5.1.2 事件的运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦“事件的运算”核心知识点，系统梳理包含关系、交（积）、并（和）、互斥、差、对立事件的定义、含义及符号表示，构建从基础事件关系到复杂运算的学习支架，为概率计算奠定逻辑基础。 资料通过定义辨析、实例分析（如掷骰子、射击问题）培养数学抽象与逻辑推理核心素养，结合图形直观辅助理解，练习题与探究点结合，课中助力教师引导学生深化概念，课后帮助学生自主巩固，查漏补缺。

5.1.2　事件的运算 学习目标 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义，理解事件的关系和运算，培养数学抽象、逻辑推理核心素养. 2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念，提升数学抽象核心素养. 知识点　事件的运算 1.包含关系 定义 事件A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B，或B包含A 含义 A发生导致B发生 符号表示 A⊆B(或B⊇A) 图形表示 特殊情形 如果A⊆B且B⊆A，则称A与B等价，或称A与B相等，记作A＝B 2.事件的交(或事件的积) 定义 如果某事件发生当且仅当事件A与事件B同时发生，则称该事件为事件A与事件B的交(或积)，由属于事件A且属于事件B的所有样本点组成 含义 A与B同时发生 符号表示 A∩B(或AB) 图形表示 3.事件的并(或事件的和) 定义 如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称该事件为事件A与事件B的并(或和)，由至少属于事件A或B之一的样本点组成 含义 A与B至少一个发生 符号表示 A∪B或(A＋B) 图形表示 4.互斥(互不相容) 定义 如果事件A∩B为不可能事件，即A∩B＝⌀，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 含义 A与B不能同时发生 符号表示 A∩B＝⌀ 图形表示 推广 如果事件A1，A2，…，An中任意两个都互斥，则称它们两两互斥 5.事件的差 定义 如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生，则称该事件为事件A与B的差 含义 A发生且B不发生 符号表示 A\B 图形表示 学生用书⬇第132页 6.对立事件 定义 如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的对立事件 含义 A不发生 符号表示 Ω\A(或) 图形表示 [点拨]　对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B对立，则A，B一定互斥，且A∪B是必然事件；若事件A，B互斥，则A，B不一定对立. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.(　　) (2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.(　　) (3)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.(　　) (4)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　) A.A⊆B B.A∩B＝{出现的点数为2} C.事件A与B互斥 D.事件A与B是对立事件 答案：B 解析：由题意知，事件A表示出现的点数是1或2或3 ；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}. 3.袋内红、白、黑球分别为3 个、2 个、1 个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　) A.至少有一个白球；红、黑球各1 个 B.至少有一个白球；至少有一个红球 C.恰有一个白球；一个白球一个黑球 D.至少有一个白球；都是白球 答案：A 解析：至少有一个白球与红、黑球各1个是互斥事件但不是对立事件. 4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件取出的是理科书可记为　　　　. 答案：B∪D∪E 解析：由题意可知，事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E. 探究点一　事件关系的判断 (1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　) A.两次都中靶 B.至少有一次中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 (2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　) A.恰有一次击中 B.三次都没击中 C.三次都击中 D.至多击中一次 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”. (2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”. 判断事件间关系的方法 1.要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的. 2.考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析. 对点练1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　) A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.非互斥事件 D.以上都不对 答案：A 解析：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件. 学生用书⬇第133页 探究点二　事件的运算 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题： (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件. 解：(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3. 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5. 且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1. (2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6). 同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5. 事件运算应注意的2个问题 1.进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. 2.在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理. 对点练2.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件： (1)甲未中靶； (2)甲中靶而乙未中靶； (3)三人中只有丙未中靶； (4)三人中至少有一人中靶； (5)三人中恰有两人中靶. 解：(1)甲未中靶：. (2)甲中靶而乙未中靶：A∩，即A. (3)三人中只有丙未中靶：A∩B∩，即AB. (4)三人中至少有一人中靶. (5)三人中恰有两人中靶(AB)∪(AC)∪(BC). 探究点三　互斥事件与对立事件 (1)同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为(　　) A.一个是5点，另一个是6点 B.一个是5点，另一个是4点 C.至少有一个是5点或6点 D.至多有一个是5点或6点 (2)(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有(　　) A.2个小球不全为红球 B.2个小球恰有1个红球 C.2个小球至少有1个红球 D.2个小球都为绿球 答案：(1)C　(2)BD 解析：(1)同时抛掷两枚均匀的骰子，“都不是5点且都不是6点”的对立事件是“至少有一个是5点或6点”，故选C. (2)口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，对于A，事件“2个小球不全为红球”与事件“2个小球都为红色”是对立事件，故A错误；对于B，事件“2个小球恰有1个红球”与事件“2个小球都为红色”是互斥而不对立的事件，故B正确；对于C，事件“2个小球至少有1个红球”与事件“2个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，事件“2个小球都为绿球”与事件“2个小球都为红色”是互斥而不对立的事件，故D正确.故选BD. 学生用书⬇第134页 辨析互斥事件与对立事件的思路 1.从发生的角度看 (1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生； (2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例. 2.从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件. 对点练3.(1)某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是(　　) A.至少有一次中靶 B.三次都不中靶 C.恰有两次中靶 D.至少两次中靶 (2)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为　　　　　　　　. 答案：(1)C　(2)② 解析：(1)至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，至少有一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；三次都不中靶包含于至多有一次中靶，故不是互斥事件，B错误；恰有两次中靶，与至多有一次中靶不可能同时发生，但不对立，属于互斥不对立事件，C正确；至少两次中靶与至多有一次中靶为对立事件，故D错误.故选C. (2)①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件. 1.从1，2，3，…，9中任取两个数，给出下列各组事件： ①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”； ②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”； ③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”； ④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”. 其中是对立事件的是(　　) A.① B.②④ C.③ D.①③ 答案：C 解析：从1，2，3，…，9中任取两数，有以下三种情况： (1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.故选C. 2.打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示(　　) A.全部击中 B.至少击中1发 C.至少击中2发 D.全部未击中 答案：B 解析：A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B. 3.抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是　　　　.(填序号) ①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②B⊆C；③A与C是互斥事件；④A＝D. 答案：①②④ 解析：试验的样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，根据题意，A＝{4，5，6}，B＝{1，2}，C＝{1，2，3，4}，D＝{4，5，6}. 因为A∩B＝⌀，A∪B＝{1，2，4，5，6}≠Ω，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，①正确； 因为B＝{1，2}，C＝{1，2，3，4}，所以B⊆C，②正确； 因为A∩C＝{4}，所以A与C不是互斥事件，③错误； 因为A＝{4，5，6}，D＝{4，5，6}，所以A＝D，④正确. 4.在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”. (1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B； (2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件； (3)试用事件Aj表示随机事件A. 解：由题意可知试验E的样本空间为 Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}. (1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}. 因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，即B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}. 所以A∩B＝，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}. (2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}. 因为A∩B＝{(1，5)}≠∅，A∩C＝{(1，4)}≠∅，B∩C＝∅，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件. (3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6. 学科网（北京）股份有限公司 $