4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及其应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

第2课时　等差数列前n项和的性质及其应用 学习目标 1.理解等差数列前n项和的性质并学会运用，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题，提升数学建模的核心素养. 任务一　等差数列前n项和的性质 (阅读教材P23T3T5、P25T7，完成探究问题1—3) 问题1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n的关系吗？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 问题2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则数列是等差数列吗？ 提示：由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)，所以数列是以a1为首项，以为公差的等差数列，且点(n，)(n＝1，2，3，…)共线. 问题3.公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？ 提示：(1)若数列共有2n项，则S2n＝＝＝n(an＋an＋1)， S奇＝＝＝nan，S偶＝＝＝nan＋1. (2)若数列共有(2n＋1)项，则S2n＋1＝＝＝(2n＋1)an＋1，S奇＝＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝＝＝nan＋1. 等差数列前n项和的性质 性质1： “片段和” 性质 (1)若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项和，前2n项和，前3n项和，…，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(链接教材P23T3) (2)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，公差为(链接教材P25T7) 性质2： “奇偶和” 性质 (1)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则＝n(an＋)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0). (2)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0)(链接教材P23T5) 性质3： “和比与项 比”性质 若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则 (1)＝，＝·； (2)若＝，则＝ 学生用书⬇第27页 性质4： 其他性质 (1)等差数列第三求和公式：Sn＝na中(当n为奇数时，a中表示中间项；当n为偶数时，a中表示中间两项的平均数)； (2)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则＝－(m＋n) [微提醒]　(1)上述性质可用于小题，大题中要先证再用.(2)性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列，不能误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列. 角度1　“片段和”性质 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若－＝100，则d的值为(　　) A.1 B. C. D. (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为(　　) A.0 B.2 C.3 D.4 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)根据Sn＝，得－＝＝＝100，则d＝1.故选A. (2)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故有2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)，解得Sn＝2.故选B. 角度2　“奇偶和”性质 (1)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)(2025·陕西榆林五校高二联考)已知等差数列{an}的项数为2m＋1(m∈N*)，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则m＝(　　) A.6 B.7 C.12 D.13 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)由题知S偶－S奇＝5d， 所以d＝＝3.故选C. (2)由题知＝，所以＝，解得m＝6.故选A. 角度3　“和比与项比”性质 (一题多空)(2025·湖北新高考协作体联考)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn. (1)若＝，则＝　　　　； (2)若＝，则＝　　　　； (3)若＝，则＝　　　　. 答案：(1)　(2)　(3) 解析：(1)＝＝＝＝＝. (2)＝＝＝＝＝. (3)因为{an}，{bn}为等差数列，且＝， 所以可设Sn＝kn(2n＋3)，Tn＝kn(n＋1)， 则a5＝S5－S4＝65k－44k＝21k，b10＝T10－T9＝10k×11－9k×10＝20k，所以＝. 利用等差数列前n项和的性质简化计算 1.(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些； (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果； (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 2.常用结论：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则 (1)数列的等差数列，且－＝d. (2)数列的等差数列，且，，成等差数列. 对点练1.(1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 022，－＝6，则S2 025＝　　　　. (2)(双空题)在等差数列{an}中，奇数项之和为44，偶数项之和为33. ①若此数列的项数为奇数，则这个数列的中间项是第　　　　项； ②若此数列的项数为偶数，且公差为－，则此数列的项数为　　　　. (3)(2025·四川绵阳高二测试)等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，且·Tn＝Sn，则等于　　　　. 答案：(1)4 050　(2)①4　②44　(3) 解析：(1)由等差数列的性质可得数列也为等差数列.设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 024d＝－2 022＋2 024＝2，所以S2 025＝2×2 025＝4 050. (2)①若此数列的项数为奇数，设项数为2n－1，则奇数项之和S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝nan，偶数项之和S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝＝(n－1)an，所以＝＝，解得n＝4，所以第4项是此数列的中间项. ②若此数列的项数为偶数，设项数为2n，则S偶－S奇＝nd，所以－11＝－n，所以n＝22，故此数列的项数为44. (3)因为等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，且·Tn＝Sn，所以＝，因为＝＝＝＝＝＝. 对点练2.(一题多解)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解：法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为S10＝100，S100＝10， 所以 解得 所以S110＝110a1＋d ＝110×＋×(－)＝－110. 法二：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，所以该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， 所以前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110. 法三：由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10，b10＝＝， 则d＝(b10－b1)＝(－)＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＋(－)＝－1， 所以S110＝－110. 法四：直接利用性质若Sn＝m，则Sm＝n，＝－(m＋n)，可知S110＝－110. 学生用书⬇第28页 任务二　等差数列前n项和的最值 (阅读教材P23—24，完成探究问题4) 问题4.根据上节课所学，若一个数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋5n，你能说明数列{an}的单调性吗？该数列的前n项和有最值吗？ 提示：由Sn＝－n2＋5n求得an＝－2n＋6，d＝－2＜0，故数列{an}是递减数列，由an＝－2n＋6知，a1＞a2＞0，a3＝0，0＞a4＞a5＞…，则该数列的前n项和Sn在n＝2或n＝3时取到最大值. 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1＞0，d＜0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1＜0，d＞0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定. (2)Sn＝n2＋(a1－)n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. [微思考]　在求等差数列前n项和的最值中，Sn取得最大或最小值时的n唯一吗？是否也一定在顶点处取到呢？ 提示：由于n取正整数，所以Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一(例如问题4在n＝2或n＝3时取最大值)，同时也不一定在顶点处取到最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取正整数的点处取到最值. (链教材P23例9)数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； (2){an}的前多少项和最大. 解：(1)法一(公式法)： 当n≥2时，an＝Sn－＝33n－n2－33(n－1)＋(n－1)2＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二(结构特征法)： 由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2， 所以an＝32＋(n－1)×(－2)＝34－2n. (2)法一(公式法)： 令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零，又a17＝0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大. 法二(函数性质法)： 由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝， 距离最近的整数为16，17. 由Sn＝－n2＋33n的图象可知：开口向下. 故数列{an}的前16项或前17项的和最大. [变式探究] 1.(变条件，变设问)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－11，a3＋a7＝－6”，求Sn的最小值. 解：由题设，知解得d＝2， 则Sn＝－11n＋×2＝n2－12n， 所以当n＝6时，Sn取得最小值，Sn的最小值为－36. 2.(一题多解)(变条件)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝25，S9＝S17”，求{an}的前多少项和最大及最大和的值. 解：法一：因为S9＝S17，a1＝25， 所以9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25＞0， 由 又因为n∈N*，所以当n＝13时，可得Sn有最大值169. 法三：因为S9＝S17，所以a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1＞0，所以d＜0.所以a13＞0，a14＜0. 同法一，求出公差d＝－2， 所以当n＝13时，可得Sn有最大值169. 法四：因为S9＝S17，所以二次函数对称轴为n＝＝13，且开口方向向下，同法一，求出公差d＝－2， 所以当n＝13时，Sn取得最大值169. 学生用书⬇第29页 3.(变条件)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝S10，S6＝Sk”，求k的值. 解：设等差数列{an}的公差为d. 因为等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n可看作是关于n的二次函数， 又S3＝S10，故对称轴方程为n＝＝. 又因为S6＝Sk，所以＝，解得k＝7. 求等差数列前n项和最值的方法 1.二次函数法：用求二次函数最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观. 2.邻项变号法：当a1＞0，d＜0，时，Sn取得最大值；当a1＜0，d＞0，时，Sn取得最小值. 对点练3.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n. (1)求数列的通项公式an； (2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是，请说明理由； (3)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值. 解：(1)当n＝1时，有a1＝S1＝－28. 当n≥2时，有an＝Sn－＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 又因为4×1－32＝－28，所以n＝1时an＝4n－32也成立， 因此数列的通项公式为an＝4n－32. (2)数列为等差数列，证明如下： 因为－an＝4(n＋1)－32－(4n－32)＝4， 所以{an}是等差数列. (3)法一：因为Sn＝2n2－30n＝2(n2－15n)＝2－， 又因为n是正整数，所以当n＝7或8时，Sn最小，最小值是2×72－30×7＝－112. 法二：由an＝4n－32可知数列{an}是递增的等差数列，而且首项a1＝－28＜0. 令an≤0，可得4n－32≤0，解得n≤8，而且a8＝0. 由此可知，n＝7或8时，Sn最小，最小值是＝－112. 任务三　等差数列前n项和的实际应用 (链教材P23例8)从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，以后每天售出的该款服装都比前一天多15件，直到4月12日销售量达到最大，然后每一天售出的该款服装都比前一天少9件. (1)记从4月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n，1≤n≤30，求an关于n的函数关系式； (2)求4月份该款服装的总销售量； (3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，该款服装在社会上就开始流行；当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则不再流行.试问该款服装在社会上流行是否超过10天？请说明理由. 解：(1)设从4月1日起该款服装日销售量构成数列. 由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列， 所以an＝10＋(n－1)×15＝15n－5(1≤n≤12，n∈N*). 而a13，a14，a15…，a30是首项为a13＝a12－9＝166，公差为－9的等差数列， 所以an＝166＋(n－13)×(－9)＝－9n＋283(13≤n≤30，n∈N*). 所以an＝ (2)4月份该款服装的总销售量为＋＝＋［18×166＋×(－9)］＝2 721(件). (3)4月1日至4月12日的销售总量＝＝1 110(件)＜1 200(件)， S13＝S12＋a13＝1 110＋166＝1 276(件)＞1 200(件)， 故4月13日起该款服装在社会上开始流行，且日销量不低于100件， 由－9n＋283＜100，得n＞. 故从4月21日开始该款服装在社会上不再流行，即该款服装在社会上流行没有超过10天. 学生用书⬇第30页 应用等差数列解决实际问题的一般思路 对点练4.(1)朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如象招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　) A.9 B.16 C.18 D.20 (2)(链教材P55T3(2))《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，设该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程.故选B. (2)设5个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为d，则＝a1＋a2，S5＝100 ，所以解得a1＝，d＝. 对点练5.某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1％.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 解：设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1 000×1％＝60(元)， a2＝50＋(1 000－50)×1％＝59.5(元)， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1％＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元. 由题知，20个月贷款还清. 由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝×20＝1 105(元)， 即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元). 任务 再现 1.等差数列前n项和的性质.2.等差数列前n项和的最值 方法 提炼 1.等差数列前n项和的性质：简化运算，整体代换思想.2.等差数列前n项和的最值：二次函数法、邻项变号法、性质法、数形结合思想.3. 解决等差数列前n项和实际应用问题的思路：建模、解模、还原 易错 警示 1.对性质不熟导致运算繁琐.2.由于n取正整数，所以Sn取得最大或最小值时的n不一定在顶点处取到最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取正整数的点处取到最值 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　) A.63 B.45 C.36 D.27 答案：B 解析：由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9＝3S6－3S3，又S3＝9，S6＝36，所以S9＝3×36－3×9＝81，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝81－36＝45.故选B. 2.若数列{an}的通项公式为an＝45－3n，则该数列的前n项和取得最大值时，n＝(　　) A.13 B.14 C.13或14 D.14或15 答案：D 解析：由an＝45－3n＝0，得n＝15，又a1＝42，a2＞0，…，a14＞0，故n＝14，或15时，Sn取得最大值.故选D. 3.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于(　　) A.10 B.100 C.110 D.120 答案：B 解析：因为{an}是等差数列，a1＝1，所以＝1.又－＝2，所以的公差是1，所以＝1＋(10－1)×1＝10，所以S10＝100.故选B. 4.某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是　　　　. 答案：840 解析：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差d＝2的等差数列，且a10＝41，故a1＝a10－9d＝41－18＝23.由S20＝20a1＋×2＝840，因此，该报告厅座位总数为840. 学科网（北京）股份有限公司 $