专题 8.3 实数及其简单运算（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.3 实数及其简单运算（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】无理数 1 【题型 1】无理数的识别 1 【题型 2】无理数的估算与整数部分计算 3 【知识点二】实数及其分类 6 【题型 3】无理数的分类 6 【知识点三】实数的性质 8 【题型 4】实数的性质 8 【题型 5】实数与数轴 10 【题型 6】实数的大小比较 13 【题型 7】实数的混合运算 15 【题型 8】实数与规律问题 17 【题型 9】实数与程序问题 21 【题型 10】实数与新定义问题 24 二.中考真题 27 （一）选择题（6题） 27 （二）填空题（6题） 30 （三）解答题（2题） 32 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】无理数 （1）定义：无限不循环小数叫作无理数，无限不循环小数都不是有理数. （2）无理数类型：含根号且开不尽方的数；含π的数，即式子化简后还有π，就是无理数；有规律但不循环的数 【题型 1】无理数的识别 【例题1】（25-26八年级上·四川成都·期末）下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．3.1415 D．0 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有 个． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）无理数的产生是数学史上的一个重要里程碑．下列四个数中属无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期末）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是 ． 【题型 2】无理数的估算与整数部分计算 【例题2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知的算术平方根是的立方根是． (1)求，的值； (2)是的整数部分，求的平方根． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）估计的值在哪两个整数之间（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为 ． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【知识点二】实数及其分类 （1）定义：有理数和无理数统称实数. （2）实数的分类 按定义分类： 按性质分类： 【题型 3】无理数的分类 【例题3】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【变式1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）在实数，（每两个1之间依次多一个0）中，是有理数的是（     ） A． B． C． D．（每两个1之间依次多一个0） 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数： ；分数： ；无理数： ． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图为一台实数筛选机，若输入的是：①，②，③0.66，④0，⑤，⑥，⑦，请你将筛选的结果的序号写在下面的横线上． 【知识点三】实数的性质 （1）实数的相反数是 （2）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即： 【题型 4】实数的性质 【例题4】（23-24七年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，化简． 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）的相反数是_________，的倒数是_________，的立方根是__________． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）的倒数是_______； （2）相反数和绝对值都为的实数是_______； （3）的相反数是_______，绝对值是_______，倒数是_______． 【题型 5】实数与数轴 【例题5】（25-26七年级上·浙江金华·期末）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． (1)如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长． (2)请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如图所示，实数，，在数轴上的对应点分别为，，．若，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ． 【变式3】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【题型 6】实数的大小比较 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：和． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【题型 7】实数的混合运算 【例题7】（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【变式1】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）计算结果为（） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【变式3】（25-26七年级上·广西桂林·月考）计算： (1)； (2)． 【题型 8】实数与规律问题 【例题8】（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【变式1】（24-25九年级上·福建莆田·月考）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【题型 9】实数与程序问题 【例题9】（25-26八年级上·河南濮阳·月考）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【题型 10】实数与新定义问题 【例题10】（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 【变式1】（25-26七年级上·山东临沂·期末）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）对于任意两个不相等且乘积为非负的实数，，定义一种新运算：．如，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·北京延庆·期末）对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 二.中考真题 （一）选择题（6题） 1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 4．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 5．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 8．（2024·四川广安·中考真题） ． 9．（2022·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是 ． 10．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）写出一个比小的整数： ． 11．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 12．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． （三）解答题（2题） 13．（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：     （2）解方程： 14．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.3 实数及其简单运算（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】无理数 1 【题型 1】无理数的识别 2 【题型 2】无理数的估算与整数部分计算 3 【知识点二】实数及其分类 6 【题型 3】无理数的分类 6 【知识点三】实数的性质 8 【题型 4】实数的性质 8 【题型 5】实数与数轴 10 【题型 6】实数的大小比较 13 【题型 7】实数的混合运算 15 【题型 8】实数与规律问题 17 【题型 9】实数与程序问题 22 【题型 10】实数与新定义问题 24 二.中考真题 28 （一）选择题（6题） 28 （二）填空题（6题） 30 （三）解答题（2题） 32 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】无理数 （1）定义：无限不循环小数叫作无理数，无限不循环小数都不是有理数. （2）无理数类型：含根号且开不尽方的数；含π的数，即式子化简后还有π，就是无理数；有规律但不循环的数 【题型 1】无理数的识别 【例题1】（25-26八年级上·四川成都·期末）下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．3.1415 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 解：A、，是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、，是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意； C、3.1415是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； D、0，是整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据定义识别常见无理数是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，逐一判断每个数是否为无理数． 解：是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 是循环小数，是有理数； π是无理数； 是分数，是有理数； 是无理数； 0.313113…（每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 故无理数有个． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）无理数的产生是数学史上的一个重要里程碑．下列四个数中属无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的定义，算术平方根，需依据无理数（无限不循环小数）与有理数（整数、分数，含有限小数、无限循环小数）的概念，对各选项逐一判断． A．3.14是有限小数，属于有理数； B．是分数，属于有理数； C．，2是整数，属于有理数； D．是无限不循环小数，属于无理数． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期末）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，由于有理数仅出现在被开方数为完全平方数的项，通过计算前2025个数中有理数的个数为45个，可得第2026个无理数对应的被开方数． 解：， 当（为正整数）时，为有理数， ，，，， 第个无理数是，第个无理数是． 故答案为：． 【题型 2】无理数的估算与整数部分计算 【例题2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知的算术平方根是的立方根是． (1)求，的值； (2)是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、无理数的估算，关键是灵活应用知识点解题；根据立方根的定义、算术平方根的定义求出，接着估算出的范围，从而求出的值，最后根据平方根的定义即可求出答案． （1）解：的算术平方根是 ， ∴即：， 的立方根是， ∴， 即， ∴； （2）解：， ∴ ， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的平方根是． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）估计的值在哪两个整数之间（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，关键在于找到被开方数相邻的两个完全平方数，再确定的范围． 解：∵， ∴， 即， ∴的值在4和5之间． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，无理数的估算．根据算术平方根的定义和无理数的估算，先求出a和b的值，再计算代数式的值，最后求平方根，即可作答． 解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵， ∴ ∵b是的整数部分， ∴， 则， ∴16的平方根是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的定义以及无理数的估算，解题关键是根据算术平方根、立方根的定义求出，通过估算无理数确定，再结合平方根定义求解． （1）根据算术平方根定义，由得，解得；根据立方根定义，；估算，因为，所以． （2）将代入中求出结果36，再求其平方根即可． （1）解：的算术平方根是， ， ， 是的立方根， ， ， ， 的整数部分为， 是的整数部分， ， 综上所述：． （2）， 的平方根是， 的平方根是． 【知识点二】实数及其分类 （1）定义：有理数和无理数统称实数. （2）实数的分类 按定义分类： 按性质分类： 【题型 3】无理数的分类 【例题3】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． （1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 【变式1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）在实数，（每两个1之间依次多一个0）中，是有理数的是（     ） A． B． C． D．（每两个1之间依次多一个0） 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，求一个数的立方根，依据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，包含有限小数、无限循环小数，或可化为整数/分数的数），逐一判断各选项中的数是否为有理数． 解：∵，是整数，整数属于有理数． 又∵是含π的无限不循环小数，属于无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；（每两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数． ∴只有是有理数， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数： ；分数： ；无理数： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关概念是解题的关键，正整数是大于零的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数．根据实数的分类即可解答． 解：是正整数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是整数，不是正整数； 是有限小数，是分数； ，是正整数； 是分数； （每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数， 故答案为：正整数：；分数：；无理数：． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图为一台实数筛选机，若输入的是：①，②，③0.66，④0，⑤，⑥，⑦，请你将筛选的结果的序号写在下面的横线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查实数的分类，立方根，先化简，再根据实数的分类进行作答即可． 解：； 整数行，输出为：①④⑦； 分数行，输出为：③⑥； 无理数行，输出为：②⑤． 【知识点三】实数的性质 （1）实数的相反数是 （2）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即： 【题型 4】实数的性质 【例题4】（23-24七年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，化简． 【答案】 【分析】根据实数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，判断出的符号，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行化简即可求解． 解：∵ ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了实数的性质，整式的加减，化简绝对值，判断出的符号是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 解：， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）的相反数是_________，的倒数是_________，的立方根是__________． 【答案】， ， 【分析】本题主要考查了相反数的性质，倒数的性质和立方根的性质，准确计算是解题的关键． 根据相反数的性质、倒数的性质和立方根的性质求解即可； 解：的相反数是； 的倒数是； 的立方根是； 故答案是：, , ． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）的倒数是_______； （2）相反数和绝对值都为的实数是_______； （3）的相反数是_______，绝对值是_______，倒数是_______． 【答案】（1）；（2）；（3），， 【分析】此题考查了实数的性质，立方根，求实数的相反数，绝对值及倒数，正确理解各定义是解题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可； 解：（1）的倒数是， 故答案为：； （2）的相反数是， 的绝对值是， 故相反数和绝对值都为的实数是， 故答案为：； （3）， 故的相反数是，绝对值是，倒数是， 故答案为：，，． 【题型 5】实数与数轴 【例题5】（25-26七年级上·浙江金华·期末）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． (1)如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长． (2)请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】(1)阴影正方形的面积为，它的边长为 (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴； （1）根据大正方形的面积减去4个小三角形的面积，即可求得阴影正方形的面积，根据算术平方根求得它的边长； （2）先得出边长为的小正方形的对角线长为，再在数轴上构造边长为的正方形，即可求解． （1）解：阴影正方形的面积为 它的边长为； （2）解：如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ∴大正方形的面积为，则小正方形的对角线长为， 如图，画边长为的正方形，则边长为的小正方形的对角线长为， ∴点即为所求， 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如图所示，实数，，在数轴上的对应点分别为，，．