第六章 计数原理 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理计数原理、排列组合、二项式定理三大核心内容，以“探究点—方法总结—对点练”递进结构呈现，用对比表格归纳“分类”与“分步”区别、排列组合解题策略等要点，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如计数原理例题按“A校位置”分类讨论，排列组合题用“捆绑法”“插空法”，二项式定理结合赋值法求系数，培养数学思维与应用意识。真题溯源链接教材，基础题巩固方法，综合题提升能力，助力教师精准教学，学生自主复习。

章末综合提升 探究点一　两个计数原理 (1)A，B，C，D，E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有(　　) A.36种 B.42种 C.48种 D.60种 (2)现有五种颜色，可涂到如图所示的四个区域，若要求相邻区域不可以涂相同的颜色，每个区域内只能涂一种颜色，共有　　　　种涂法. 答案：(1)B　(2)260 解析：(1)以A校作为分类标准：①A校去乙地有＝24种；②A校与另一所学校去丙地有＝12种，③A校单独去丙地有＝6种，所以共有24＋12＋6＝42种.故选B. (2)分两类：第一类，2，3区域涂同一种颜色.第一步，第1区域，有5种涂法.第二步，第2，3区域有4种涂法；第三步，第4区域有4种涂法，共计有5×4×4＝80种涂法；第二类，2，3区域涂不同颜色.第一步，第1区域，有5种涂法；第二步，第2区域，有4种涂法；第三步，第3区域，有3种涂法；第四步，第4区域，有3种涂法，共计有5×4×3×3＝180种涂法.故共有80＋180＝260种涂法. “分类”与“分步”的区别 1.分类就是能“一步到位”——任何一类中的任何一种方法都能完成这件事情，简单地说分类的标准是“不重不漏，一步完成”. 2.分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成.简单地说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”. 对点练1.(1)不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各3个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出1个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有2种不同颜色的球被取出的取法共有(　　) A.108种 B.148种 C.186种 D.216种 学生用书⬇第30页 (2)如图所示的电路，若合上两只开关以接通从A到B的电路，则有　　　　种不同的接通电路的方法. 答案：(1)D　(2)13 解析：(1)第一步，从9个球中任意取一个，有 9种取法；第二步，从与第一步所取球颜色不同的6个球中任意取一个，有6种取法； 第三步，剩下的球中与第一步颜色相同的球有2个，与第二步颜色相同的球也有2个，从这4个球中任意选一个，有4 种取法.根据分步乘法计数原理，结束取球时，恰有2种不同颜色的球被取出的取法共有9×6×4＝216种.故选D. (2)合上两只开关接通从A到B电路的方法可分为三类：第一类，上路接通，有2×1＝2种方法；第二类，中路接通，有1×7＝7种方法；第三类，下路接通，有2×2＝4种方法.根据分类加法计数原理，共有2＋7＋4＝13种不同的方法. 探究点二　排列、组合应用题 (1)2024年5月15日是第12个全国低碳日，5月13－19日是全国节能宣传周，其主题是“绿色转型，节能攻坚”.某市在5月13、15、17日安排5位人员进行节能宣传，要求每天至少派1位，且每位人员只进行一次宣传，则不同的分派方法有(　　) A.60种 B.90种 C.150种 D.180种 (2)某学校在校庆晚会期间连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的宣传广告，要求最后播放的必须是宣传广告，且2个宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有　　　　种. 答案：(1)C　(2)192 解析：(1)将5位人员分成3组，有两种类型，即第一种：1，1，3，第二种：1，2，2，其中第一种有＝10种分组方法，第二种有＝15种分组方法，将分好的3组全排列有＝6种方法，则由分步乘法计数原理得，不同的分派方法有(10＋15)×6＝150种.故选C. (2)先考虑最后位置必为宣传广告，有＝2种，再考虑4个商业广告的顺序，有＝24种，另一宣传广告插入4个商业广告之间，有＝4种，故共有2×24×4＝192种. 1.排列、组合应用题的解题策略 (1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么； (2)区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素是否与顺序有关.排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关. 2.解决排列组合应用题的常用方法与技巧 (1)先取后排，间接排除. (2)特殊优先，一般在后. (3)相邻捆绑，间隔插空. (4)均分除序，定序除序. 对点练2.(1)某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频.一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有(　　) A.192种 B.168种 C.144种 D.72种 (2)杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度.某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为　　　　. 答案：(1)A　(2)114 解析：(1)依题意，分两步进行分析：第一步，先从4个视频中选3个，有种方法；2篇文章全选，有种方法；第二步，2篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有种方法；第三步，将“捆绑”元素与3个视频进行全排列，有种方法.