4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 学习目标 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列通项公式与前n项和公式的关系. 2.会求解与等比数列前n项和有关的基本运算，培养数学运算的核心素养. 3.掌握等比数列前n项和公式的函数特征及其应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　等比数列的前n项和公式 (阅读教材P34—35，完成探究问题1、2) 问题1.若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，你能根据Sn与qSn的关系推导该等比数列的前n项和的公式吗？ 提示：能.因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1＋a1①，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1＋a1qn②， 发现①②两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1. 问题2.当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，你能依据上式推导前n项和的公式吗？ 提示：能.当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，根据等比数列的性质，有＝＝q，＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式. 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 公式一 Sn＝ 公式二 Sn＝ [微提醒]　(1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知或是代数式时，要对公比分类讨论.(2)当q≠1时，若已知a1，q和n，则用Sn＝较方便，若已知a1，an及q，则用Sn＝较方便.(3)解决等比数列的问题时，a1，an，n，q，Sn五个量中，知道任意三个，由通项公式和前n项和公式，可求出另外两个. (链教材P35例7)已知数列{an}是等比数列. (1)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若S3＋S6＝S9，求其公比q. 解：(1)法一：由题意知 解得 从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. (2)法一：由Sn＝，an＝a1以及已知条件，得 所以a1·2n＝192，所以2n＝. 于是189＝a1(2n－1)＝a1， 所以a1＝3.又因为2n－1＝＝32，故n＝6. 法二：由公式Sn＝及已知条件，得189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1·，得96＝3·2n－1，解得n＝6. (3)若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，显然满足S3＋S6＝S9，所以q＝1符合题意； 若q≠1，则＋＝， 整理得(q6－1)(q3－1)＝0，解得q＝－1(q＝1舍去). 综上，公比q的值等于1或－1. 学生用书⬇第42页 [变式探究]　(变条件)本例(3)中，若将条件改为“数列{an}是等比数列，且S3＝3a3”，求其公比q的值. 解：法一：当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题意； 当q≠1时，＝3a1q2，因为a1≠0，所以1－q3＝3q2(1－q)，解得q＝－，(q＝1舍去). 综上，q＝1，或q＝－. 法二：由S3＝3a3可知a1＋a2＋a3＝3a3，即a1＋a1q－2a1q2＝0. 由于a1≠0，则2q2－q－1＝0，解得q＝1，或q＝－. 等比数列前n项和运算的技巧 1.方程思想：在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. 2.整体思想：对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体. [注意]　在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 对点练1.已知数列{an}是等比数列. (1)若an＝3×2n，求S6； (2)若S2＝30，S3＝155，求Sn； (3)若a1＋an＝66，a2＝128，Sn＝126，求公比q. 解：(1)因为an＝3×2n＝6×2n－1，所以该等比数列的首项a1＝6，公比q＝2， 于是S6＝＝378. (2)由题意知 解得 从而Sn＝＝＝×5n＋1－或Sn＝＝. (3)因为a2＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根. 从而又Sn＝＝126， 即＝126，或＝126，所以q＝2或q＝. 任务二　等比数列前n项和公式的函数特性 问题3.当q＝1和q≠1时，数列{Sn}的图象分别具有什么特征？ 提示：(1)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1(n∈N*)，此时数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点. (2)当公比q≠1时，Sn＝可以变形为Sn＝－·qn＋，记A＝，由上式可化为Sn＝－Aqn＋A，此时数列{Sn}的图象是函数y＝－Axn＋A图象上一系列孤立的点. 问题4.在问题3中，当q≠1时，从函数的角度看，等比数列的前n项和公式有什么特点？ 提示：由问题3的提示知，当q≠1时，等比数列的前n项和Sn是由一个关于n的指数型函数与一个常数构成的，并且指数式的系数与常数互为相反数；反过来，如果已知某个数列的前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么这个数列是等比数列. 1.Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A. (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数. (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 2.Sn＝＝－an＋. [微提醒]　等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. 学生用书⬇第43页 角度1　利用前n项和公式判断等比数列 (一题多解)数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.判断{an}是否是等比数列. 解：法一：当n≥2时，an＝Sn－＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式. 所以an＝ 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 法二：由等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，1≠－2，故{an}不是等比数列. [变式探究] 1.(变条件，变设问)若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝－2k，则实数k＝　　　　. 答案： 解析：因为Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，所以3－2k＝0，即k＝. 2.(变条件，变设问)若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·()n－1＋5，则实数a＝　　　　. 答案：－ 解析：由Sn＝a·＋5，可得Sn＝3a·＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－. 角度2　利用an与Sn的关系判断等比数列 (一题多解)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝　　　　. 答案：(－2)n－1 解析：法一：当n＝1时，由Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－＝－＝an－，即an＝－2，故数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，从而{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 法二：因为Sn＝an＋，所以＝，＝－，于是q＝－2，a1＝1，从而{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 法三：因为Sn＝an＋，所以数列{an}是等比数列，由所以公比q＝－2， 所以{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 1.已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－. 2.若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 3.解决Sn和an的关系的方法 (1)基本法：由an与Sn的关系式，结合an＝来求解. (2)模型法：由an与Sn的关系式知数列{an}是等比数列，则Sn＝Aan＋B.A＝－，B＝. (3)赋值法：由an与Sn的关系式知数列{an}是等比数列，赋值求解. 对点练2.(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}(　　) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.是等差数列或等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列 (2) (多选)(2025·江苏镇江高二期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an＋1(n∈N*)，则(　　) A.a1＝－1 B.S5＝－32 C.数列{an}是等比数列 D.数列的前n项和为2－2n＋1 答案：(1)B　(2)ACD 解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－＝(a－1)·；当n＝1时，a1＝a－1，满足上式.故an＝(a－1)·，n∈N*，因为＝a，所以数列{an}一定是等比数列.故选B. (2)因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，所以a1＝－1，故A正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2(an－an－1)，所以an＝2an－1，即＝2，所以{an}是以a1＝－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；所以an＝－1·2n－1＝－2n－1，Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；因为Sn－1＝－2n，所以数列是首项为－2，公比为2的等比数列，则数列的前n项和为＝2－2n＋1，故D正确.故选ACD. [教材拓展4]　错位相减法求和(源于教材P34—35) 1.推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法. 2.该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列，求数列{an ·bn}的前n项和Sn时，可以用这种方法，此时数列{an ·bn}记为“等差等比型数列”或“差比型数列”. 具体步骤为： 学生用书⬇第44页 若数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)·3n，求此数列的前n项和Sn. 解：已知Sn＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，① 上式两边同时乘3，得3Sn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1.② ①－②，得－2Sn＝1×3＋(3－1)×32＋(5－3)×33＋…＋[(2n－1)－(2n－3)]·3n－(2n－1)·3n＋1， 即－2Sn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1＝(2－2n)·3n＋1－6，所以Sn＝(n－1)·3n＋1＋3. 任务 再现 1. 等比数列的前n项和公式.2.等比数列前n项和公式的函数特征 方法 提炼 1.等比数列的前n项和公式的推导：错位相减法.2.等比数列的前n项和公式的有关运算：基本量法、巧用性质法、方程思想.3.利用等比数列前n项和公式的函数特征判断等比数列：公式法、模型思想 易错 警示 1.等比数列的前n项和公式分公比q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论.2.等比数列前n项和公式中项数的判断易出错 1.已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　) A.93 B.－93 C.45 D.－45 答案：A 解析：S5＝＝＝93.故选A. 2.(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A. B. C.15 D.40 答案：C 解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q＞0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C. 3.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝4n－1＋t，则下列结论正确的是(　　) A.首项a1的值不确定 B.公比q＝ C.a2＝1 D.t＝－ 答案：D 解析：已知Sn＝4n－1＋t，则a1＝S1＝40＋t＝t＋1，a2＝S2－S1＝4＋t－(1＋t)＝3，a3＝S3－S2＝16＋t－(4＋t)＝12，所以q＝＝4，因为a1＝t＋1＝＝，所以t＝－.故选D. 4.(易错题)已知在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1＝　　　　. 答案：或6 解析：法一：当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，满足S3＝.当q≠1时，依题意，得 解得 综上可得a1＝或a1＝6. 法二：所以a1＋a2＝3，所以＝＝2， 所以q＝1，或q＝－.所以a1＝，或a1＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $