课时分层评价8 二项式系数的性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价8　二项式系数的性质

(时间：60分钟　满分：110分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

(1—9题，每小题5分，共45分)

1.设(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则 a0＝(　　)

A.1 B.2 

C.63 D.64

答案：D

解析：令x＝0得26＝a0＝64.故选D.

2.已知(x－)n的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是(　　)

A.－1 B.1 

C.64 D.36

答案：B

解析：依题意(－2)2＝2n(n－1)＝60，注意到n是正整数，所以解得n＝6，则展开式所有项系数和是(1－2)6＝1.故选B.

3.在(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为(　　)

A.第3项 B.第4项

C.第5项 D.第4项和第5项

答案：C

解析：依题意，偶数项的二项式系数之和为＝128，得n＝8，则二项展开式共有9项，展开式的二项式系数最大的项就是第5项.故选C.

4.若(1＋mx)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，且a1＋a2＋a3＋a4＝15，则实数m的值为(　　)

A.1 B.－3 

C.1或－3 D.1或3

答案：C

解析：取x＝1，得(1＋m)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，取x＝0，得14＝a0，因此a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋m)4－1＝15，解得m＝1或－3.故选C.

5.(1－x)10的展开式中，系数最小的项是(　　)

A.第4项 B.第5项 

C.第6项 D.第7项

答案：C

解析：依题意，(1－x)10的展开式的通项为Tk＋1＝(－x)k＝(－1)kxk(0≤k≤10，k∈N)，其系数为(－1)k，当k为奇数时，(－1)k才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，是{}的最大项，所以当k＝5时，(－1)k取得最小值，即第6项的系数最小.故选C.

6.(多选)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是(　　)

A.a0＝－1 B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2

C.a1＋a3＋a5＝－122 D.＋＋＋＋＝1

答案：BC

解析：在(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5中，对于A，令x＝0，得a0＝1，故A错误；对于B，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，因此a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2，故B正确；对于C，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243，则a1＋a3＋a5＝＝－122，故C正确；对于D，令x＝，得a0＋＋＋＋＋＝0，则＋＋＋＋＝－1，故D错误.故选BC.

7.已知(1＋2x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数之和为　　　　.

答案：1 024

解析：依题意可得，＝，所以n＝10，则(1＋2x)n的二项式系数之和为210＝1 024.

8.若x9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则a1＋a2＋…＋a9＝　　　　.

答案：511

解析：令x＝1，得a0＝1，再令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝29＝512，所以a1＋a2＋…＋a9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9－a0＝512－1＝511.

9.“杨辉三角”揭示了二项展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第211行中最大数为　　　　(用符号表示即可).

答案：、

解析：依题意，第211行中各数是二项式(a＋b)211展开式的二项式系数，最大数为中间相等的两项，即.

10.(13分)已知(x2－)n的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46.

(1)求展开式中所有项的系数的和；

(2)求展开式中的常数项.

解：(1)因为(x2－)n的二项展开式中前三项的二项式系数的和为46，所以＋＋＝46，

即1＋n＋＝46，n2＋n－90＝0，

解得n＝9或n＝－10(舍).

令x＝1，则(x2－)9＝(－1)9＝－1，

所以展开式中所有项的系数的和为－1.

(2)由(1)知二项式为(x2－)9，