故满足题意的学法有＝192种.故选A. (2)当A完成第一棒时，有＝60种不同的传递方案；当B完成第一棒时，有(－1)×＝54种不同的传递方案.故共有60＋54＝114种不同的传递方案. 探究点三　二项式定理及应用 已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求n的值； (2)求x2的系数； (3)求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜的值. 解：(1)第4项与第8项的二项式系数相等，则＝，解得n＝10. (2)由(1)知，(2x－1)10的展开式中x2项为 (2x)2(－1)8＝180x2，所以a2＝180. (3)由(1)知，(2x－1)10的展开式中， 当x＝0时，a0＝1， 因为a0，a2，a4，a6，a8，a10∈(0，＋∞)，a1，a3，a5，a7，a9∈(－∞，0)， 所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a10｜＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10. 当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(－3)10＝310， 所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝310－1. 学生用书⬇第31页 二项式定理的问题类型及解答策略 1.求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项，再由条件确定项数，然后代入通项求出此项的系数. 2.求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入. 3.确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质. 4.整除问题：把所给式子底数写成二项式形式，利用展开式解决. 对点练3.(1)(多选)已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是(　　) A.展开式共有6项 B.二项式系数最大的项是第4项 C.展开式的常数项为540 D.展开式的有理项共有3项 (2)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为　　　　. 答案：(1)BC　(2)129 解析：(1)由二项式，得当x＝1时，＝，解得n＝6.对于A，展开式共7项，故A错误；对于B，二项式系数最大的项是第4项，故B正确；二项式展开式的通项Tk＋1＝(2)6－k＝26－2k(－3)k，k∈N，k≤6，对于C，由3－k＝0，得k＝2，则展开式的常数项T3＝22(－3)2＝540，故C正确；对于D，由3－k为整数，得k∈{0，2，4，6}，因此展开式的有理项共有4项，故D错误.故选BC. (2)令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，则a7(1＋x)7＝·30·[－(x＋1)]7，解得a7＝－1.故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129. (2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A.6 B.－6 C.12 D.－12 答案：A 解析：(x－)4的展开式的通项为Tk＋1＝x4－k(－)k＝(－1)k(k＝0，1，2，3，4)，令4－＝3，解得k＝2，故所求即为(－1)2＝6.故选A. 溯源：(人教A版P30例2)(1)求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数； (2)求(2－)6的展开式中x2的系数. 点评：教材例题与真题都考查具体某项的系数，二者几乎相同，体现了真题来源于教材而高于教材，是教材例题的完美变式. (2024·上海卷)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2项的系数为　　　　. 答案：10 解析：令x＝1，所以(1＋1)n＝32，即2n＝32，解得n＝5，所以(x＋1)5的展开式通项为Tk＋1＝·x5－k，令5－k＝2，则k＝3，所以T4＝x2＝10x2. 溯源：(人教A版P35T8)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数. 点评：教材习题通过第4项与第8项的二项式系数相等，先求出二项式的指数n，而真题则是借助各项系数和求出二项式的指数n，可谓是异曲同工之妙；而最后是求具体项的二项式系数或系数，二者相近，体现了真题来源于教材而高于教材. (2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答). 答案：64 解析：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有＝16种. (2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有＝24种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有＝24种.综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64种. 溯源：(人教A版P25T3)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩. (1)共有多少种不同的选法？ (2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？ (3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法？ 点评：教材练习题选考试成绩，真题考选择科目，换瓶不换药，特别教材习题第(3)问物理与化学至少选一门，与真题选3门课，每类至少选一门，基本相同，符合真题要以教材为蓝本进行改造，要引导学生回归教材，减轻学习负担的命题原则. 学科网（北京）股份有限公司 $