课时分层评价10 等比数列前n项和的性质及其应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价10　等比数列前n项和的性质及其应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知等比数列{an}的公比q≠－1，设{an}的前n项和、前2n项和、前3n项和分别是A，B，C，则(　　) A.A＋B＝C B.3B－3A＝C C.B2＝AC D.B(B－A)＝A(C－A) 答案：D 解析：由等比数列的性质得，A，B－A，C－B成等比数列，故(B－A)2＝A(C－B)，整理得B2－AB＝AC－A2，即B(B－A)＝A(C－A).故选D. 2.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案：B 解析：设等比数列的项数为2n，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝，中间两项的和为an＋＝＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.故选B. 3.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟 答案：C 解析：根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋≥200，所以≥200，所以2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8，即至少需要8秒细菌将病毒全部杀死.故选C. 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S8，则的值是(　　) A.－4 B.－ C. D.4 答案：B 解析：法一：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝2S8，由等比数列的性质得，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，且公比不为－1，即2S8，－S8，S12－S8成等比数列，所以＝＝－，则2S12－2S8＝S8，所以2S12＝3S8，所以S12＝S8，所以＝＝－.故选B. 法二：由S4＝2S8，令S8＝k(k≠0)，则S4＝2k，因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即2k，－k，k成等比数列，所以S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝2k－k＋k＝k，所以＝＝－.故选B. 5.(多选)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，……，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则下列结论正确的是(　　) A.a6＝ B.＝8 C.a5＋a6＝ D.a1＋a2＋…＋a6＝ 答案：BD 解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为，所以an＝×()n－1＝()n，则a6＝＝，＝＝8，a5＋a6＝()5＋()6＝，a1＋a2＋…＋a6＝＋()2＋…＋()6＝＝.故选BD. 6.(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4，2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则下列结论正确的是(　　) A.an＝()n－5 B.an＝2n＋1 C.Sn＝32－ D.Sn＝2n＋4－16 答案：AC 解析：由a3，a4，2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5，设{an}的公比为q，则2q2－3q＋1＝0，解得q＝或q＝1(舍去)，所以S5＝＝31，解得a1＝16.所以数列{an}的通项公式为an＝16·()n－1＝()n－5，Sn＝＝32－，故选AC. 7.若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为　　　　. 答案：80 解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝60＋20＝80. 8.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝　　　　. 答案： 解析：由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以＝q10＝.又{an}为正项等比数列，所以q＝. 9.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝　　　　　　尺. 答案：2n－＋1 解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1. 10.(13分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意知S6≠2S3，q≠1， 由等比数列的前n项和等距分段的性质知， q3＝＝＝8，故q＝2， 所以S3＝＝7，代入q＝2可得a1＝1， 所以an＝. (2)由(1)知bn＝＋n－1， 所以Tn＝(1＋2＋…＋)＋[1＋2＋…＋(n－1)] ＝＋ ＝2n＋－1. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选)已知各项均为正的等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2＝1，S6＝91，则(　　) A.S8＝729 B.S8＝820 C.q＝3 D.q＝9 答案：BC 解析：因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…也成等比数列，因为S2＝1，S6＝91，所以(S4－1)2＝1×(91－S4)，即－S4－90＝(S4－10)(S4＋9)＝0，因为an＞0，所以Sn＞0，所以S4＝10，因为S4－S2＝10－1＝9，所以S8－S6＝1×93＝729，所以S8＝729＋91＝820，故A错误，B正确；因为q2＝＝9，且an＞0，所以q＝3，故C正确，D错误.故选BC. 12.(多选)(2025·福建漳州高二期中)如图所示，图①是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形，得到图②.重复以上步骤，得到图3……记图①中正方形的个数为a1，图②中正方形的个数为a2，图③中正方形的个数为a3……图○n中正方形的个数为an，则下列说法正确的有(　　) A.a5＝63 B.图⑤中的最小正方形的边长为 C.a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2 036 D.若an＝255，即图○n中所有正方形的面积之和为8 答案：BCD 解析：将大小相同的正方形看作同一“层”，易知自下而上每一“层”正方形的个数是以1为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的前n项和公式可知an＝2n－1.对于A，a5＝25－1＝31，故A错误；对于B，自下而上每一“层”的正方形的边长是以1为首项，为公比的等比数列，所以第n“层”正方形的边长bn＝()n－1，所以b5＝()5－1＝，故B正确；对于C，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝21－1＋22－1＋23－1＋…＋210－1＝21＋22＋23＋…＋210－10＝－10＝2 036，故C正确；对于D，由an＝2n－1＝255，解得n＝8，因为第n“层”正方形的面积和为2n－1［()n－1］2＝1，所以在图⑧中所有正方形的面积之和为8，故D正确.故选BCD. 13.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6－3S3＝4，则S9－S6的最小值为　　　　. 答案：32 解析：由等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列.又S6－3S3＝4，所以S9－S6＝＝＝4S3＋＋16≥2＋16＝32，当且仅当S3＝2时，等号成立，所以S9－S6的最小值为32. 14.(15分)(2025·浙江金华十校联考)在一次招聘会上，A，B两家分司分别给出它们的工资标准如下： 公司A：第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元； 公司B：第一年月工资为3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上增加5％. 设某人年初同时通过A，B两家公司的招聘程序. (1)若此人分别在公司A、公司B连续工作n(n∈N*)年，则第n年的月工资分别为多少？ (2)若此人打算连续在其中一家公司工作10年，仅将工资收入总量作为考量因素，则他应选择哪家公司？(1.0510≈1.6) 解：(1)若此人选择在公司A连续工作n(n∈N*)年， 则他第n年的月工资是3 000＋(n－1)×300＝300n＋2 700(元). 若此人选择在公司B连续工作n(n∈N*)年，则他第n年的月工资是3 720×(1＋0.05)n－1元. (2)若此人选择在其中一家公司连续工作10年，则在公司A、公司B得到的工资收入总量分别为： 公司A：12×[3 000＋(3 000＋1×300)＋…＋(3 000＋9×300)]＝12×3 000×10＋12×300×＝522 000(元)； 公司B：12×3 720×(1＋1.051＋1.052＋…＋1.059)＝12×3 720×≈535 680(元). 因为535 680＞522 000，所以应选择公司B. 15.(5分)(新情境)螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图①所示.如图②所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，以此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图②阴影部分，设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的面积依次为b3，…，bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝　　　　　　　. 答案：4－4× 解析：由题意，设由外到内依次各正方形的边长分别为a1，a2，a3，…，an，则a1＝4，a2＝＝a1，a3＝＝a2＝a1，…，an＝＝⇒＝，于是数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列，则an＝4×.由题意可得，S△AHE＝，即b1＝，b2＝，…，bn＝， 于是bn＝＝×，所以{bn}是以为首项，为公比的等比数 列，Sn＝×＝4×＝4－4×. 16.(17分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数. 解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 所以 解得b1＝a1＝，所以原命题得证. (2)由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m，亦即m＝2k－2∈[1，500]，解得2≤k≤10， 所以满足条件的解k＝2，3，4，…，10，故集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $