课时分层评价10 等比数列前n项和的性质及其应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价10　等比数列前n项和的性质及其应用

(时间：60分钟　满分：110分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

(1—9，每小题5分，共45分)

1.已知等比数列{an}的公比q≠－1，设{an}的前n项和、前2n项和、前3n项和分别是A，B，C，则(　　)

A.A＋B＝C

B.3B－3A＝C

C.B2＝AC

D.B(B－A)＝A(C－A)

答案：D

解析：由等比数列的性质得，A，B－A，C－B成等比数列，故(B－A)2＝A(C－B)，整理得B2－AB＝AC－A2，即B(B－A)＝A(C－A).故选D.

2.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　)

A.6 B.8 

C.10 D.12

答案：B

解析：设等比数列的项数为2n，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝，中间两项的和为an＋＝＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.故选B.

3.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　)

A.6秒钟 B.7秒钟 

C.8秒钟 D.9秒钟

答案：C

解析：根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋≥200，所以≥200，所以2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8，即至少需要8秒细菌将病毒全部杀死.故选C.

4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S8，则的值是(　　)

A.－4 B.－ 

C. D.4

答案：B

解析：法一：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝2S8，由等比数列的性质得，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，且公比不为－1，即2S8，－S8，S12－S8成等比数列，所以＝＝－，则2S12－2S8＝S8，所以2S12＝3S8，所以S12＝S8，所以＝＝－.故选B.

法二：由S4＝2S8，令S8＝k(k≠0)，则S4＝2k，因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即2k，－k，k成等比数列，所以S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝2k－k＋k＝k，所以＝＝－.故选B.

5.(多选)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，……，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则下列结论正确的是(　　)

A.a6＝ B.＝8

C.a5＋a6＝ D.a1＋a2＋…＋a6＝

答案：BD

解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为，所以an＝×()n－1＝()n，则a6＝＝，＝＝8，a5＋a6＝()5＋()6＝，a1＋a2＋…＋a6＝＋()2＋…＋()6＝＝.故选BD.

6.(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4，2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则下列结论正确的是(　　)

A.an＝()n－5 B.an＝2n＋1

C.Sn＝32－ D.Sn＝2n＋4－16

答案：AC

解析：由a3，a4，2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5，设{an}的公比为q，则2q2－3q＋1＝0，解得q＝或q＝1(舍去)，所以S5＝＝31，解得a1＝16.所以数列{an}的通项公式为an＝16·()n－1＝()n－5，Sn＝＝32－，故选AC.

7.若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为　　　　.

答案：80

解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝60＋20＝80.

8.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝　　　　.

答案：

解析：由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以＝q10＝.又{an}为正项等比数列，所以q＝.