专题 8.7 实数（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.7 实数（全章知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】平方根与立方根 1 ★【题型 1】平方根与立方根概念的理解 2 ★【题型 2】求一个数的平方根与立方根 3 ★【题型 3】已知一个数的平方根或立方根，求这个数 6 ★★【题型 4】利用平方根与立方根性质进行运算 8 【知识点二】实数的分类 10 ★【题型 5】实数的分类 10 【知识点三】实数与数轴上的点一一对应 12 ★★【题型 6】实数与数轴 12 【知识点四】实数的三个非负性及性质 14 ★【题型 7】利用实数的非负性求值 14 【知识点五】实数的运算 16 ★★【题型 8】实数的运算 16 【知识点六】实数的大小比较 18 ★【题型 9】实数的大小比较 18 二.综合培优题型精析 20 ★★★【题型 10】与实数有关的新定义问题 20 ★★★【题型 11】与实数有关的规律问题探究 23 三.中考真题 26 （一）选择题（6题） 26 （二）填空题（6题） 29 （三）解答题（3题） 31 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】平方根与立方根 平方根、立方根定义、性质、重要结论 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根。 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。 重要结论 ★【题型 1】平方根与立方根概念的理解 【例题1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 【变式1】（2025九年级上·重庆·专题练习）下列命题是真命题的是（   ） A．平方根等于它本身的数是 B．立方根等于它本身的数是和 C．倒数等于它本身的数是 D．绝对值等于它本身的数是正数 【答案】A 【分析】本题考查了判断命题真假，根据平方根、立方根、倒数和绝对值的性质逐一判断命题是否成立，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、平方根等于它本身的数是，该命题是真命题，符合题意； 、立方根等于它本身的数是和，该命题是假命题，不符合题意； 、倒数等于它本身的数是，该命题是假命题，不符合题意； 、绝对值等于它本身的数是和正数，该命题是假命题，不符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是 ．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】①② 【分析】本题考查平方根定义、立方根定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据平方根和立方根的定义及性质进行判断；负数没有实数平方根；负数的立方根是负数；平方根等于它本身的数只有0；从而确定答案． 解：①由任何实数的平方均为非负数，即可判断①正确； ②由负数的立方是负数，即可判断②正确； ③的平方根是；的平方根是，即可判断③错误； 综上所述，正确的是①②， 故答案为：①②． 【变式3】（24-25八年级上·北京丰台·期中）下列说法正确的是 ． ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】① 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据平方根的定义和立方根的定义即可求解． 解：负数没有平方根，则①正确； 一个实数的立方根不是正数就是负数或0，则②错误； 负数没有平方根，则③错误； 平方根等于它本身的数是0，则④错误； 综上，正确的是①． 故答案为：①． ★【题型 2】求一个数的平方根与立方根 【例题2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求x的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，熟记定义是解题的关键． （1）整理后，运用平方根的定义求解即可； （2）整理后，运用立方根的定义求解即可． （1）解：， 化简得， 开平方得， 解得或； （2）解：， 化简得， 开立方得． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根以及算术平方根的定义．分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项． 解：A、是25的平方根，说法正确，该选项不符合题意； B．，则的算术平方根是2，说法正确，该选项不符合题意； C、的平方根是，故原说法错误，该选项符合题意； D、，说法正确，该选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值，求一个数的立方根，化简多重符号等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据相反数的定义，即绝对值相等且符号相反的两个数互为相反数，需分别计算各选项中的数，再根据定义判断． 解：，3和3相等，不是相反数， 故A不符合； ，，两数相等，不是相反数， 故B不符合； ∵，， 与互为相反数， ∴和互为相反数， 故C符合； 和绝对值不相等，不是相反数， 故D不符合， 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 【答案】（1）4或，（2） 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的相关概念及运算． （1）先计算的值，再由得出n的值，确定m和n的可能取值，再枚举所有m和n的组合，分别计算的结果； （2）先根据立方根的定义求出a的值，再计算的值，求其算术平方根得到b的值，进而计算的值，最后求得的立方根． 解：（1）∵，， ∴，， 当，时，； 当，时，， ∴的值为4或； （2）∵a是的立方根，b是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴． ★【题型 3】已知一个数的平方根或立方根，求这个数 【例题4】（25-26八年级上·四川乐山·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根定义，立方根定义，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义． （1）根据立方根和算术平方根定义列出方程组，解方程组即可； （2）先求出的值，然后再求出其平方根即可． （1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴． ∴的平方根是． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是 ． 【答案】或1 【分析】设非零实数为 ，根据立方根的定义列出方程 ，通过立方运算和解方程求解． 本题考查了立方根，熟练掌握立方根的相关计算是解题的关键． 解：设这个非零实数为 ，则 ． 两边立方得 ，即 ． 因式分解得 ． 由于 ， 所以 或 ， 解得 或 ． 经检验， 和 都满足题意． 故答案为 1 或 ． 【变式2】（25-26八年级上·山西·月考）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解即可． 解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，根据题意得： ， 即， 解得， 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合的算术平方根是，得，解得，因为的立方根是，得，解得，即可作答． （2）直接把，代入计算，得出平方根，即可作答． （1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． ★★【题型 4】利用平方根与立方根性质进行运算 【例题4】（23-24七年级下·新疆博尔塔拉·期中）化简或计算： (1)+ (2) 【答案】(1)0.45 (2)9 【分析】（1）先根据算术平方根的性质化简，再计算，即可求解； （2）先根据立方根和算术平方根的性质化简，再计算，即可求解． （1）解：+ ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·广东云浮·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据平方根和立方根的意义化解，去绝对值，然后计算加减即可； （2）根据立方根的意义解方程即可． （1） ； （2） 解得． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的意义的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【变式2】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘方，算术平方根，立方根的性质计算． （2）根据有理数的乘方，算术平方根，立方根，绝对值的性质化简计算． （1）解： ． （2）解：． ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，算术平方根，立方根，绝对值，熟练掌握相关计算方法是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根和立方根的含义，实数的混合运算；掌握运算法则是解本题的关键. （1）先根据算术平方根和立方根化简各项，再计算即可； （2）先根据算术平方根和立方根化简各项，再计算即可． （1）原式； （2）原式． 【知识点二】实数的分类 有理数和无理数统称为实数. 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 ★【题型 5】实数的分类 【例题5】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A．1 B． C．1.7 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数或不能表示为分数形式的实数， 据此判断各选项即可． 解：A、1是整数，属于有理数； B、是无限不循环小数，属于无理数； C、1.7可化为分数，属于有理数； D、 是整数，属于有理数； 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）下列各组数中都是无理数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，解此题需掌握无理数的定义．无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此判断即可． 解：A、是有理数，，是无理数，不符合题意； B、，，都是无理数，符合题意；     C、，，是有理数，是无理数，不符合题意； D、，是有理数，，是无理数，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在，，，，这几个数中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，关键是利用定义进行判断；根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数是否为无理数． 解：∵是有限小数，可以化为分数，因此是有理数； 是整数，因此是有理数； π 是无限不循环小数，不能表示为分数，因此是无理数； 是分数，因此是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，因此是无理数， ∴无理数有 个， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）在实数3.1259，，0.1020020002…（每两个2之间依次多一个0），0.1030030003，，，，，，中，无理数有个，有理数有个，非负实数有个，则 ． 【答案】 【分析】根据有理数、无理数和非负实数的定义，对每个实数进行判断，统计数量后计算表达式． 解：无理数有：（每两个2之间依次多一个0），，共3个，故． 有理数有：，共7个，故． 非负实数有：，，，，，，， ，共8个，故． 则． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数、无理数和非负实数的定义，解决本题的关键是熟练掌握这些定义. 【知识点三】实数与数轴上的点一一对应 实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. ★★【题型 6】实数与数轴 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，是的中点，线段，求点表示的数． 【答案】点表示的数是 【分析】本题考查了实数与数轴，正确地求出点表示的数是解题的关键． 先表示出点表示的数，再根据点是的中点进行求解即可． 解：点表示的数是，线段， 点表示的数是． 是的中点， 线段， 点表示的数是． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在数轴上，点A表示实数a，则下列各式中结果小于1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，相反数的含义，绝对值的含义，实数的加减运算，掌握以上基础知识是解本题的关键．由题意得：再利用相反数与绝对值的含义，实数的加减运算逐一分析判断即可． 解：由题意得：， ，，，， ∴结果小于1的是，故C符合题意，A，B，D不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10，若点对应的数是，则点对应的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求算术平方根，数轴上两点间的距离． 先根据正方形面积求出边长的长度，再利用数轴上两点间的距离公式计算即可． 解：∵正方形的面积是10， ∴边长， ∵点对应的数是， ∴点对应的数是或 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上，B，C两点关于点A对称，A，B两点所对应的实数分别是和1．求点C所对应的实数． 【答案】点C所对应的实数是 【分析】本题主要考查了实数的运算，数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由，两点所对应的实数可求出的长度，再根据，两点关于点对称，可得到，设点所对应的实数是，根据两点间的距离公式列方程，求解即可得到答案． 解：，两点所对应的实数分别是，1， ． 又，两点关于点对称， ． 设点所对应的实数是， 则， 解得． 故点所对应的实数是． 【知识点四】实数的三个非负性及性质 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. ★【题型 7】利用实数的非负性求值 【例题7】（2025九年级下·贵州·专题练习）若，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查绝对值、算术平方根、偶次方的非负性．已知，得到，，，由此求出即可求解． 解：∵，，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根的概念，整体思想，解题的关键是掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0． 根据绝对值和平方的非负性列出方程组，根据整体思想求出的值，再根据平方根的概念解答即可． 解：， ①－②，得， 的平方根是． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，由列方程求出、的值，代入代数式，由乘方运算计算即可得到答案． 解：，且， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值非负性、算术平方根非负性、非负数和为零的条件、解方程、代数式求值、乘方运算等知识，熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·全国·月考）已知实数，，满足，求的值． 【答案】10 【分析】本题考查非负数的性质，包括算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，以及代数式的求值。通过分析方程中各项的非负性，得出每个部分均为零，从而求出未知数的值，再代入所求表达式计算. 解：由题意可得： 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质. 【知识点五】实数的运算 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. ★★【题型 8】实数的运算 【例题8】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的性质、算术平方根、立方根等知识点，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质、立方根、绝对值的定义计算，再根据有理数加、减法计算即可； （2）先根据绝对值的定义、算术平方根、立方根的性质计算，再根据有理数加、减法计算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过直接计算每个选项的左右值，判断等式是否成立，注意算术平方根和绝对值的性质． 本题考查了算术平方根、立方根、绝对值的性质，掌握算术平方根与立方根的计算规则、绝对值的化简方法是解题的关键． 解：A、∵=3，=2， ∴ =1，而≠1，故A错误，不符合题意； B、∵ ≈1.732 > 1， ∴ =，故B正确，符合题意； C、=3，而非±3，故C错误，不符合题意； D、== 9， ∴ =−9 ≠9，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山东德州·期中） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义及运算，熟练掌握这些数学概念的定义和性质是解题的关键．本题需要分别根据算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义，逐步化简式子中的各项，然后按照运算顺序进行计算． 解：原式 故答案为： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，正确计算是解题的关键． （1）先化简算术平方根，立方根，然后再计算加减即可； （2）先化简绝对值，去括号，立方根，然后再计算加减即可； （3）先化简算术平方根，立方根，然后再计算加减即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【知识点六】实数的大小比较 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. ★【题型 9】实数的大小比较 【例题9】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)和3． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握平方法比较正数大小和负数比较大小的规则是解题的关键． （1） 两个正数比较大小，可通过平方法，平方值大的原数更大．分别计算两数的平方，比较平方结果即可； （2） 两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，用平方法比较绝对值的大小，再根据负数比较规则判断原数大小． （1）解：，，， ． （2）解：，，， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先区分正数与负数，负数小于正数，再比较两个正数的大小即可确定最大数． 解：∵， ∴， ∵正数大于负数， ∴中，最大的数为； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）比较大小：7 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数大小比较，通过比较平方的大小来判断原数的大小即可 解：因为，，且， 所以， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列实数近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）． 【答案】数轴见解析， 【分析】此题考查了实数与数轴，比较实数的大小等知识，熟练掌握有理数的估算是关键． 把实数表示在数轴上，根据左边的数小于右边的数用“＜”连接即可． 解： 如图， 用“＜”连接如下： 二.综合培优题型精析 ★★★【题型 10】与实数有关的新定义问题 【例题10】请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． （1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 【变式1】（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4是解题的关键．根据题意，依次求出第1，2，3，4，…，次“F”运算的结果，发现规律即可解决问题． 解：由题意知， ∵， ∴第1次“F”运算的结果为3，第2次“F”运算的结果为10，第3次“F”运算的结果为5，第4次“F”运算的结果为16，第5次“F”运算的结果为1，第6次“F”运算的结果为4，第7次“F”运算的结果为1，……， 由此可知，从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4， ∵2025是奇数， ∴2025次“F”运算的结果为1． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）对于实数a，b，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据min的定义，由得，由得，故，结合a和b为两个连续正整数，且，求得，，再代入计算即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴，故， ∵a和b为两个连续正整数，且， ∴，，则，， 故． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． （1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． ★★★【题型 11】与实数有关的规律问题探究 【例题11】（22-23七年级下·四川南充·月考）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． （1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值∶① ；② ；③ ；④ ． 观察计算的结果，由发现的规律得出 (用含 的代数式表示)． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，规律探索，掌握二次根式的性质和化简方法，发现代数式所呈现的规律是正确解答的关键．先计算出四个代数式的值，发现规律后进行求解即可． 解：①， ②， ③， ④， ． 故答案为：． 【变式3】（22-23八年级上·河南南阳·月考）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【答案】(1)3，0.5，6，0，， (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) (4) 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． （1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 三.中考真题 （一）选择题（6题） 1．（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较实数大小，无理数的估算，掌握比较实数大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键，根据比较实数大小的法则求解即可． 解：负数小于0，0小于正数， ， 又，，且， ， ， 最大的是， 故选：． 2．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数． 计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是． 解：∵表示4的算术平方根，且， ∴． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 3．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 4．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 5．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 6．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． （二）填空题（6题） 7．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的定义，关键是理解算术平方根为非负的平方根，即若()，则是的算术平方根． 解：，且， 的算术平方根是． 故答案为：2． 8．（2023·浙江宁波·中考真题）的立方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 9．（2025·浙江·中考真题）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 解：， 故答案为：2． 10．（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以2的算术平方根即为所求． 解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为． 故答案为： 11．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 解：观察数轴，得，且， ∴ 即， 故答案为：<． 12．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． （三）解答题（3题） 13．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可． 解：原式． 14．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 15．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.7 实数（全章知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】平方根与立方根 2 ★【题型 1】平方根与立方根概念的理解 2 ★【题型 2】求一个数的平方根与立方根 2 ★【题型 3】已知一个数的平方根或立方根，求这个数 3 ★★【题型 4】利用平方根与立方根性质进行运算 3 【知识点二】实数的分类 4 ★【题型 5】实数的分类 4 【知识点三】实数与数轴上的点一一对应 4 ★★【题型 6】实数与数轴 4 【知识点四】实数的三个非负性及性质 5 ★【题型 7】利用实数的非负性求值 5 【知识点五】实数的运算 6 ★★【题型 8】实数的运算 6 【知识点六】实数的大小比较 6 ★【题型 9】实数的大小比较 6 二.综合培优题型精析 7 ★★★【题型 10】与实数有关的新定义问题 7 ★★★【题型 11】与实数有关的规律问题探究 8 三.中考真题 9 （一）选择题（6题） 9 （二）填空题（6题） 10 （三）解答题（3题） 10 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】平方根与立方根 平方根、立方根定义、性质、重要结论 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根。 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。 重要结论 ★【题型 1】平方根与立方根概念的理解 【例题1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【变式1】（2025九年级上·重庆·专题练习）下列命题是真命题的是（   ） A．平方根等于它本身的数是 B．立方根等于它本身的数是和 C．倒数等于它本身的数是 D．绝对值等于它本身的数是正数 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是 ．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 【变式3】（24-25八年级上·北京丰台·期中）下列说法正确的是 ． ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④平方根等于它本身的数是0和1． ★【题型 2】求一个数的平方根与立方根 【例题2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求x的值： (1)； (2) 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． ★【题型 3】已知一个数的平方根或立方根，求这个数 【例题4】（25-26八年级上·四川乐山·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是 ． 【变式2】（25-26八年级上·山西·月考）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． ★★【题型 4】利用平方根与立方根性质进行运算 【例题4】（23-24七年级下·新疆博尔塔拉·期中）化简或计算： (1)+ (2) 【变式1】（23-24七年级下·广东云浮·期中）计算： (1) (2) 【变式2】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）计算 (1) (2) 【变式3】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）计算： (1)； (2)． 【知识点二】实数的分类 有理数和无理数统称为实数. 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 ★【题型 5】实数的分类 【例题5】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A．1 B． C．1.7 D． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）下列各组数中都是无理数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在，，，，这几个数中，无理数有 个． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）在实数3.1259，，0.1020020002…（每两个2之间依次多一个0），0.1030030003，，，，，，中，无理数有个，有理数有个，非负实数有个，则 ． 【知识点三】实数与数轴上的点一一对应 实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. ★★【题型 6】实数与数轴 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，是的中点，线段，求点表示的数． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在数轴上，点A表示实数a，则下列各式中结果小于1的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10，若点对应的数是，则点对应的数是 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上，B，C两点关于点A对称，A，B两点所对应的实数分别是和1．求点C所对应的实数． 【知识点四】实数的三个非负性及性质 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. ★【题型 7】利用实数的非负性求值 【例题7】（2025九年级下·贵州·专题练习）若，求的值． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为 ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·月考）已知实数，，满足，求的值． 【知识点五】实数的运算 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. ★★【题型 8】实数的运算 【例题8】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东德州·期中） ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)； (2) (3)． 【知识点六】实数的大小比较 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. ★【题型 9】实数的大小比较 【例题9】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)和3． (2)与． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）比较大小：7 ．（填“”“”或“”） 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列实数近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）． 二.综合培优题型精析 ★★★【题型 10】与实数有关的新定义问题 【例题10】请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【变式1】（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）对于实数a，b，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． ★★★【题型 11】与实数有关的规律问题探究 【例题11】（22-23七年级下·四川南充·月考）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值∶① ；② ；③ ；④ ． 观察计算的结果，由发现的规律得出 (用含 的代数式表示)． 【变式3】（22-23八年级上·河南南阳·月考）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 三.中考真题 （一）选择题（6题） 1．（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 2．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 3．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 4．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 5．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 8．（2023·浙江宁波·中考真题）的立方根是 ． 9．（2025·浙江·中考真题）计算： ． 10．（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 11．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”） 12．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． （三）解答题（3题） 13．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 14．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 15．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $