课时测评15 与球有关的“切”“接”问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评15　与球有关的“切”“接”问题 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设正方体的棱长为a，则其体对角线长为a，设球的半径为r，则4πr2＝4π，r＝1，所以a＝2r＝2，a＝＝.故选B． 2．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　) A．6π B．12π C．8π D．16π 答案：D 解析：由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为，圆锥的高为1．设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝|R－1|，R2＝O1O 2＋r2＝(R－1)2＋()2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π. 3．直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为(　　) A． B．4π C． D．16π 答案：C 解析：设三棱柱外接球的球心为O，半径为r，三棱柱的底面△ABC的中心为D，如图，则OA＝r，因为三棱柱的高为2，所以OD＝1，又在正△ABC中，AB＝3，可得AD＝，所以在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，有r2＝12＋，所以r＝2，则这个三棱柱的外接球的体积为V＝×r3＝. 4．已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的表面积为S，则S的最小值为(　　) A．3π B．4π C．6π D．9π 答案：B 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，可得圆柱的侧面积为2π＝2πrh，所以rh＝1，圆柱的外接球的半径为，外接球的表面积为4π＝π≥2π＝4π，当且仅当r＝，h＝时，外接球的表面积取得最小值4π.故选B． 5．在正三棱锥P-ABC中，AB＝2，正三棱锥P-ABC的体积是4，则正三棱锥P-ABC外接球的表面积是(　　) A．5π B．15π C．25π D．35π 答案：C 解析：因为正三棱锥P-ABC中，AB＝2，所以S△ABC＝×2×2×sin 60°＝3，过P作PN⊥平面ABC，则N为△ABC的中心，连接AN并延长交BC于M，则M为BC的中点，可求得AN＝2，易知正三棱锥P-ABC外接球的球心O在PN上，因为正三棱锥P-ABC的体积是4，所以×S△ABC×PN＝4，所以PN＝4，设外接球的半径为r，由题意得r2＝＋22，解得r＝，所以外接球的表面积S＝4πr2＝4π×＝25π，故选C． 6．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表面积的比值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设内切球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R，作圆锥的轴截面如图所示，设球心为点O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝r，AO＝AH－OH＝2r，sin ∠OAM＝＝，所以∠OAM＝30°，所以R＝AH tan ∠OAM＝r，则AB＝2R＝2r，则圆锥的侧面积为S1＝πR·2R＝π×r×2r＝6πr2，球O的表面积为S2＝4πr2，因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为＝＝. 7．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为________． 答案：16π 解析：取PC的中点O(图略)，因为△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°，所以OA＝PC，同理OB＝PC，即OA＝OB＝OP＝OC，即点O到点P，A，B，C四点的距离相等，所以O为外接球的球心，PC＝＝4，所以三棱锥P-ABC外接球的半径R＝PC＝2，所以S球＝4πR2＝16π. 8．正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D在同一个球面上，则此球的体积为________． 答案： 解析：如图，设正四棱锥的底面中心为O1，所以SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，所以△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径．在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2．所以△ASC是以AC为斜边的直角三角形．所以＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径．故V球＝. 9．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为________． 答案：16π 解析：如图，设圆柱底面半径为r，球的半径与圆柱底面夹角为∠OMN＝α，则MN＝r＝R·cos α＝4cos α，ON＝R·sin α＝4sin α，所以圆柱的高h＝8sin α，所以圆柱的侧面积为S＝2π·r·h＝32π·sin 2α，当且仅当α＝时，sin 2α＝1，圆柱的侧面积最大，为32π.故球的表面积与圆柱的表面积之差为4πR2－2πrh－2πr2＝64π－32π－16π＝16π. 10．(10分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体AEFG外接球的表面积为，求正方形ABCD的边长． 解：由题意，折叠后的四面体AEFG如图所示， 设正方形边长为a，四面体AEFG外接球的半径为r， 则AG＝a，EG＝FG＝， 易知在折叠后的四面体AEFG中，GA，GE，GF两两垂直， 所以四面体AEFG的外接球半径 r＝ ＝a， 由4πr2＝，解得r＝， 所以a＝r＝×＝， 即正方形ABCD的边长为. (11—13每小题5分，共15分) 11．在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A．2π B．4π C．6π D．8π 答案：C 解析：如图所示，该四面体的顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a，b，c，则三式相加得a2＋b2＋c2＝6，所以该四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长，即R＝＝，故外接球的表面积为4πR2＝6π. 12．(多选)正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P-ABCD的体积为(　　) A． B． C．2 D． 答案：AB 解析：因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3，所以底面边长为，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O(图略).①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋＝＋ ＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×＝；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－＝－ ＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×＝. 13．在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________． 答案：π 解析：设球的半径为R，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10．当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有×R＝×6×8，此时R＝2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝.所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V＝π＝. 14．(11分)一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积；(5分) (2)圆锥内切球的体积．(6分) 解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB． 设圆O的半径为R，则有πR3＝972π， 所以R＝9，SE＝2R＝18． 因为SD＝16，所以ED＝2． 连接AE，又SE是圆O的直径， 所以SA⊥AE， 所以SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12. 因为AB⊥SD，D为AB中点， 所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4， 所以S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π. (2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r， 因为△SAB的周长为2×＝32， 所以r×32＝×8×16，解得r＝4． 故圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π. 15．(5分)已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为________． 答案： 解析：设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，则2r＝2，解得r＝1．设所求的小正方体的棱长为a，当小正方体的体积最大时，有3a2＝，所以a＝＝，所以小正方体体积的最大值为a3＝＝. 16．(14分)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝，AB＝2，A1B1＝1，求： (1)四棱台的表面积；(6分) (2)四棱台外接球的体积．(8分) 解：(1)在等腰梯形DCC1D1中，过点C1作C1H⊥DC，垂足为H， 易得CH＝，C1H＝， 则四棱台的表面积S＝S上底＋S下底＋S侧＝1＋4＋4××＝5＋3. (2)如图，将该四棱台补成四棱锥S-ABCD，连接AC，BD交于点O， A1C1，B1D1交于点O1，连接SO， 由题意及棱台的结构特征可知，O1在线段SO上． 因为AB＝2，A1B1＝1， 所以△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2， 所以SA＝2AA1＝2，AO＝， 故SO＝，OO1＝， 即该四棱台的高为. 由于四棱台的上、下底面都是正方形， 则该四棱台外接球的球心在OO1上，连接OB1，在四边形B1BOO1中，OO1＝，B1O1＝， 则OB1＝＝OB， 即点O到点B的距离与点O到点B1的距离相等， 同理点O到点A，A1，C，C1，D，D1的距离均为， 所以O为该四棱台外接球的球心，且外接球的半径r＝， 故该四棱台外接球的体积V＝πr3＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $