6.3.1 二项式定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学二项式定理核心知识点，以计数原理和组合知识为基础，通过“先猜后证”思路推导定理，涵盖展开式、二项式系数、通项公式等内容，为后续二项式系数性质及概率问题学习搭建支架。 资料亮点在于探究式设计，从观察(a+b)^n展开式规律入手，结合分步乘法计数原理分析系数来源，培养数学抽象与逻辑推理素养。通过求特定项、区分二项式系数与项的系数等例题，提升数学运算能力。课中助力教师引导学生推导，课后易错警示与练习帮助学生查漏补缺。

单元学习三　二项式定理 [单元整体设计]　二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”，它既是计数原理和组合知识的应用，也是解决有关概率问题的基础.在本单元中，将依次学习二项式定理，二项式系数的性质.学习计划3课时. 本单元内容重点是用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理，并会用它解决有关的简单问题.难点是用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.在研究的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 6.3.1　二项式定理 学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.　2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　二项式定理 (阅读教材P29－30，完成探究问题1、2、3) 观察以下各式： (a＋b)1………………a＋b， (a＋b)2………………a2＋2ab＋b2， (a＋b)3………………a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4………………a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， … 问题1.展开式的项数与二项式的次数有关系吗？ 提示：展开式的项数比二项式的次数多1. 问题2.展开式中各项的次数与二项式的次数有关系吗？ 提示：展开式中各项的次数与二项式的次数相等. 问题3.对于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 提示：(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式.而且a2－kbk的个数相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数，即a2－kbk的系数是. 1.二项式定理 (a＋b)n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn，n∈N*，这个公式叫做二项式定理. 2.相关概念 (1)二项展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项. (2)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数. (3)二项展开式的通项：(a＋b)n展开式中的an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝an－kbk. [微提醒]　(1)每一项中a与b的指数和为n.(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.(3)a与b的位置不能交换. (链教材P30例1) (1)求(3－)4的展开式. (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解：(1)(3－)4＝()4＝(3x－1)4 ＝[(3x)4＋(3x)3·(－1)＋(3x)2·(－1)2＋(3x)·(－1)3＋(－1)4] ＝(81x4－108x3＋54x2－12x＋1)＝81x2－108x＋54－＋. (2)原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)1＋(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 学生用书⬇第22页 运用二项式定理的解题策略 1.正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开. 2.逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的，则结果是(a－b)n的形式. 对点练1.(1)(2x－)5的二项展开式是　　　　　　　　　. (2)计算3＋9＋27＋…＋3n＝　　　　. 答案：(1)32x5－80x2＋－＋－　(2)4n－1 解析：(1)(2x－)5＝(2x)5－(2x)4()1＋(2x)3()2－(2x)2()3＋(2x)()4－·()5＝32x5－80x2＋－＋－. (2)原式＝31＋32＋33＋…＋3n＝30＋31＋32＋33＋…＋3n－30＝(1＋3)n－1＝4n－1. 任务二　二项式定理的综合应用 角度1　求二项展开式中的特定项 已知二项式(－)n展开式中的第7项是常数项. (1)求n； (2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？ 解：(1)因为(－)n展开式的第7项是·()n－6·(－)6＝26··. 由于第7项是常数项，故＝0，解得n＝15. (2)由(1)知(－)15，展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·2k··， 若Tk＋1为有理项，则＝5－k为整数， 所以k为6的倍数， 因为0≤k≤15，所以k＝0，6，12，共三个数， 所以展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项. 求二项展开式的特定项的常用方法 1.对于常数项：隐含条件是字母的指数为0(即0次项). 2.对于有理项：一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 3.对于二项展开式中的整式项：其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 角度2　二项式系数与项的系数 在二项式(x－)9的展开式中，求： (1)第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)x3的系数. 解：(1)由已知得，二项式通项为Tk＋1＝x9－k(－)k＝(－1)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)， 所以T6＝(－1)5x9－2×5＝－126x－1， 所以第6项的二项式系数为＝126，第6项的系数为－126. (2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则由(1)得9－2k＝3，即k＝3， 所以展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·＝－84. 学生用书⬇第23页 1.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 2.求某项的二项式系数可直接代入求解.求二项展开式某项的系数可以分为两步完成： (1)根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件(n为正整数，k为非负整数，n≥k)； (2)根据所求的指数，求所求解的项或项的系数. 对点练2.(1)(2x－y)4的展开式中x3y的系数为(　　) A.－32 B.32 C.8 D.－8 (2)在(＋)6的展开式中，含x－2的项的二项式系数为　　　　. 答案：(1)A　(2)1 解析：(1)依题意知，展开式通项为Tk＋1＝(2x)4－k(－y)k＝24－kx4－k(－1)kyk，所以k＝1时，x3y的系数为×23×(－1)1＝－32.故选A. (2)由Tk＋1＝)6－k()k＝3k·，k＝0，1，…，6，令＝－2，得k＝6，所以含x－2的项为729·x－2，其二项式系数为＝1. 任务再现 1.二项式定理.2.利用二项展开式的通项公式求特定项.3.二项式系数或项的系数 方法提炼 通项公式法 易错警示 二项式系数与项的系数的区别；an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k＋1项，不是第k项 1.在(2x＋)3的展开式中，x的系数为(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案：D 解析：依题意，在(2x＋)3中，每一项为(2x)3－k()k＝23－kx3－2k，当3－2k＝1，即k＝1时，23－k＝22＝3×4＝12.故选D. 2.(多选)对于二项式(－)6，下列说法正确的是(　　) A.展开式中的常数项为 B.展开式中的常数项为 C.展开式中的有理项有3项 D.展开式中的有理项有4项 答案：AD 解析：(－)6的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝)6－k(－)k＝(－)kx－k＝(－)k，k＝0，1，2，…，6，令3－k＝0，则k＝2，常数项为(－)2＝15×＝，故A正确；当k＝0，2，4，6，展开式中的项是有理项，所以有理项有4项，故D正确.故选AD. 3.20×－21×＋22×－23×＋…＋28×－29×的值为　　　　. 答案：－1 解析：(2－1)9＝·29·(－1)0＋·28·(－1)1＋·27·(－1)2＋…＋·21·(－1)8＋·20·(－1)9，即(2－1)9＝·29－·28＋·27＋…＋·21－·20＝1， 所以20×－21×＋22×－23×＋…＋28×－29×＝－1. 4.已知(x＋)n展开式中前三项系数成等差数列. (1)求n的值； (2)判断展开式中是否有含x5的项.若有，则求出含x5的项；若没有，请说明理由. 解：(1)(x＋)n展开式的通项为Tk＋1＝()k，k＝0，1，2，…，n. 依题意可得n≥2，且1，，成等差数列， 即n＝1＋，解得n＝8. (2)由(1)可得Tk＋1＝()k， 令＝5，解得k＝2，则T3＝×28x5＝7x5. 学科网（北京）股份有限公司 $