6.1 第2课时 计数原理的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦分类加法与分步乘法计数原理的综合应用，通过组数问题（含数字排列、特殊位置处理）、抽取与分配问题（如班级分配、科目选择）、涂色与种植问题（区域相邻限制）逐步深入，构建从基础到复杂的学习支架。 该资料通过一题多解（直接法与间接法）、变式探究及解题原则总结，培养学生逻辑推理与数学建模素养。如组数问题分析特殊位置体现数学眼光，分步分类推理发展数学思维，实际问题解决强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后练习题与易错警示帮助学生查漏补缺。

第2课时　计数原理的综合应用 学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.　2.会用这两个计数原理分析和解决一些较为复杂的实际计数问题，提升逻辑推理、数学建模及数学运算的核心素养. 任务一　组数问题 (链教材P7练习T5)用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复， 每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)， 即可以排成125个三位数字的电话号码. (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法， 第二、三位可以排0， 因此共有4×5×5＝100(个)三位数. (3)被2整除的数，个位数字可取0，2，4，因此可分为两类： 一类是个位数字是0，则有4×3＝12(个)排法； 一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因为0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法，则有2×3×3＝18(个)排法. 故共有12＋18＝30(个)排法， 所以可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. [变式探究] 1.(变设问)由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，分四步： 第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法； 第二步定千位，把1，2，3，4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法； 第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法. 由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个). 2.(变设问)由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位偶数？ 解：完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，分两类： 第一类，个位数是0，再分三步，第一步选千位数字，有4种方法，第二步选百位数字，有3种方法，第三步选十位数字，有2种方法，共有4×3×2＝24(个)； 第二类，个位数不是0，分四步，先确定个位数字，有2种方法，再确定千位数字，有3种方法，再确定百位数字，有3种方法，最后确定十位数字，有2种方法，共有2×3×3×2＝36(个). 由分类加法计数原理知共有24＋36＝60(个). 解决组数问题的原则 1.明确特殊位置或特殊数字，这是采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解. 2.要注意数字“0”不能排在两位数或两位数字以上的数的最高位. 对点练1.(1)从1，2，3，…，8，9这9个数字中任取3个数组成一个没有重复数字的三位数，若这些三位数能够被5整除，则这样的三位数的个数为(　　) A.504 B.336 C.72 D.56 (2)“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443等.那么在五位数中，回文数共有　　　　个. 答案：(1)D　(2)900 解析：(1)依题意知，这些三位数的个位为5，所以这样的三位数有8×7＝56个.故选D. (2)依题意知，5位“回文数”只需排列前三位数字，后面数字即可确定，因为第一位不能为0，所以第一位有9种排法，第二位有10种排法，第三位有10种排法，所以由分步乘法原理可知回文数共有9×10×10＝900个. 任务二　抽取与分配问题 (一题多解)(1)高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 (2)甲、乙两名同学要从A，B，C，D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的方法有　　　　种. 答案：(1)C　(2)12 解析：(1)法一(直接法)：以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种).综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种).故选C. 法二(间接法)：先计算三个班自由选择去何工厂的总数，再去除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案.故选C. (2)法一：甲、乙两名同学要从A，B，C，D四个科目中每人选取三科进行学习，不可能只有一科相同，至少要两科相同，而所求科目不完全相同，即只有两科相同，完成这件事，可以分两步，先选相同科目，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种情况，再选不同科目，有2种情况，所以科目不完全相同方法共有6×2＝12种. 法二：因为两人选取科目的方法共有4×4＝16种，科目完全相同的方法共有4×1＝4种，所以科目不完全相同方法共有12种. 学生用书⬇第6页 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 1.当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树形图法、框图法或者图表法. 2.当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： (1)直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行； (2)间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 对点练2.(1)将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为(　　) A.12种 B.16种 C.24种 D.36种 (2)2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为　　　　. 答案：(1)A　(2)10 解析：(1)每个小组安排一个女生，有2×1＝2种方法；每个小组安排一名男生，有3×2＝6种方法，故每个兴趣小组分配男生女生各1人，共有2×6＝12种方法.故选A. (2)最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有1＋2×2＝5种；安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有2×1＝2种，由分步乘法计数原理，不同的传递方案种数为5×2＝10种. 任务三　涂色与种植问题 (1)某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有(　　) 1 2 3 4 5 A.30 240种 B.60 480种 C.120 960种 D.241 920种 (2)课外实践活动期间，小王同学研究起了七巧板，有一次他将七巧板拼成如右图形状，现需要给右图七巧板右下方的五个块涂色(图中的1，2，3，4，5)，有4种不同颜色可供选择，要求有公共边的两块区域不能同色，有　　　　种不同的涂色方案. 答案：(1)C　(2)252 解析：(1)由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类.第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻，分别有10，9，8种选择，所以共计7×6×10×9×8＝30 240种；第二、三、四类和第一类种数相同.综上总计有30 240×4＝120 960种方法.故选C. (2)第一步：涂2，有4种颜色；第二步：涂5，有3种颜色；第三步：涂3、4，当3与5同色时，4有3种颜色；当3和5不同色时，3有2种颜色，4有2种颜色，第三步共7种；第四步：涂1，有3种颜色.共计4×3×7×3＝252种. 涂色与种植问题的解答策略 求解涂色与种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，处理这类问题的关键是要找准分类标准，常用的方法有： 1.按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算. 2.以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算. 3.将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题. 4.对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准. 对点练3.“帆船之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有 　　　　种不同的涂法. 答案：180 解析：当②、④不同色时，有5×4×3×2＝120种涂色方案；当②、④同色时，有5×4×3＝60种涂色方案，根据分类加法计数原理可得共有120＋60＝180种涂色方案. 任务再现 1.组数问题.2.抽取与分配问题.3.涂色与种植问题 方法提炼 直接法、间接法、分类讨论思想、正难则反思想 易错警示 分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题 学生用书⬇第7页 1.由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(　　) A.9 B.12 C.15 D.18 答案：B 解析：本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为　　　，由此可知共有12个符合题意的四位数.故选B. 2.市政府现有4个项目要安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，则不同的安排方式有(　　) A.12种 B.14种 C.20种 D.24种 答案：B 解析：每个项目安排到2个地区有2种方法，故4个项目安排到2个地区有24＝16种，4个项目全安排在同一个地区有2种方法，故每个地区至少有一个项目，则不同的安排方式有16－2＝14种.故选B. 3.(多选)某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则下列说法中正确的是(　　) A.甲若选一种荤菜，则有6种选法 B.乙的选菜方法数为9 C.若两人分别打菜，总的方法数为18 D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一种相同，则方法数为30 答案：AB 解析：若甲打一荤一素，则有2×3＝6种选法，故A正确；若乙打一荤一素，则有6种选法，若打两素，则有3种选法，共9种选法，故B正确；选项C两人分别打菜，由选项B知每个人可有9种打法，故应为9×9＝81种方法；选项D可分为荤菜相同或素菜相同两种情况，共2×3×2＋3×2×1＝18种.故选AB. 4.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有　　　　种.(用数字作答). 答案：96 解析：依题意，假设正五角星的区域依次为A，B，C，D，E，F，如图所示.要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步乘法计数原理，先对A区域涂色有3种方法，B，C，D，E，F这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有3×2×2×2×2×2＝96种涂色方案. 学科网（北京）股份有限公司 $