课时测评4 解三角形的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评4　解三角形的综合问题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC为(　　) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：A 解析：因为向量m，n共线，所以a cos ＝b cos ，由正弦定理得sin A cos ＝sin B cos ，所以2sin cos cos ＝2sin cos cos .因为cos ≠0，cos ≠0，所以sin ＝sin .因为0<<，0<<，所以＝，即A＝B，同理可得B＝C，所以△ABC为等边三角形．故选A． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝(　　) A． B． C．2 D．3 答案：A 解析：因为b2＋c2－a2＝bc，所以cos ∠BAC＝＝，因为B＝，所以∠BAC∈，所以∠BAC＝，所以C＝，所以＝，所以c＝×＝2．因为AE平分∠BAC， 所以∠BAE＝∠BAC＝，所以∠AEB＝π－－＝，所以＝，所以AE＝＝×sin ＝×＝. 3．已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2b cos B，则AC边上的中线长为(　　) A． B．3 C． D．4 答案：C 解析：由题意结合正弦定理得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2(负值舍去)，即a＝b＝2，c＝2b cos B＝2.设AC边的中点为D，则＝(＋)，因此||＝＝＝＝.故选C． 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB＝(　　) A．－ B． C． D．± 答案：B 解析：因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3．因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4．在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠ADB＝.因为b>c，所以B>C．又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos ∠ADB＝.故选B． 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则(　　) A．A＝ B．C＝ C．B＝ D．C＝ 答案：ACD 解析：因为m⊥n，所以m·n＝cos A－sin A＝0，即tan A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.因为a cos B＋b cos A＝c sin C，所以根据正弦定理可得sin Acos B＋sin B cos A＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C，又sin(A＋B)＝sin C，所以sin C＝sin2C．因为sinC≠0，所以sin C＝1，所以C＝，所以B＝π－A－C＝.故选ACD． 6．(多选)在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos ∠BAC＝，以下结论正确的是(　　) A．AB＝8 B．＝ C．AB＝6 D．△ABD的面积为 答案：BCD 解析：如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos2α－1＝，且0<α<，所以cosα＝，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝AD cos α＝，在Rt△ACB中，AB＝＝×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理，＝＝×＝，故B正确；因为cos α＝，且0<α<，所以sin α＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin α＝×6×＝，故D正确．故选BCD． 7．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 答案： 解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝.在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ＝3．因此AD＝. 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，则＝________，角C的最大值为________． 答案：2　 解析：因为2sinA sin B cos C＝sin2C，所以2ab cosC＝c2⇒a2＋b2－c2＝c2⇒＝2，所以cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号．因为0<C<π，所以0<C≤，即角C的最大值为. 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝6，1≤b≤4，则sin A的取值范围为________． 答案： 解析：因为C＝，a＝6，1≤b≤4，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝(b－3)2＋27，所以c2＝(b－3)2＋27∈[27，31]，所以c∈[3，]，所以由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈. 10．(10分)设f(x)＝sin x cos x－cos2，x∈R. (1)求f(x)的单调递增区间；(5分) (2)在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．(5分) 解：(1)f(x)＝sinx cos x－cos2，x∈R. 化简可得，f(x)＝sin2x－－cos ＝sin 2x＋sin 2x－＝sin 2x－， 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z. (2)由f＝0，即sin A－＝0， 可得sin A＝，因为0<A<，所以cos A＝. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 可得1＋bc＝b2＋c2． 因为b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立， 所以1＋bc≥2bc，所以bc≤2＋. 所以△ABC的面积为S＝bc sin A≤. 故△ABC面积的最大值为. (11—13每小题5分，共15分) 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为(　　) A．8 B．6 C．3 D．4 答案：D 解析：因为BC边上的高为a，所以S△ABC＝a×a＝bc sin A，所以a2＝2bc sin A，由余弦定理得2bc sin A＝b2＋c2－2bc cos A，整理得＝2sin A＋2cos A，即＋＝4sin.因为A∈(0，π)，所以A＋∈，所以当A＋＝，即A＝时，4sin 有最大值，且最大值为4．所以＋的最大值为4． 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 解析：设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6x cos θ　①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18x cos θ　②，联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc(当且仅当3b＝c时，等号成立)，所以bc≤16，所以S△ABC＝bc sin ≤×16×＝4.故选B． 13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc，a＝，则b＋c的取值范围是________． 答案：(，2] 解析：因为b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理的推论得cos A＝＝＝.由A∈(0，π)，可得A＝.因为由正弦定理得＝＝＝＝2，所以b＋c＝2sin B＋2sin C＝2sin B＋2sin ＝2sin B＋2＝3sin B＋cos B＝2sin .因为B＋C＝，所以B∈，可得B＋∈，所以sin ∈，所以b＋c＝2sin ∈(，2]. 14．(11分)如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝，CD＝，△ACD的面积为. (1)求AC的长；(5分) (2)若AB⊥AD，∠B＝.求BC的长．(6分) 解：(1)因为∠D＝，CD＝，△ACD的面积为， 所以S△ACD＝AD·CD·sin D＝×AD××＝，所以AD＝， 所以由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6×＝18， 所以AC＝3. (2)由(1)知，在△ACD中，AD＝，CD＝，∠D＝，所以∠DAC＝， 因为AB⊥AD，所以∠BAC＝. 又因为∠B＝，AC＝3， 所以在△ABC中，由正弦定理，得＝， 即＝，所以BC＝3. 15．(5分)(多选)如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a cos C＋c cos A)＝2b·sin B，∠CAB＝，若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列说法正确的是(　　) A．B＝ B．∠ACB＝ C．四边形ABCD面积的最大值为＋3 D．四边形ABCD的面积无最大值 答案：ABC 解析：因为(a cos C＋c cos A)＝2b sin B，所以由正弦定理可得(sin A cos C＋sin C cos A)＝2sin2B，所以sin(A＋C)＝2sin2B，所以sinB＝2sin2B．又因为sinB≠0，所以sin B＝.因为∠CAB＝，所以B∈，所以B＝，所以∠ACB＝π－∠CAB－B＝，因此A，B正确．S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin ∠ADC＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC)＋AD·DC·sin ∠ADC＝×(9＋1－6cos ∠ADC)＋×3×1×sin ∠ADC＝＋3sin ≤＋3，当且仅当∠ADC－＝，即∠ADC＝时，等号成立，因此C正确，D错误．故选ABC． 16．(14分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin sin ＝－. (1)求角A的大小；(6分) (2)若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围．(8分) 解：(1)因为sin (A－)sin (A＋)＝－， 所以＝－，即sin A cos A－sin2A－cos2A＝－， 所以sin2A－(1－cos 2A)－(1＋cos 2A)＝－，整理可得sin 2A＋cos 2A＝， 所以可得sin ＝， 因为A∈(0，π)，可得2A＋∈， 所以2A＋＝，可得A＝. (2)由正弦定理＝＝，且a＝1，A＝， 所以b＝sin B，c＝sin C， 所以a＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)＝1＋·＝1＋2sin. 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得<B<，所以<B＋<， 所以1＋2sin∈(1＋，3]， 即△ABC周长的取值范围是(1＋，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $