进阶点6 概率、变量分布与其他知识的综合问题(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦概率与数列、函数的综合问题，依据高考评价体系梳理了递推概率模型、马尔可夫链应用、正态分布等核心考点，通过教材母题研析和2023新课标Ⅰ卷真题分析，明确概率递推公式构造、等比数列转化等高频考查方向，构建了系统的解题思路。 课件亮点在于“真题引领+方法提炼+变式训练”的备考模式，如以2023新课标Ⅰ卷投篮概率题为例，详解通过全概率公式建立递推关系、构造等比数列求通项的技巧，培养学生的数学思维和数学语言表达能力。特设易错点分析和模型应用指导，帮助学生掌握答题规律，教师可借此精准突破高考难点，提升复习效率。

6　概率、变量分布与其他知识的综合问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 把握高考微点，实现素能提升，完成微练（二十一） 类型一　与数列结合的概率问题—— 教材·研析 例1　(人教A版选择性必修第三册P91第10题)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率． 记第n次传球后球在甲手中的概率为pn ，则第(n－1)次传球后球在甲手中的概率为pn－1.开始时球在甲手中，则p1＝0.若第n次传球后球在甲手中，则第(n－1)次传球后，球不在甲手中，则第(n－1)次传球后球在乙或丙手中，所以第(n－1)次传球后球不在甲手中的概率为1－pn－1，又乙或丙将球传到甲手中的概率均为，故pn＝(1－pn－1)，即pn＝－pn－1＋，则pn－＝－(pn－1－)，n≥2 ，n∈N*，所以数列{pn－}是首项为p1－＝－，公比为－的等比数列，所以pn－＝－×，即pn＝－×＋(n∈N*). 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其数学定义为：假设我们的序列状态是X1，…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态的概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt＋1|X1，…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt).马尔科夫链模型的本质是下一步的概率仅与上一步的概率有关，解该模型的关键是写出概率的递推公式，利用数学递推公式求出通项公式． 真题·链接 真题　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； 记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)求第i次投篮的人是甲的概率； 设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，则当i≥2时，P(Ai)＝P(Ai－1Ai)＋P(Bi－1Ai)＝P(Ai－1)P(Ai|Ai－1)＋P(Bi－1)P(Ai|Bi－1)，即pi＝0.6pi－1＋(1－0.8)×(1－pi－1)＝0.4pi－1＋0.2＝pi－1＋，构造等比数列{pi＋λ}，设pi＋λ＝(pi－1＋λ)，解得λ＝－，则pi－＝(pi－1－)，又p1＝，p1－＝，所以是首项为，公比为的等比数列，即pi－＝×i-1，pi＝×i-1＋，i∈N*. (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(i)＝i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y). 因为pi＝×()i-1＋，i∈N*，所以当n∈N*时，E(Y)＝p1＋p2＋…＋pn＝×＋＝[1－()n]＋，故E(Y)＝[1－()n]＋. 　创新·变式 变式1　(2025·河南模拟)张某经营A，B两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去A公司的概率是.如果本月去A公司，那么下个月继续去A公司的概率为；如果本月去B公司，那么下个月去A公司的概率为，如此往复．设张某第n个月去A公司的概率为Pn，则P10＝ (　　) A．＋×(－)9 B．＋×(－)9 C．＋×()10 D．＋×(－)10 设An表示第n个月去A公司，则Pn＝P(An)，P(n)＝1－Pn，根据题意，得P(An＋1|An)＝，P(An＋1|n)＝，由全概率公式，得P(An＋1)＝P(An)P(An＋1|An)＋P(n)P(An＋1|n)＝Pn＋(1－Pn)＝－Pn＋，即Pn＋1＝－Pn＋，整理得Pn＋1－＝－(Pn－)，又P1－＝－＝≠0，所以{Pn－}是以为首项，－为公比的等比数列，所以Pn＝＋×(－)n-1，则P10＝＋×(－)9.故选A. 变式2　某学校有A，B两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐．已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去A餐厅的条件下，后一天继续选择A餐厅的概率为；而在前一天选择去B餐厅的条件下，后一天继续选择去B餐厅的概率为，如此往复． (1)求该同学第一天和第二天都选择去A餐厅用晚餐的概率； 记事件Ak：该同学第k(k＝1，2)天去A餐厅，则P(A1)＝P(1)＝，P(A2|A1)＝，P(2|1)＝，由概率乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝×＝. (2)求该同学第二天选择去A餐厅用晚餐的概率； 由对立事件的概率公式可得P(A2|1)＝1－P(2|1)＝1－＝，由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＋P(1)·P(A2|1)＝×＋×＝. (3)记该同学第n天选择去A餐厅用晚餐的概率为Pn，求{Pn}的通项公式． 记事件An：该同学第n(n∈N*)天去A餐厅，则Pn＝P(An)，由题意可知，P(An|An－1)＝，P(An|n－1)＝1－P(n|n－1)＝1－＝(n≥2，n∈N*)，由全概率公式可得P(An)＝P(An－1)·P(An|An－1)＋P(n－1)·P(An|n－1)(n≥2，n∈N*)，即Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)＝－Pn－1＋，则Pn－＝－(Pn－1－)，所以，数列{Pn－}是以P1－＝为首项，公比为－的等比数列，所以Pn－＝(－)n-1，故Pn＝＋(－)n-1. 类型二　与函数相关的概率问题 例2　为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试)，共有4万名学生参加初试．组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求a的值及样本平均数的估计值； 因为10×(0.012＋0.026＋0.032＋a＋0.010)＝1，所以a＝0.02.样本平均数的估计值为50×0.12＋60×0.26＋70×0.32＋80×0.2＋90×0.1＝69. (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ＝10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； 因为μ＝69，σ＝10.5，所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈＝0.022 75.所以能参加复试的人数约为40 000×0.022 75＝910(人). (3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x，答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为p，求概率p的最小值． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 由题意有x2y＝.答对两道题的概率p＝x2(1－y)＋Cx(1－x)y＝x2＋2xy－3x2y.而x2y＝，所以p＝x2＋－.令f(x)＝x2＋－(0<x≤1)，则f′(x)＝2x－＝，所以当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)在(0，)内单调递减；x∈(，1)时，f′(x)>0，f(x)在(，1)内单调递增．所以当x＝时，f(x)min＝.故概率p的最小值为. 训练　现有甲、乙两人进行围棋比赛，规则如下：在前四局比赛中，每局比赛获胜者得50分，负者得0分，在第五局比赛中，获胜者得100分，负者得0分；当一方比另一方多100分时，比赛结束，多得100分者获胜．已知每局比赛中，甲获胜的概率为p(0<p<1)，比赛没有平局，每局比赛的结果互不影响． (1)当p＝时，求比赛两局结束的概率； 比赛两局结束的概率为()2＋(1－)2＝. (2)设X为比赛结束时的局数，求X的分布列与数学期望E(X)的最大值． 由题意可知，X的所有可能取值为2，4，5，则P(X＝2)＝p2＋(1－p)2，P(X＝4)＝[p(1－p)＋(1－p)p]p2＋[p(1－p)＋(1－p)p](1－p)2＝2p(1－p)[p2＋(1－p)2]，P(X＝5)＝2p(1－p)p(1－p)＋2(1－p)p(1－p)p＝4p2(1－p)2，所以X的分布列为 X 2 4 5 P p2＋(1－p)2 2p(1－p)[p2＋(1－p)2] 4p2(1－p)2 所以E(X)＝2[p2＋(1－p)2]＋4×2p(1－p)[p2＋(1－p)2]＋5×4p2(1－p)2＝2[1－2p(1－p)]＋8p(1－p)[1－2p(1－p)]＋20p2(1－p)2＝4p2(1－p)2＋4p(1－p)＋2.令t＝p(1－p)，则t≤[]2＝，所以0<t≤，当且仅当p＝1－p，即p＝时取等号．设f(t)＝4t2＋4t＋2(0<t≤)，则f(t)＝(2t＋1)2＋1≤(2×＋1)2＋1＝，因此E(X)≤，故数学期望E(X)的最大值为. $