课时分层评价8 二项式系数的性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价8　二项式系数的性质 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.设(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则 a0＝(　　) A.1 B.2 C.63 D.64 答案：D 解析：令x＝0得26＝a0＝64.故选D. 2.已知(x－)n的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是(　　) A.－1 B.1 C.64 D.36 答案：B 解析：依题意(－2)2＝2n(n－1)＝60，注意到n是正整数，所以解得n＝6，则展开式所有项系数和是(1－2)6＝1.故选B. 3.在(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为(　　) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第4项和第5项 答案：C 解析：依题意，偶数项的二项式系数之和为＝128，得n＝8，则二项展开式共有9项，展开式的二项式系数最大的项就是第5项.故选C. 4.若(1＋mx)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，且a1＋a2＋a3＋a4＝15，则实数m的值为(　　) A.1 B.－3 C.1或－3 D.1或3 答案：C 解析：取x＝1，得(1＋m)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，取x＝0，得14＝a0，因此a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋m)4－1＝15，解得m＝1或－3.故选C. 5.(1－x)10的展开式中，系数最小的项是(　　) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 答案：C 解析：依题意，(1－x)10的展开式的通项为Tk＋1＝(－x)k＝(－1)kxk(0≤k≤10，k∈N)，其系数为(－1)k，当k为奇数时，(－1)k才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，是{}的最大项，所以当k＝5时，(－1)k取得最小值，即第6项的系数最小.故选C. 6.(多选)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是(　　) A.a0＝－1 B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2 C.a1＋a3＋a5＝－122 D.＋＋＋＋＝1 答案：BC 解析：在(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5中，对于A，令x＝0，得a0＝1，故A错误；对于B，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，因此a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2，故B正确；对于C，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243，则a1＋a3＋a5＝＝－122，故C正确；对于D，令x＝，得a0＋＋＋＋＋＝0，则＋＋＋＋＝－1，故D错误.故选BC. 7.已知(1＋2x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数之和为　　　　. 答案：1 024 解析：依题意可得，＝，所以n＝10，则(1＋2x)n的二项式系数之和为210＝1 024. 8.若x9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则a1＋a2＋…＋a9＝　　　　. 答案：511 解析：令x＝1，得a0＝1，再令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝29＝512，所以a1＋a2＋…＋a9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9－a0＝512－1＝511. 9.“杨辉三角”揭示了二项展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第211行中最大数为　　　　(用符号表示即可). 答案：、 解析：依题意，第211行中各数是二项式(a＋b)211展开式的二项式系数，最大数为中间相等的两项，即. 10.(13分)已知(x2－)n的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46. (1)求展开式中所有项的系数的和； (2)求展开式中的常数项. 解：(1)因为(x2－)n的二项展开式中前三项的二项式系数的和为46，所以＋＋＝46， 即1＋n＋＝46，n2＋n－90＝0， 解得n＝9或n＝－10(舍). 令x＝1，则(x2－)9＝(－1)9＝－1， 所以展开式中所有项的系数的和为－1. (2)由(1)知二项式为(x2－)9， 所以二项展开式的通项为Tk＋1＝(x2)9－k·(－)k＝(－2)k，k＝0，1，2，…，9， 令18－k＝0，解得k＝8， 所以展开式中的常数项为T9＝·(－2)8＝2 304. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.已知(2x－)n的展开式中各项的二项式系数之和为M，各项的系数之和为N，若M－N＝63，则展开式中的常数项为(　　) A.60 B.180 C.240 D.280 答案：C 解析：(2x－)n的展开式中各项的二项式系数之和M＝2n.对于(2x－)n，令x＝1，则N＝(2×1－)n＝1.由M－N＝2n－1＝63，解得n＝6.所以(2x－)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝(2x)6－k(－)k＝(－1)k×26－kx6－3k.令6－3k＝0，则k＝2，所以(2x－)6的展开式中的常数项为T3＝(－1)2×24×＝240.故选C. 12.(多选)设x8＝a0＋a1(x＋t)＋a2(x＋t)2＋a3(x＋t)3＋…＋a8(x＋t)8，若a1＝8，则(　　) A.t＝1 B.a2＝28 C.a0＋a1＋a2＋…＋a8＝0 D.a2＋a4＋a6＋a8＝127 答案：BD 解析：由于x8＝[－t＋(x＋t)]8，所以a1＝(－t)7＝－8t7＝8，所以t＝－1，a2＝(－t)6＝28t6＝28，故A错误，B正确；x8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a8(x－1)8，令x＝1，可得a0＝1，令x＝2，可得28＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8，令x＝0，可得0＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8，相加可得a2＋a4＋a6＋a8＝－a0＝128－1＝127，故C错误，D正确.故选BD. 13.设(1＋x)m＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…(m，n为正整数)对任意实数x都成立，若a1＝11，则a2的最小值为　　　　. 答案：25 解析：a1＝＋＝m＋n＝11，则a2＝＋＝＋＝＝55－mn＝55－m(11－m)＝(m－)2＋，m，n∈N*，当m＝5或6时，a2的最小值是25. 14.(15分)已知(x＋)2n(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数a的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 解：(1)因为二项式系数最大的项为第6项，所以2n＋1＝2×6－1＝11，解得n＝5， 所以(x＋)10展开式的通项为Tk＋1＝x10－k()k＝ak(0≤k≤10，k∈N)， 而展开式中第二项系数为20，从而a＝10a＝20，解得a＝2. (2)由(1)可知，(x＋)10展开式的通项为Tk＋1＝x10－k()k＝2k(0≤k≤10，k∈N)， 令10－k＝0，解得k＝6， 故所求为26＝64×210＝13 440. (3)设展开式中系数最大的项为第k＋1项， 则 即 即 解得≤k≤，所以k＝7， 所以展开式中系数最大的项为T8＝27＝128×120＝15 360. 15.(5分)设An＝(1＋x)n，Bn＝A1＋A2＋…An，则B2 025中x3的系数为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：依题意，B2 025＝A1＋A2＋…A2 025＝(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)2 025，对于An＝(1＋x)n的通项为Tk＋1＝xk，k＝0，1，…，n，故B2 025中x3的系数为＋＋＋…＋＝(＋)＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝…＝＋＝.故选D. 16.(17分)(新情境)请先阅读：对等式sin(x－α)＝sin xcos α－cos x sin α(x∈R，α为常数)的两边求导有：(sin(x－α))'＝(sin x cos α－cos x sin α)'，由求导法则得cos(x－α)＝cos x cos α＋sin x sin α，再在上式中令x＝α得cos2α＋sin2α＝1. 借助上述想法，结合等式(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xn(x∈R，正整数n≥2)，解答以下问题： (1)求＋2＋…＋5的值； (2)化简＋22＋32＋…＋n2. 解：(1)在等式(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xn(x∈R，正整数n≥2)， 两边对x求导得n(1＋x)n－1＝＋2x＋3·x2＋…＋n·xn－1①， 令x＝1，n＝5，可得＋2＋…＋5＝5×(1＋1)4＝80. (2)①式两边同时乘以x得nx(1＋x)n－1＝x＋2x2＋3·x3＋…＋n·xn②， ②式两边对x求导得：n(1＋x)n－1＋n(n－1)x(1＋x)n－2＝＋22x＋32·x2＋…＋n2·xn－1， 令x＝1，得＋22＋32＋…＋n2＝n·2n－1＋n·(n－1)2n－2＝n(n＋1)2n－2. 学科网（北京）股份有限公司 $