6.1 第1课时 计数原理及其简单应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦分类加法与分步乘法计数原理核心知识点，通过人大代表出行、志愿者行程等实例引入，引导学生从具体问题中抽象原理，为后续排列组合、二项式定理推导及概率问题解决奠定基础。 资料以任务驱动设计，通过微思考辨析原理本质，对点练与变式探究强化应用，培养数学抽象、逻辑推理和数学建模素养。课中助力教师引导学生区分分类与分步，课后可通过典型例题回顾，帮助学生查漏补缺。

单元学习一　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [单元整体设计]　本章内容属于选择性必修课程的“主题三　概率与统计”，既相互独立，又是后续概率与统计内容学习的基础.通过本章的学习，能够理解两个基本计数原理，能够理解排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系，能够运用计数原理推导排列、组合、二项式定理的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题，特别是概率中的某些问题.基于以上内容，本章共分三个单元整体设计：分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理，学习计划10课时(含章末).在此过程中，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养. 两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，是处理计数问题的两种基本思想方法.不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想和方法贯穿本章的始终.学习计划2课时. 本单元内容重点是归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题.难点是正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”.在研究的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 第1课时　计数原理及其简单应用 学习目标 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理，培养数学抽象的核心素养.　2.会用分类加法计数原理、分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题，培养数学建模、逻辑推理及数学运算的核心素养. 任务一　分类加法计数原理 (阅读教材P2－3，完成探究问题1、2) 某人大代表明天要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择，一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘. 问题1.该代表从济南到北京的方案可以分为几类？每类方案中各有几种方法？ 提示：两类；乘飞机3种方法，乘高铁4种方法. 问题2.该代表从济南到北京共有多少种不同的方法？ 提示：共3＋4＝7种方法. 　　分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. [微思考]　1.在分类加法计数原理中，每类不同方案中的方法相同吗？ 提示：每类不同方案中的方法各不相同. 学生用书⬇第2页 2.在分类加法计数原理中，每类方案中的每一种方法是否可以独立完成这件事？ 提示：每类方案中的每一种方法都可以独立完成这件事. (链教材P3例1)某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目. (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ 解：(1)当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类： 第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目； 第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目； 第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目. 根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看12＋10＋46＝68个不同的节目. (2)因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道共有(12＋10＋46－3)个正在播放互不相同的节目，所以一台电视机共可以选看1＋(12＋10＋46－3)＝66个不同的节目. 利用分类加法计数原理计数时的解题思路及注意点 1.解题思路 2.注意点：分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”. 对点练1.(1)现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有(　　) A.10种 B.12种 C.20种 D.36种 (2)自然数有一位数、两位数、多位数，在一位数和两位数的自然数中含有数字1的自然数的个数为　　　　. 答案：(1)B　(2)19 解析：(1)依题意，不同的选法共有3＋4＋5＝12种.故选B. (2)一位数中含有数字1的有1个；两位数中十位为1的有10个；十位不为1，个位数字为1的自然数有8个，故共有1＋10＋8＝19个. 任务二　分步乘法计数原理 (阅读教材P4，完成探究问题3、4) 一名志愿者从A地赶赴B地为游客提供导游服务，但需经过C地，已知从A地到C地每天有7个航班，从C地到B地每天有6趟火车. 问题3.该志愿者从A地到B地需要经历几个步骤？完成每一步各有几种方法？ 提示：两个步骤；第一步有7种方法，第二步有6种方法. 问题4.该志愿者从A地到B地共有多少种不同的方法？ 提示：7×6＝42种方法. 　　分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. [微思考]　1.在分步乘法计数原理中，每一步中的每一种方法是否能独立完成这件事？ 提示：每一步中的每一种方法都不能独立完成这件事. 2.在分步乘法计数原理中，每步之间的各种方法相互影响吗？ 提示：每步之间的各种方法互不影响. 学生用书⬇第3页 (链教材P4例2)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？ 解：得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行： 第一步：从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法. 第二步：从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法. 根据分步乘法计数原理共有10×12＝120(种)取法. 利用分步乘法计数原理解题的一般思路及注意点 1.一般思路 (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步； (2)计数：求出每一步中的方法数； (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 2.注意点 应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. 对点练2.(1)甲从3个短跑项目和5个球类项目中各选1个项目参加，则不同的选择方案共有(　　) A.8种 B.15种 C.20种 D.24种 (2)食堂有大荤菜3个、小荤菜3个、素菜4个、汤1个，如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐，有　　　　种不同的搭配方式. 答案：(1)B　(2)36 解析：(1)不同的选择方案共有3×5＝15种.故选B. (2)依题意得，选择大荤菜有3种方法，小荤菜有3种方法，素菜有4种方法，汤有1种方法，根据分步乘法计数原理可得，一共有3×3×4×1＝36种方法. 任务三　两个基本原理的应用 (链教材P5例3)集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}.现从A，B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标.可以得到多少个不同的点？ 解：一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点， 又集合A与B中的元素互不相同， 所以可分为两类： 第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12(个)不同的点； 第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12(个)不同的点. 由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24. [变式探究] (变设问)本例所得的点中，位于第一象限的有几个？ 解：第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A，B中的正数，又集合A与B中的元素互不相同，所以可分为两类： 第一类：选A中的正元素为x，B中的正元素为y，有2×2＝4(个)不同的点； 第二类：选A中的正元素为y，B中的正元素为x，有2×2＝4(个)不同的点. 由分类加法计数原理得不同的点的个数为4＋4＝8. 1.在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. 2.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. 学生用书⬇第4页 对点练3.高二(1)班、(48)班、(62)班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试. (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果张老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 解：(1)事件选一人当组长可分三类方案完成， 第一类，组长从(1)班选出，有7种选法， 第二类，组长从(48)班选出，有5种选法， 第三类，组长从(62)班选出，有9种选法， 根据分类加法计数原理，选一人当组长有7＋5＋9＝21种选法. (2)如果张老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步， 第一步，从(1)班选一名同学担任副组长，有7种选法， 第二步，从(48)班选一名同学担任副组长，有5种选法， 第三步，从(62)班选一名同学担任副组长，有9种选法， 根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有7×5×9＝315种选法. (3)事件推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案， 第一类，若两人来自(1)班和(48)班，有7×5＝35种选法， 第二列，若两人来自(1)班和(62)班，有7×9＝63种选法， 第三类，若两人来(48)班和(62)班，有5×9＝45种选法， 综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有35＋63＋45＝143种. 任务再现 1.分类加法计数原理.2.分步乘法计数原理.3.两个基本原理的应用 方法提炼 分类加法计数、分步乘法计数、分类讨论思想 易错警示 “分类”与“分步”不清，导致计数错误 1.某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有(　　) A.17种 B.34种 C.35种 D.70种 答案：A 解析：由分类加法计数原理得，甲作出的不同的选择情况共有10＋7＝17种.故选A. 2.3名同学报名参加学校运动会的跳高、跳远比赛项目，每人限报一项，不同的报法种数是(　　) A.9 B.8 C.6 D.5 答案：B 解析：依题意，每位同学均有2种报名方法，按照分步乘法计数原理可知一共有2×2×2＝8种不同的报法.故选B. 3.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有　　　　种不同的走法. 答案：14 解析：分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3＝6种；第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2＝8种.根据分类计数原理可得，共有6＋8＝14种.故从甲地到丁地共有14种不同的路线. 4.已知x∈{1，2，3}，y∈{4，5，6，7}，则xy可表示不同的值的个数是　　　　. 答案：11 解析：依题意，x∈{1，2，3}，x有3种选法；y∈{4，5，6，7}，y有4种选法.由分步计数原理知，求xy的值有3×4＝12种方法，但2×6＝12，3×4＝12取值相同，故xy可表示不同的值有12－1＝11个. 学科网（北京）股份有限公司 $