专题 8.9 实数（单元培优卷）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.9 实数（单元培优卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）在实数：，，，，（小数点后每个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·河南开封·期中）若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 7．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·浙江·月考）在 与 之间有（   ）个立方数 A．9 B．10 C．57 D．58 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则 ． 12．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 13．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）的平方根是，的立方根是2，则 ． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的值是 ． (结果用含字母 的代数式表示) 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 16．（25-26七年级下·全国·周测）比较大小： （填“＞”或“＜”）． 17．（24-25七年级下·全国·周测）已知，则实数x的值为 ． 18．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏盐城·期末）计算： (1) (2) 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知某个数的平方根是和，且的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的立方根并判断其与的大小关系． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 23. （本小题满分10分）（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 24. （本小题满分12分）（20-21七年级下·山东德州·期中）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： （1）探索定义：填写下表： x4 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： （2）探究性质 ①1的四次方根是　 　； ②16的四次方根是　 　； ③的四次方根是　 　； ④12的四次方根是　 　； ⑤0的四次方根是　 　； ⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　． （3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.9 实数（单元培优卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）在实数：，，，，（小数点后每个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，掌握无理数的判定方法是解题关键． 根据无理数的定义依次判断所给实数是否为无理数，统计个数后选出答案． 解：无理数指无限不循环小数， 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； （小数点后每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数． 则无理数有个． 故选：． 2．（25-26八年级上·河南开封·期中）若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求平方根，有理数的乘方运算． 根据算术平方根的非负性，平方的非负性求出x和y的值，再计算并求其平方根即可 解：∵且，且， ∴且， ∴，， 即，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和绝对值的定义，直接计算每个等式的值，判断是否正确. 解：A、∵ ， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； B、∵ ，， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵ ，， ∴ ， 故该选项说法正确，符合题意； D、∵ ， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根及有理数乘方的计算，根据各运算的定义与性质逐项判断选项正误即可． 对于A，表示16的平方根，16的平方根为，故A正确，不符合题意； 对于B，，故B错误，符合题意； 对于C，，故C正确，不符合题意； 对于D，，故D正确，不符合题意． 故选：B． 5．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根与算术平方根，实数的运算，熟练掌握会求一个数的平方根与算术平方根是解题的关键． 根据实数的运算法则，以及平方根与算术平方根定义逐项计算判断即可． 解：A、，计算正确，故此选项符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 解：∵， ∴． 故选：C． 7．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 8．（24-25八年级下·浙江·月考）在 与 之间有（   ）个立方数 A．9 B．10 C．57 D．58 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方数的概念，指数运算，立方根的概念，理解相关概念并估算立方数在给定范围内的个数是解题关键． 先确定与的范围，设某个整数的立方在这个范围内，推出，即可求解． 解：，， 且立方数是可表示为某个整数的三次幂的数， 设某个整数的立方在这个范围内， ， ， ， ， 的取值范围为， ． 故选：D． 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键． 通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 解：∵， …… ∴， ∴ ． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查平方根定义和性质，根据平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，可得和互为相反数，再根据互为相反数的两个数和为0，求得m的值，再得出的值，从而得出x的值. 解：∵正数x的两个不同的平方根是和 ∴和互为相反数 ∴ 解得 则 ∴. 故答案为25. 12．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方运算． 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入表达式计算即可． 解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）的平方根是，的立方根是2，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可． 解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得， 则． 故答案为：13． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的值是 ． (结果用含字母 的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动1位． 根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 解：∵， ∴ ． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小． 分别估算三个数的大小，即可得到答案． 解：，，， 被墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 16．（25-26七年级下·全国·周测）比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握分母相同的分数，比较分子大小即可，结合无理数的估算判断分子的大小是解题的关键． 因为分母相同，故可通过比较分子的大小来比较两个分数的大小． 解：∵分母相同， ∴比较分子和． ， ∴， ． 故答案为：＞． 17．（24-25七年级下·全国·周测）已知，则实数x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的计算，绝对值方程的解法，掌握若，则或是解题的关键． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解． 解：由绝对值的性质，可得 或． 解这两个方程，得或． 故答案为：或． 18．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可. （1）解：， ， ， 解得或； （2）解：， ， 解得：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏盐城·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用零次幂的意义和算术平方根的定义计算，再算加法即可； （2）先利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，立方根的定义计算，再算加减即可． （1）解：原式． （2）解：原式． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知某个数的平方根是和，且的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的立方根并判断其与的大小关系． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由平方根定义及算术平方根定义列式求解即可得到答案； （2）由（1）知，，代入求值后计算立方根，再比较与的大小关系即可得到答案． （1）解：某个数的平方根是和， ， 解得； 的算术平方根是， ， 解得； （2）解：由（1）知，， ， 则的立方根是， ， ． 【点睛】本题考查平方根定义、算术平方根定义、立方根定义、解一元一次方程、比较数的大小等知识，熟记相关概念是解决问题的关键． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出，，，即可得出答案； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义求解即可． （1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 23. （本小题满分10分）（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； （1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 24. （本小题满分12分）（20-21七年级下·山东德州·期中）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： （1）探索定义：填写下表： x4 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： （2）探究性质 ①1的四次方根是　 　； ②16的四次方根是　 　； ③的四次方根是　 　； ④12的四次方根是　 　； ⑤0的四次方根是　 　； ⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　． （3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　． 【答案】（1）见解析；（2）①1；②2；③；④；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．（3）类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【分析】（1）计算即可求解； （2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根． （3）用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 解：（1）填写表格如下： x4 1 16 81 x 1 2 3 （2）①1的四次方根是：1； ②16的四次方根是：2； ③的四次方根是：； ④12的四次方根是：； ⑤0的四次方根是：0； ⑥﹣625没有四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根． （3）拓展应用： 在探索过程中，用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握方根的意义．依据意义正确的计算是重要的环节． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $