精品解析：天津市武清区光明道中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年九年级（上）12月月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 拔苗助长 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 旭日东升 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类及应用，解题的关键是准确区分事件的确定性——必然发生、不可能发生或可能发生（随机）．根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一分析． 【详解】A. 拔苗助长：人为拔高禾苗导致其死亡，不能帮助生长，违背自然规律，属于不可能事件； B. 水中捞月：水中无法捞起月亮，属于不可能事件； C. 守株待兔：兔子撞树是偶然发生的，具有不确定性，符合随机事件的定义； D. 旭日东升：太阳东升是必然发生的自然现象，属于必然事件． 3. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 首先利用圆的半径相等得，利用三角形的内角和定理求得∠，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得，最后利用圆的内接四边形对角互补求得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，在中，，点D在斜边上，以为直径的经过边上的点E，连接，且平分，若的半径为3，，则线段的长为（　　） A. B. 8 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，证明，进而证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为3，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的图像和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴抛物线开口向下， 该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 该选项错误，不符合题意； C.由得， 对称轴为直线， 该选项正确，符合题意； D. 当时，， 该选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线为， 故选：D． 7. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2024 D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 根据列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】∵点在抛物线上， ∴，． ∵， ∴， 解得． 故m的取值范围为． 故选：B． 9. 如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是12，面积是24，则的半径是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 设与四边形的各边分别相切于点，连接，设的半径为，则，由，且四边形的周长是12，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与四边形的各边分别相切于点，连接，如图所示： ，、、， 设的半径为，则， ，且， ， 四边形的周长是12， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，根据题意易证明是等边三角形，则由等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 11. 边长为2的正四边形内接于，则该圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，理解正多边形的边长与其外接圆的关系是解题的关键；正四边形即正方形内接于圆时，其外接圆半径等于正方形对角线的一半． 【详解】解：正四边形的对角线长为，则圆的半径为； 故选：C． 12. 如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】解：由题意可得顶点，， 设该抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的解析式为， 令，则， 即， 故选：D． 二．填空题（第13题—第16题，每题3分，第17题—第18题，每题6分，满分24分） 13. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是______________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可. 【详解】在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果， 掷的点数大于4的概率为. 故答案为. 【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键. 14. 如图，把绕点A顺时针方向旋转，则点B旋转后的坐标是 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查图形的旋转，根据题意画出图形，读出点的坐标即可． 【详解】解：如图所示，绕点A顺时针方向旋转后的图形为， ∴点B旋转后的对应点是点， 故答案为： ． 15. 圆锥的底面积为，母线是，则这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式． 通过圆锥底面积求出底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：设圆锥底面半径为， 由底面积公式得， 解得（负值舍去）， 圆锥的母线长， 则侧面积为（）． 故答案为：． 16. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛28场，则参加此次比赛的球队数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解． 【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得： ， 化简，得 解得 (舍去)， 答：参加此次比赛的球队数是8队． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 17. 如图，四边形是边长为4的正方形，E是上一点，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，过点F作，垂足为点G． （1）_______； （2）若，则____． 【答案】 ①. ##45度 ②. ## 【解析】 【分析】（1）证明得到，，进而可得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结论； （2）延长交延长线于P，证明四边形是矩形得到，，，证明，，利用相似三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）延长交延长线于P， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均为格点，以A 为圆心，长为半径的圆交于点 E． （1）线段的长为__________． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P（点P，C 在 的两侧），使其满足，． 并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）． _______________________________________________________________________________________． 【答案】 ①. 5 ②. 以点A为圆心，长为半径作，以点E为圆心，长为半径作，两圆的交点，且与点 P在的右侧 【解析】 【分析】本题勾股定理与网格问题，两圆相交．掌握两圆的交点到两圆圆心的距离等于两圆半径是解题的关键． （1）先利用网格与勾股定理计算出长即可； （2）根据，则点P是在点A为圆心，长为半径的上；根据，则点P又在以点E为圆心，长为半径的上，所以点P是两圆的交点．据此 即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：5； （2）以点A为圆心，长为半径作，以点E为圆心，长为半径作，两圆的交点，且与点P分别在的右侧．如图， 故答案为：以点A为圆心，长为半径作，以点E为圆心，长为半径作，两圆的交点，且与点P分别在的右侧． 三．解答题（共7小题，满分60分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】题目主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 其中， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ， ， ∴，． 20. 新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，，是等垂弦，，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； （2）如图2，是的弦，作，，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦． 【答案】（1） 证明：∵是的等垂弦，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵是的等垂弦， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2） 证明：如图，设交于点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的等垂弦． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下五种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付，E．刷脸支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的． （1）小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为______________； （2）若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式即可解答； （2）先列表确定所有结果数和满足题意的结果数，然后再根据概率公式即可解答． 【小问1详解】 解：小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为； 【小问2详解】 列表如下： A B C D E A B C D E 由表知，共有25种等可能结果，其中甲、乙两人选择不同付款方式的结果有20种， ∴甲、乙两人选择不同付款方式的概率为． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．概率公式，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． （1）试判断和的大小关系，并说明理由； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1）， 理由如下：如图，连接， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，做出正确辅助线，熟练利用角度的转换得到是解题的关键． （1）连接，利用切线的性质可得，再根据角度的转换即可得到； （2）根据勾股定理求得的长，再利用垂径定理得到，解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直径， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ． 23. 我市某超市销售一种文具，进价为元/件．售价为元/件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按元的倍数上涨），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若当天销售利润为元，求当天销售单价； （3）若每件文具的利润不超过进价的，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）元或元 （3）每件文具售价为元时，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据当天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，直接写出与之间的函数关系式即可； （2）当时，得到关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先根据每件文具利润不超过进价的求出的取值范围，再将函数解析式配方成顶点式，继而利用二次函数的性质求解可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得： ， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，得：， 解得：，， ∴要使当天的销售利润为元，当天的售价为元或元； 【小问3详解】 解：∵每件文具利润不超过， ∴， 解得：， ∴文具的销售单价为， 由（1）得：， ∵对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，且随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 即每件文具售价为元时，最大利润为元． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，不等式的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，四边形与四边形均为矩形，，B，E，F均在x轴上，，点G的坐标为． （1）若矩形是由矩形沿x轴向右平移所得，则平移的距离是 个单位长度，点A对应点的坐标为 ； （2）若矩形与矩形关于某直线对称，则对称轴是 ，点A的对应点的坐标为 ； （3）若将矩形与矩形理解为关于点P中心对称，则点P的坐标为 ，点B的对应点的坐标为 ． 【答案】（1）3， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用及，求出点B的坐标后，结合点F的坐标计算即可求出平移距离及点A对应点的坐标． （2）根据轴对称的性质可得点F是点A的对称点，计算点F和点A的中间位置即可得到对称轴． （3）根据矩形的中心对称性质求解即可． 【小问1详解】 解：若矩形是由矩形沿x轴向右平移所得，则平移的距离为线段或的长度， ∵，B，E，F均在x轴上，，点G的坐标为， ∴，，， ∴，及平移距离为3，点A的对应点为E点，坐标为； 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：若矩形与矩形关于某直线对称，则点A的对称点为点F，由（1）得，对称轴为：； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：若将矩形与矩形理解为关于点P中心对称，则点B的对应点为点H，横坐标为：，坐标为：，对称中心为线段的中点，坐标为：即． 故答案为：， 【点睛】本题主要考查图形的平移变换，轴对称及中心对称，能够熟练根据变换的特征及性质找出对应点是解题关键． 25. 抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，点D为线段上的一个动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当的周长最小时，求点D的坐标； （3）连结，过点D作，与抛物线在第一象限的部分相交于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，求出，证明四边形为正方形，知，由对称性得，而A，D，E共线，可知此时的周长最小，求出直线的表达式为，直线解析式为；联立，即可解得； （3）设，求出直线的表达式为，由设直线表达式为，把代入可得直线的表达式为：，联立，可解得，故，由二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点， ∴把和代入 得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：作点O关于直线的对称点E，连接，如图1： 在中，令得， ∴， ∵， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，此时有最小值为的长， ∴此时的周长最小， 设直线的表达式为， 将代入 得：， 解得， ∴直线的表达式为， 同理，由可得直线解析式为 联立， 解得， ∴， 【小问3详解】 解：由已知点， 设 （如图2） 设直线的表达式为， 把代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为， 由设直线表达式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的表达式为：， 联立， 解得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点为． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）12月月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 拔苗助长 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 旭日东升 3. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点D在斜边上，以为直径的经过边上的点E，连接，且平分，若的半径为3，，则线段的长为（　　） A. B. 8 C. D. 6 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 6. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 7. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2024 D. 2023 8. 点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是12，面积是24，则的半径是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 10. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 11. 边长为2的正四边形内接于，则该圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 12. 如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（第13题—第16题，每题3分，第17题—第18题，每题6分，满分24分） 13. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是______________. 14. 如图，把绕点A顺时针方向旋转，则点B旋转后的坐标是 ___________ ． 15. 圆锥的底面积为，母线是，则这个圆锥的侧面积是__________． 16. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛28场，则参加此次比赛的球队数是______． 17. 如图，四边形是边长为4的正方形，E是上一点，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，过点F作，垂足为点G． （1）_______； （2）若，则____． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均为格点，以A 为圆心，长为半径的圆交于点 E． （1）线段的长为__________． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P（点P，C 在 的两侧），使其满足，． 并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）． _______________________________________________________________________________________． 三．解答题（共7小题，满分60分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，，是等垂弦，，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； （2）如图2，是的弦，作，，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦． 21. 随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下五种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付，E．刷脸支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的． （1）小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为______________； （2）若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率． 22. 如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． （1）试判断和的大小关系，并说明理由； （2）若的半径为2，，求的长． 23. 我市某超市销售一种文具，进价为元/件．售价为元/件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按元的倍数上涨），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若当天销售利润为元，求当天销售单价； （3）若每件文具的利润不超过进价的，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 24. 如图，四边形与四边形均为矩形，，B，E，F均在x轴上，，点G的坐标为． （1）若矩形是由矩形沿x轴向右平移所得，则平移的距离是 个单位长度，点A对应点的坐标为 ； （2）若矩形与矩形关于某直线对称，则对称轴是 ，点A的对应点的坐标为 ； （3）若将矩形与矩形理解为关于点P中心对称，则点P的坐标为 ，点B的对应点的坐标为 ． 25. 抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，点D为线段上的一个动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当的周长最小时，求点D的坐标； （3）连结，过点D作，与抛物线在第一象限的部分相交于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $