第五章 重点突破5 曲线的切线问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦导数的几何意义，系统梳理“在某点处的切线”“过某点的切线”的求解步骤，延伸至两条曲线公切线问题及切线相关综合问题（求参、距离最小、函数零点），构建从基础到综合的学习支架。 资料以典型例题（含高考真题）和“对点练”为载体，通过抽象切线本质（数学眼光）、逻辑推理分类讨论（数学思维）、规范符号表达解题过程（数学语言），助力教师授课，辅助学生课后查漏补缺，提升解题能力。

学习目标 　　导数的几何意义主要用于求曲线的切线方程，常与解析几何知识交汇命题，充分体现了数形结合思想，是近几年高考和各地模拟考试中的热点问题. 题型一　求“在某点处的切线”或“过某点的切线”问题 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线y＝f(x)的切线方程. 解：(1)由题意，得f'(x)＝3x2－8x＋5，f'(2)＝1.又f(2)＝－2， 所以曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程为 y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0. (2)设切点坐标为(x0，－4＋5x0－4)， 又f'(x0)＝3－8x0＋5， 所以切线方程为y－(－4＋5x0－4)＝(3－8x0＋5)(x－x0). 又切线过点A(2，－2)， 所以－2－(－4＋5x0－4)＝(3－8x0＋5)(2－x0)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1. 当x0＝2时，切线方程为x－y－4＝0； 当x0＝1时，切线方程为y＋2＝0. 因此经过点A(2，－2)的曲线y＝f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0. 1.求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程的步骤 第一步：求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)； 第二步：根据直线方程的点斜式，得切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0). 2.求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤 第一步：设切点为P'(x'，f(x'))，求切线的斜率k＝f'(x')，写出切线方程； 第二步：把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于x'的方程，解得x'的值，进而求出切线方程. 对点练1.(1)函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为　　　　　　； (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为　　　　　　，　　　　　　. 答案：(1)x－y－3＝0　(2)y＝x　y＝－x(不分先后) 解析：(1)f'(x)＝，则f'(1)＝1，故所求切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0. (2)由题意可知，函数的定义域为{x｜x≠0}.易证函数y＝ln｜x｜为偶函数，当x＞0时，y＝ln x，设切点坐标为(x0，ln x0)，因为y'＝，所以切线斜率k＝y'＝，故切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又知切线过原点(0，0)，所以－ln x0＝－1，所以x0＝e，故切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y＝－x，故过坐标原点的两条切线方程为y＝x；y＝－x.(不分先后). 题型二　两条曲线的公切线问题 (1)若曲线f(x)＝x2＋a与曲线g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，求该公切线的方程； (2)求曲线f(x)＝ex－1和曲线g(x)＝ln x＋1公切线的方程. 解：(1)f'(x)＝2x，g'(x)＝－2.设公共切点的坐标为(x0，y0)，则f'(x0)＝2x0，g'(x0)＝－2，f(x0)＝＋a，g(x0)＝4ln x0－2x0.根据题意，有所以公共切点的坐标为(1，－2)，公切线斜率为2，所以公切线的方程为y＋2＝2(x－1)，即2x－y－4＝0. (2)根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n＞0)， 对于f(x)＝ex－1，f'(x)＝ex，则k1＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)， 即y＝emx＋em(1－m)－1， 对于g(x)＝ln x＋1，g'(x)＝，则k2＝， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)， 即y＝x＋ln n，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则 可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0，或m＝1， 则公切线方程为y＝ex－1，或y＝x. 学生用书⬇第94页 解决两曲线的公切线问题的两种方法 法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解. 法二：分别写出曲线y＝f(x)在P1(x1，f(x1))与曲线y＝g(x)在P2(x2，g(x2))的切线方程l1与l2，并分别写成y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2，利用公切线列出求解. 对点练2.若函数f(x)＝x2－ax＋3，g(x)＝ln x和直线l：y＝kx－1，f'(3)＝3. (1)求a的值； (2)是否存在实数k，使得直线l既是函数f(x)图象的切线，又是g(x)图象的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：(1)由已知得f'(x)＝2x－a， 因为f'(3)＝3，所以a＝3. (2)假设存在k，设直线l与f(x)，g(x)的图象相切的切点的横坐标分别为x1，x2， 则有 解得x1＝2，x2＝1，k＝1. 所以存在k＝1，使得直线l既是函数f(x)图象的切线，又是g(x)图象的切线. 题型三　与切线有关的综合问题 角度1　与切线有关的求参问题 (1)已知函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则实数m的值为(　　) A. B. C. D. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　　　　　　. 答案：(1)C 　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：(1)因为f(x)＝x(x＋2)－mln x(x＞0)，所以f'(x)＝2x－＋2(x＞0)，所以f'＝3－2m.因为函数f(x)的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，所以切线的斜率k＝f'＝3－2m＝2，解得m＝.故选C. (2)y'＝(x＋a＋1)ex，设切点为(x0，y0)，易得x0＝0时不符合题意， 故＝(x0＋a＋1)，y0＝(x0＋a)， 即＝(x0＋a＋1)，由题意可得方程 x＋a＝x(x＋a＋1)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，化简得x2＋ax－a＝0，则Δ＝a2＋4a＞0， 解得a＜－4或a＞0， 故a的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞). 角度2　与切线有关的距离最小问题 (1)已知点A在函数f(x)＝ex－2x的图象上，点B在直线l：x＋y＋3＝0上，则A，B两点之间距离的最小值是(　　) A.2 B.4 C.4 D.8 (2)已知实数a，b，c，d满足(a－b＋1)2＋(d－ln c)2＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)设A(x0，f(x0)).由题意，得f'(x)＝ex－2.若在点A处的切线与直线l：x＋y＋3＝0平行，则f'(x0)＝－2＝－1，即＝1，所以x0＝0，f(x0)＝－2x0＝1，即A(0，1)，此时A到直线l的距离d＝＝2，所以A，B两点之间距离的最小值为2. (2)由(a－b＋1)2＋(d－ln c)2＝0，得即A(a，b)为直线x－y＋1＝0上的点，B(c，d)为函数y＝ln x上的点，则(a－c)2＋(b－d)2＝｜AB｜2.设直线x－y＋m＝0与曲线y＝ln x相切，由y'＝，得＝1，即x＝1，所以切点为(1，0)，则m＝－1，故切点(1，0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝，即为A，B两点间的最小距离，所以(a－c)2＋(b－d)2的最小值为2. 角度3　与函数零点有关的求参问题 已知定义在R上的函数f(x)＝若函数k(x)＝f(x)＋ax恰有2个零点，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，＋∞)∪ B.[0，＋∞)∪{－} C.[0，1)∪(1，＋∞)∪ D.(－∞，－1)∪(－1，0)∪ 答案：C 解析：k(x)恰有2个零点等价于f(x)与y＝－ax恰有两个不同的交点，由f(x)解析式可得f(x)图象如图①所示，①当a＝0时，f(x)与y＝0恰有两个不同交点，符合题意.②当a＜0时，－a＞0，设直线y＝－ax与f(x)＝ln x(x＞1)相切于点(m，ln m)(m＞1)，因为f'(x)＝，所以－a＝f'(m)＝，又－a＝，所以＝，解得m＝e，此时－a＝，解得a＝－. 由图②可知：当且仅当a＝－时，f(x)与y＝－ax恰有两个不同交点.③当a＞0时，－a＜0，设直线y＝－ax与f(x)＝x2－x(x≤1)相切于点(0，0)，因为f'(x)＝2x－1，所以－a＝f'(0)＝－1，解得a＝1. 由图③可知：当a＞0，且a≠1时，f(x)与y＝－ax恰有两个不同交点.综上所述，实数a的取值范围为[0，1)∪(1，＋∞)∪{－}.故选C. 学生用书⬇第95页 与切线有关的常见综合问题 1.一般已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f'(x0)＝tan α，其中倾斜角α∈［0，)∪(，π)，根据范围进一步得角α或有关参数的值或范围. 2.利用导函数求解距离最小问题的步骤：先求出与已知直线平行的切线方程，再求两平行线间的距离，此距离就是所求的最小距离，如右图. 3.函数零点个数问题：此类问题通常可以转化为两个函数图象的关系求解，求出切线通常是解题的关键. 对点练3.(1)若曲线y＝在点(1，a)处的切线与直线l：2x－y＋5＝0垂直，则实数a＝(　　) A. B.1 C. D.2 (2)(2025·陕西安康期中)若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0的距离的最小值为(　　) A. B. C.2 D.2 (3)函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(　　) A.(2－6，0) B.(2－6，0) C.(－2，0) D.(2－6，0) 答案：(1)C　(2)D　(3)D 解析：(1)因为y'＝，所以曲线y＝在点(1，a)处的切线的斜率为k1＝＝1－a.又直线l的斜率k2＝2，由切线与直线l垂直，知k1k2＝－1，即2(1－a)＝－1，解得a＝. (2)在点P处作曲线y＝ln x－x2的切线，当切线与直线l：x＋y－4＝0平行时，点P到直线l的距离最小.设切点为P(x0，y0)(x0＞0)，对y＝ln x－x2求导得y'＝－2x，得切线斜率k＝－2x0.由题知－2x0＝－1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以P(1，－1)，此时点P到直线l的距离d＝＝2.故选D. (3)作出函数f(x)＝的图象，如图所示，设与y＝4－x2相切的直线为l，且切点为P(x0，4－)，因为y'＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0，则切线方程为y－4＋＝－2x0(x－x0)，因为g(x)＝kx－3k过定点(3，0)，且在切线l上，代入切线方程求得x0＝3－或x0＝3＋(舍去)，所以切线的斜率为k＝2－6，因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，由图象知，实数k的取值范围为(2－6，0).故选D. 1.已知函数f(x)＝，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0 C.x－y＋1＝0 D.x－y－1＝0 答案：B 解析：因为f(x)＝，所以f'(x)＝，所以f'(0)＝－1，f(0)＝1，即函数f(x)的图象在点(0，1)处的切线斜率为－1，所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.故选B. 2.已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1 C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1 答案：D 解析：因为y'＝aex＋ln x＋1，所以切线的斜率k＝y'｜x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.因为切线方程为y＝2x＋b，所以即a＝e－1，b＝－1.故选D. 3. 若函数f(x)＝aln x－在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则a2＋b2的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由已知f'(x)＝＋，所以f'(1)＝a＋b＝1，所以a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时等号成立.故选A. 4.曲线y＝ln x＋1在点(1，1)处的切线也是y＝ex＋a的切线，则a＝　　　　. 答案：－1 解析：由y＝ln x＋1得y'＝，则曲线y＝ln x＋1在点(1，1)处的切线斜率为1，切线方程为y＝x.设直线y＝x与曲线y＝ex＋a相切的切点为(t，et＋a)，对y＝ex＋a求导得y'＝ex，于是得所以a＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $