1.4.1 向量分解及坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

1.4　向量的分解与坐标表示 1.4.1　向量分解及坐标表示 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义， 提升数学抽象核心素养. 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，提升数学运算与逻辑推理等核心素养. 知识点一　平面向量基本定理 　设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数. (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定，也就是： 如果v＝xe1＋ye2＝x'e1＋y'e2，则x＝x'，y＝y'. 我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标，记为v＝(x，y). [点拨]　基也称作基底，作为基底的向量为非零的，且任何两个不共线的两个向量都可以作为基底.判 学生用书⬇第14页 定两个向量是否可以作为基底的方法：假设这两个向量共线，若存在λ倍关系，那么两个向量共线不能作为基底，反之假设不成立，这两个向量可以作为基底. 知识点二　平面向量的正交分解与坐标表示 设单位向量e1，e2的夹角＜e1，e2＞＝90°，非零向量v的模｜v｜＝r且＜e1，v＞＝α，则v＝(rcos α，rsin α). [点拨]　标准正交基{i，j}满足i⊥j，｜i｜＝｜j｜＝1. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基.(　　) (2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.(　　) (3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.(　　) (4)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(多选)若e1，e2是平面内的一组基，则下列四组向量不能作为平面向量的基的是(　　) A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－e2 C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1－e2 答案：ABC　 解析：对于A，e1－e2＝－(e2－e1)，即e1－e2与e2－e1共线，不能作为基，A正确；对于B，2e1－e2＝2(e1－e2)，即2e1－e2与e1－e2共线，不能作为基，B正确；对于C，2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，即2e2－3e1与6e1－4e2共线，不能作为基，C正确；而D中两个向量不共线，可作为基.故选ABC. 3.若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以{a，b}为基表示＝(　　) A.(a－b) B.(a＋b) C.(b－a) D.b＋a 答案：B 解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝，即－＝－，从而＝＋)＝(a＋b). 4.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为　　　　. 答案： 解析：由题意，得＝＋)，又＝＝－，所以＝(－＋2)＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝. 探究点一　对平面向量基本定理的理解 若e1，e2是平面α内所有向量的一组基，那么下列命题正确的是(　　) A.若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B.空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C.对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内 D.对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 答案：A　 解析：由基的定义可知，e1和e2是平面上不共线的两个向量，所以若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0，故A正确；平面内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2的形式，此时实数λ1，λ2有且只有一对，注意是平面内而不是空间，B，D错误；对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2一定在平面之内，故C错误；选A. 对基的理解 1.两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基，反之，则可作基. 2.一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 对点练1.(多选)设e1，e2是平面内所有向量的一个基，则下列四组向量中，可以作为基的是(　　 ) A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.6e1＋3e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2 答案：AD 解析：对于A，e1＋e2和e1－e2不共线，可以作为一个基；对于B，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， 所以6e1－8e2与3e1－4e2共线，不能作为基；对于C，6e1＋3e2＝3(2e1＋e2)与2e1＋e2共线，不能作为基；对于D，e1和e1＋e2不共线，可以作为一个基.故选AD. 学生用书⬇第15页 对点练2.设向量e1，e2是平面内的一组基，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　) A. B.－ C.－3 D.3 答案：B 解析：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2).故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.故选B. 探究点二　用一组基表示向量 如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G.若＝a，＝b， (1)试用a，b表示向量，； (2)试用a，b表示. 解：(1)＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋＝－＋＋ ＝b－a. (2)由平面几何的知识可知＝， 故＝＋＝＋ ＝a＋ ＝a＋b－a ＝a＋b. 用一组基表示向量的依据和两个“模型” 1.依据 (2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则； (1)向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义. 2.模型 对点练3.如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b. (1)试用a，b表示，； (2)取EF的中点为H，用a，b表示. 解：(1)因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以＝＝a，＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. (2)＝－＝－ ＝－－，因为＝b－a， 所以＝－b＋a－b＝a－b. 探究点三　平面向量基本定理的综合应用 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 解：设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2， 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2， 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得 所以＝，＝， 所以AP∶PM＝4，BP∶PN＝. 用向量解决平面几何问题的一般步骤 1.选取不共线的两个平面向量作为基； 2.将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； 3.利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； 4.再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 学生用书⬇第16页 对点练4.如图，在平行四边形ABCD中，F是边CD的中点，AF与BD交于点E，用向量方法证明：E为线段BD的三等分点. 证明：设＝a，＝b，则＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a. 因为点A，E，F与点B，D，E分别共线， 所以存在实数λ，μ，使＝λ，＝μ， 于是＝a＋λb，＝μb－μa. 由于＋＝，所以(1－μ)a＋μb＝a＋λb. 因为a与b不共线， 所以解得λ＝μ＝， 所以＝，所以点E为线段BD的三等分点. 探究点四　平面向量的坐标表示 已知O是坐标原点，点A在第一象限，｜｜＝4，∠xOA＝60°. (1)求向量的坐标； (2)若B(，－1)，求的坐标. 解：(1)设点A(x，y)， 则x＝｜｜cos 60°＝4cos 60°＝2. y＝｜｜sin 60°＝4sin 60°＝6， 即A(2，6)，所以＝(2，6). (2)设标准正交基{i，j}，＝－＝2i＋6j－i＋j＝i＋7j. 所以的坐标为(，7). 求点和向量坐标的常用方法 1.求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标. 2.求一个向量的坐标时，可以首先设出单位正交基，然后用单位正交基表示转化为单位正交基的运算，最后得出向量的坐标. 对点练5.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形.求向量a，b的坐标. 解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2， AM＝OA·sin 45°＝4×＝2. 所以A(2，2)，故a＝(2，2). 因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， 所以∠COy＝30°. 又因为OC＝AB＝3，所以C， 所以＝＝，即b＝. 探究点五　利用平面向量基本定理求参数的值 如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为　　　　　　　. 答案： 解析：由题意知，＝＋＝＋m＝＋m(－)＝m＋(1－m).又＝，所以＝，所以＝m＋(1－m).又＝t＋，所以解得m＝，t＝. 　　做题过程中，把握平面向量基本定理中的唯一性，若c＝x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 对点练6.在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝　　　　. 答案： 解析：如图，因为D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点，所以＝＋＝＋＝＋＋)＝＋.又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. 探究点六　平面向量基本定理在平面几何中的应用 已知点P是△ABC所在平面内的一点，若＝＋，则＝　　　　. 答案： 解析：如图，设F为AB的中点，D为AF的中点，E为AC的中点，则＝＋，所以＝＋)＋＋)，整理得＋＋2＝0.又＋＝2，所以＝－，所以PF＝PC.所以S△APC＝S△APF.又S△APF＝SAPB，所以＝. 对点练7.已知点M是△ABC所在平面内的一点，若满足6－－2＝0，且S△ABC＝λS△ABM，则实数λ的值是　　　　. 答案：3 解析：如图，延长AC到点D，使得C是AD的中点，则条件可化为＋＝6，记6＝，则四边形ABED是平行四边形.因为6＝，所以S△ABC＝S△ABD＝S△ABE＝×6S△ABM＝3S△ABM，故λ＝3. 学生用书⬇第17页 1.已知D，E分别是△ABC的边BC和AC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.b－a C.2b－a D.3b－2a 答案：D　 解析：因为D，E分别是△ABC的边BC和AC的中点， 所以＝＋＝2－＝2(－)－＝－2＝3－2＝3b－2a. 故选D. 2.在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案：B　 解析：因为＝，＝a，＝b，所以＝a＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b. 3.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且｜a｜＝2，｜b｜＝3，则a的坐标为　　　　，b的坐标为　　　　. 答案：(，)　(－，) 解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)，因为｜a｜＝2，且∠AOx＝45°，所以x＝2cos 45°＝，y＝2sin 45°＝.又｜b｜＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，所以x0＝3cos 120°＝－，y0＝3sin 120°＝， 故a＝＝(，)，b＝＝(－，). 4.如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P. (1)用和分别表示和； (2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值； (3)确定点P在边BC上的位置. 解：(1)由＝， 可得＝＋＝－＋， 因为＝， 所以＝＋＝－＋. (2)将＝－＋，＝－＋ 代入＝＋λ＝＋μ， 则有＋λ(－＋)＝＋μ(－＋)， 即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)， 所以 (3)设＝m，＝n， 由(2)知＝＋， 因为＝－， 所以n＝m＋， 所以n＋n＝m(－)＋ ＝(1－m)＋m 因为不共线， 所以 所以＝，即＝2， 所以点P是BC的三等分点且靠近点C处. 学科网（北京）股份有限公司 $