7.5 正态分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦正态分布核心知识点，通过离散型与连续型随机变量对比引入，系统梳理正态密度曲线、参数μ和σ的意义、概率计算（3σ原则）及实际应用，构建从概念到应用的学习支架。 资料以问题链驱动探究，结合实例分析（如身高分布、电子产品寿命）和变式训练，培养数学抽象、直观想象与逻辑推理素养。课中助力教师任务式教学，课后通过对点练和任务再现帮助学生巩固知识，查漏补缺。

单元学习六　正态分布 [单元整体设计]　正态分布是概率论中最重要的连续型概率模型.本单元的主要内容为正态密度曲线、正态密度函数、正态分布的特征、随机变量落入某个区域内的概率表示、正态分布的均值和方差、3σ原则及简单应用.学习计划1课时. 本单元内容重点是正态分布的特征、概率的表示、正态分布的均值、方差及其含义.难点是描述正态分布随机变量的概率分布.在研究的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 7.5　正态分布 学习目标 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.　2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征，培养数学抽象、直观想象的核心素养.　3.了解正态分布的均值、方差及其含义并会用正态分布去解决实际问题，培养逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　正态曲线及其特点 (阅读教材P83－86，完成探究问题1、2) 问题1.下列随机变量是不是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间. 提示：(1)是.(2)不是. 问题2.一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，还能使用二项分布、超几何分布来刻画吗？ 提示：不符合二项分布、超几何分布的特征，不能用它们刻画. 1.正态曲线 函数f(x)＝，x∈R.其中μ∈R，σ＞0为参数.显然，对任意的x∈R，f(x)＞0，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 2.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布. 3.若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4.正态曲线的特点 (1)非负性：对任意的x∈R，f(x)＞0，它的图象在x轴的上方. 学生用书⬇第64页 (2)定值性：曲线与x轴之间的面积为1. (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称. (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当｜x｜无限增大时，曲线无限接近x轴. (6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①所示. (7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②所示. [微提醒]　理解正态分布要注意如下四点：(1)μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布.(2)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数(数学期望)；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.(3)正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等.(4)由一些相互独立的偶然因素所引起的，每一种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，这一类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布. (1)(多选)已知三个正态分布密度函数fi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A.μ1＝μ2＞μ3 B.μ1＜μ2＝μ3 C.σ1＝σ2＞σ3 D.σ1＝σ2＜σ3 (2)(双空题)设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝(x∈R)，则这个正态总体的平均数是　　　　；标准差是　　　　. 答案：(1)BD　(2)10　2 解析：(1)根据正态分布密度函数中参数μ，σ的意义，结合图象可知f2(x)，f3(x)对称轴位置相同，所以可得μ2＝μ3；且都在f1(x)的右侧，即μ1＜μ2＝μ3，比较f1(x)和f2(x)图象可得，其形状相同，即σ1＝σ2，又f3(x)的离散程度比f1(x)和f2(x)大，所以可得σ1＝σ2＜σ3.故选BD. (2) 因为f(x)＝＝，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2. 正态曲线中μ，σ的认识 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式. 对点练1.(1)函数f(x)＝(其中μ＜0)的图象可能为(　　) (2)(双空题)如图，若一个随机变量X服从某正态分布N(μ，σ2)，且已知函数f(x)＝的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的均值E(X)＝　　　　，方差D(X)＝　　　　. 答案：(1)A　(2)5　1 解析：(1)函数f(x)图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ＜0，所以排除B，D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.故选A. (2)由图象可知，当x＝5时，f(x)＝，所以μ＝5，σ＝1，所以X～N(5，1)，所以E(X)＝μ＝5，D(X)＝σ2＝1. 学生用书⬇第65页 任务二　利用正态分布的特点求概率 (阅读教材P86，完成探究问题3、4) 问题3.若X～N(μ，σ2)，你能求P(X＝a)吗？P(X＜μ)呢？ 提示：P(X＝a)＝0；P(X＜μ)＝. 问题4.一般情况下，发生的概率小于0.27％的事件，称为小概率事件.在一次试验中小概率事件几乎不可能发生，如何理解？ 提示：(1)这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是有可能发生的.(2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.27％的犯错可能. 1.正态分布的几何意义 若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积. 2.服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. [微提醒]　尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 设随机变量X～N(2，σ2)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1). (1)求c的值； (2)若σ＝3，求P(－4≤X≤8). 附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)依题意，随机变量X～N(2，σ2)，且P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)， 由正态分布的对称性可知，＝c＝2，故c的值为2. (2)若σ＝3，则X～N(2，9)，因此μ＝2，σ＝3， P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. 故P(－4≤X≤8)≈0.954 5. [变式探究] 1.(变条件)若σ＝2，求P(－4≤X≤8). 解：P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3， 故P(－4≤X≤8)≈0.997 3. 2.(变条件，变结论)若P(x＜3)＝0.6，求P(1＜X＜2). 解：依题意，得μ＝2，且P(X＜3)＝0.6， 则P(X≥3)＝P(X≤1)＝1－0.6＝0.4， 所以P(1＜X＜2)＝＝0.1. 学生用书⬇第66页 利用正态分布求概率的两个方法 1.对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)； (2)P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a). 2.“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 对点练2.(1)(多选)对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布N(72，82)，女生成绩Y服从正态分布N(74，62).则(　　) A.P(X≤86)＜P(Y≤86) B.P(X≤80)＞P(Y≤80) C.P(X≤74)＞P(Y≤74) D.P(X≤64)＝P(Y≥80) (2)(双空题)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2). 若P(X≤－1)≥P(X≥3)，则实数μ的取值范围是　　　　；若μ＝5且P(X≤3)＝0.3，那么P(3≤X≤7)＝　　　　. 答案：(1)ACD　(2)(－∞，1]　0.4 解析：(1)X～N(72，82)，μ1＝72，σ1＝8；Y～N(74，62)，μ2＝74，σ2＝6.P(X≤80)＝P(X≤μ1＋σ1)，P(Y≤80)＝P(Y≤μ2＋σ2)，P(X≤80)＝P(Y≤80)；P(X≤88)＝P(X≤μ1＋2σ1)，P(Y≤86)＝P(Y≤μ2＋2σ2)，P(X≤88)＝P(Y≤86)；对于A，P(X≤86)＜P(X≤88)＝P(Y≤86)，故A正确；对于B，P(X≤80)＝P(Y≤80)，故B错误；对于C，P(X≤74)＞P(X≤72)＝＝P(Y≤74)，故C正确；对于D，P(X≤64)＝P(X≥80)＝P(Y≥80)，故D正确.故选ACD. (2)由正态分布的对称性知，≤，解得μ≤1，所以实数μ的取值范围是(－∞，1]；因为μ＝5，所以正态密度曲线的对称轴为x＝5，所以P(3≤X≤5)＝0.5－P(X≤3)＝0.2，所以P(3≤X≤7)＝2P(3≤X≤5)＝0.4. 任务三　正态分布的实际应用 角度1　应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题 已知某地区高考二检数学共有8 000名考生参与，且二检的数学成绩X近似服从正态分布N(95，σ2)，若成绩在80分以下的有1 500人，则可以估计P(95≤X≤110)＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：法一：依题意，得P(X＜80)＝＝，故P(95≤X≤110)＝P(80≤X≤95)＝P(X≤95)－P(X＜80)＝－＝.故选C. 法二：数学成绩在80分至95分的有4 000－1 500＝2 500人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2 500人，故P(95≤X≤110)＝＝.故选C. 应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题 解答此类问题的关键在于利用正态分布曲线的对称性把待求区间的概率向已知区间的概率进行等价转化，此过程体现了数形结合及转化与化归的数学思想. 角度2　3σ原则的实际应用 国家对化学元素镓(Ga)相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设xi(i＝1，2，…，17)表示一天的17次检测得到的镓含量(单位：％)的监测数据，并记监测数据的平均数＝xi，标准差s＝.设X表示镓合金中镓含量(单位：％)，且X～N(μ，σ2)，当k为正整数时，令pk＝P(μ－kσ＜X＜μ＋kσ)，根据表中的pk和值解答： k 1 2 3 pk 0.682 7 0.954 5 0.997 3 0.001 5 0.453 1 0.955 1 (1)记Z表示一天中抽取17次的镓含量X∉(μ－3σ，μ＋3σ)的次数，求P(Z＞0)及Z的均值； (2)当一天中至少1次监测镓含量X∉(μ－3σ，μ＋3σ)，就认为该天研制情况异常，需对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得＝20，s＝0.82.若用该天监测数据得到的和s分别估计为μ和σ且X～N(μ，σ2)，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进. 解：(1)由题意得1次监测镓含量X∈(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.997 3， 镓含量X∉(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.002 7， 所以P(Z＞0)＝1－P(Z＝0)＝1－0.997 317＝1－0.955 1＝0.044 9， 所以Z～B(17，0.0027)，所以E(Z)＝17×0.002 7＝0.045 9. (2)由＝20，s＝0.82估计得μ＝20，σ＝0.82， 所以(μ－3σ，μ＋3σ)＝(17.54，22.46)，发现最小值17∉(μ－3σ，μ＋3σ)， 所以该天至少1次监测镓含量17∉(μ－3σ，μ＋3σ)中，故必须作改进. 学生用书⬇第67页 应用正态分布的3σ原则解决实际问题 1.提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ，σ2). 2.确定一次试验中的取值a是否落入区间[μ－3σ，μ＋3σ]内. 3.作出判断：若a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设.若a∉[μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设. 对点练3.(1)一批电阻的阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000，52)，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，则下列结论正确的是(　　) A.甲、乙两箱电阻均可出厂 B.甲、乙两箱电阻均不可出厂 C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 (2)“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知某年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为　　　　人.(若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A.16 B.18 C.20 D.25 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)依题意X～N(1 000，52)，所以μ＝1 000，σ＝5，所以μ－3σ＝1 000－15＝985，μ＋3σ＝1 000＋15＝1 015，[μ－3σ，μ＋3σ]＝[985，1 015]，因为1 011∈[985，1 015]，982∉[985，1 015]，所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂.故选C. (2)因为小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)， 所以P(X＞800)＝≈＝0.022 75，所以该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.022 75×800≈18.故选B. 任务再现 1.正态曲线及其特点.2.利用正态分布的特点求概率.3.正态分布的实际应用及3σ原则 方法提炼 公式法、对称法、3σ法、数形结合法 易错警示 正态曲线中参数μ和σ含义混淆，不理解3σ原则在统计中的作用 1.已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，P(X＞5)＝0.3，则P(3＜X＜4)＝(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 答案：B 解析：由于X服从正态分布N(4，σ2)，P(X＞5)＝0.3，则P(4＜X＜5)＝0.5－0.3＝0.2，故P(3＜X＜4)＝P(4＜X＜5)＝0.2.故选B. 2.(多选)关于标准正态分布N(0，1)的概率密度函数f(x)＝·的说法中，正确的有(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)的最大值是 C.f(x)在x＞0时是单调递减函数，在x≤0时是单调递增函数 D.f(x)关于x＝1对称 答案：ABC 解析：由正态分布的概率密度函数f(x)＝·，可得f(x)的图象关于x＝0对称，所以f(x)为偶函数，故A正确，D不正确；根据正态分布曲线的性质得，当x＝0时，函数f(x)取得最大值f(0)＝·e0＝，故B正确；根据正态分布曲线的性质，可得f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)单调递减，故C正确.故选ABC. 3.已知随机变量ξ～N(2，32)，若P(ξ＜a－3)＝P(ξ＞2a＋1)，则实数a的值为　　　　. 答案：2 解析：依题意，得a－3＋2a＋1＝2×2，解得a＝2. 4.某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩X～N(82，16)，若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4 000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为　　　　.(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5) 答案：91 解析：依题意，知μ＝82，σ＝4，P(82≤X≤90)＝×0.954 5＝0.477 25，P(X≥90)＝0.5－0.477 25＝0.022 75，4 000×0.022 75＝91. 学科网（北京）股份有限公司 $