剩余2项工程B公司承包，则有＝15种方式，所以承包方式共有15＋20＋15＝50种方式.故选C. (2)依题意，只需把10个名额分成3份，每份至少一个名额即可，分别对应3个班，选用隔板法，即将10个名额排成一列，共9个间隔即空位，从其9个空位中，选取2个，插入隔板就符合题意，即＝36种分配方案. 题型四　排列与组合的综合问题 从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.(以下问题均用数字作答) (1)甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法？ (2)甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间(可以不相邻)有多少种排法？ 解：(1)由于甲、乙、丙三人中恰有两人在内，所以可以分3步完成： 第1步，从3人中选中2人，有种选法； 第2步，从其余4人中选出3人，有种选法； 第3步，将选出的5个人全排列，有种排法. 根据分步乘法计数原理，不同的排法有××＝1 440种. (2)由于三人全在内，且甲在乙、丙之间，所以可以分3步完成： 第1步，从其余4人中选出2人，有种选法； 第2步，将2人安排到5个位置中的2个位置，有种方法； 第3步，剩余3个位置排甲、乙、丙三人，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同排法有××2＝240种. [变式探究] (变条件)甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法？ 解：由于甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，所以分3步完成： 第1步：从其余4人中选出2人，有种选法. 第2步：将甲、乙捆绑与选出的2人排列，有×种方法. 第3步：将丙插空有3种方法. 根据分步乘法计数原理，不同排法共有×××3＝216种. 　　解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列. 学生用书⬇第20页 对点练4.(1)从1，3，5，7，9这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是(　　) A. B. C. D. (2)将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有 　　　　种. 答案：(1)C　(2)150 解析：(1)从1，3，5，7，9中任取三个数有种方法，从2，4，6，8中任取两个数有种方法，再把取出的5个数全排列共有种.故选C. (2)依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“2∶2∶1”或“3∶1∶1”两种分配方案.按照“2∶2∶1”分配时，有·＝90种方法；按照“3∶1∶1”分配时，有·＝60种方法.由分类加法计数原理，可得不同分配方案有90＋60＝150种. 任务再现 1.有限制条件的组合问题.2.与几何有关的组合问题.3.分组、分配问题.4.排列与组合的综合问题 方法提炼 插空法、隔板法、均分法、分类讨论思想 易错警示 分类不当；平均分组理解不到位 1.甲乙两人分别从a，b，c，d，e五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有(　　) A.30种 B.45种 C.60种 D.90种 答案：C 解析：两人恰好有两项科目相同的选法为＝60.故选C. 2.两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有(　　) A.10种 B.14种 C.20种 D.24种 答案：B 解析：①一个人一本，另一个三本有＝8种；②每人各2本有＝6种，所以一共有14种.故选B. 3.在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成　　　　个平行四边形. 答案：1 260 解析：从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，所以共有＝×＝1 260个. 4.现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品. (1)试问共有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种？ (3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种？ 解：(1)从9件产品中抽取3件产品共有＝84种. (2)从9件产品中抽取3件产品，其中一等品、二等品、三等品各1件有＝24种. (3)“抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等品”， 因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有－＝64种. 学科网（北京）股份有限公司 $