若，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴、绝对值等知识，解题的关键是理解题意． 根据数轴上点的位置关系以及可知与互为相反数，再结合的值和求出的值，进而得到的值． 解：∵，且从数轴上可知，， ∴与互为相反数，即， ∵，，且， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离，先求出甲的右端与数轴上表示的点重合，乙的左端与数轴上表示的点重合，进而求出距离即可得出结论． 解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为15， ∴甲的右端与数轴上表示的点重合， ∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为13， ∴乙的左端与数轴上表示的点重合， ∴纸条重叠部分的长度为， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数与数轴的知识，包括：数轴上两点距离为两点表示的数之差(右减左)；点向左平移时数减对应单位，向右平移时坐标加对应单位；两点关于某点对称时，该点到两点的距离相等． （1）通过数轴上两点距离公式计算长度； （2）根据平移规律列方程求点的数； （3）通过设未知数，利用线段长相等列方程求解表示点的数． （1）解：∵点表示，点表示， ∴线段的长为； （2）解：∵点向左平移个单位长度后与点重合，即数减小4与相等， ∴点表示的数为； （3）解：设点对应的实数为， ∵点、点关于点对称， ∴，即， 解得，即点对应的实数为1． 【题型 6】实数的大小比较 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：和． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解题的关键； 运用作差法，判断两数之差的结果是否大于0． 解：． ，，且， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 通过计算或比较每个选项的数值或表达式，判断其正确性即可． 解：A、，，且， ， ， ，故该选项说法错误，不符合题意； B、∵ > ， ∴ ， ∴ ，该选项说法正确，符合题意； C、，，且， ，故该选项说法错误，不符合题意； D、∵ ， ∴ ，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较、算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据平方、算术平方根和绝对值的非负性，三个非负数的和为0，则每个数都为0，求出a，b，c的值，再比较大小即可． 解：∵，，，且， ∴ ，，， ∴ ，，， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． （1）使用作差法，计算两数之差，通过判断差的正负来比较大小； （2）使用作差法，计算两数之差，若差为正，则被减数大于减数． （1）解：， ． （2）解：， ． 【题型 7】实数的混合运算 【例题7】（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，关键是掌握立方根和算术平方根的性质：负数的立方根是负数，正数的立方根是正数． （1）先分别化简每个立方根、算术平方根，再将各结果进行有理数的加减运算； （2）先化简立方根、算术平方根和乘方项，再通过加法交换律和结合律简便计算有理数的和． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）计算结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，实数的加减，掌握知识点是解题的关键． 原式为多个绝对值之和，每个绝对值均为两个连续平方根之差．由于平方根函数单调递增，每个绝对值可化简为后一个平方根减前一个平方根，形成望远镜求和，中间项相互抵消，最终结果为最后一个平方根减去第一个平方根． 解： =， ． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的运算，掌握先分别计算平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、立方根和绝对值，再进行实数加减运算． 解：，，， 所以原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·广西桂林·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键． （1）根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据求一个数的算术平方根与立方根进行计算即可求解． （1）解：； （2）解： ． 【题型 8】实数与规律问题 【例题8】（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． （1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 【变式1】（24-25九年级上·福建莆田·月考）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律，由，，，，得出，然后求出，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵ ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． ①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，用有序数对表示位置，求一个数的算术平方根解题关键是根据“蛇形”排列规则推导出第m排第n个数所对应的自然数序号． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． （1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 【题型 9】实数与程序问题 【例题9】（25-26八年级上·河南濮阳·月考）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． （1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，程序设计与实数运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 依据算术平方根的定义，即可解答． 解：取的算术平方根，结果为． 是有理数， ∴再取算术平方根，结果为，是无理数， 故． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． （1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 【题型 10】实数与新定义问题 【例题10】（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 【答案】(1)0 (2)5 (3)是关于7的对称数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，实数的运算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，根据x、y都是有理数，得到，据此求出x、y的值，进而计算与的值，再根据定义判断即可． （1）解：∵与8是关于4的对称数， ∴， 解得； （2）解：∵与是关于的对称数， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是有理数， ∴都是有理数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与是关于7的对称数． 【变式1】（25-26七年级上·山东临沂·期末）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解.根据差倒数写出，得到规律即可得到答案． 解：由题意可得，，，，， ∴个数一循环， ， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）对于任意两个不相等且乘积为非负的实数，，定义一种新运算：．如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的新定义运算，掌握题意，列出算式，准确计算是关键． 根据新运算的定义，将 ， 代入公式 ，计算即可． 解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·北京延庆·期末）对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，估算无理数的大小，理解符号表示不大于的最大整数是解题的关键． （1）先求出，，再根据符号表示不大于的最大整数求解即可； （2）先根据符号表示不大于的最大整数求出的取值范围，再求解即可； （3）根据数轴上两点间距离求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答． （1）解：∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴； ∵， ∴， ∵符号表示不大于的最大整数， ∴； （2）∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴， ∴； （3）∵点，表示的数分别为和， ∴． ∵点表示的数为，点表示的数为，由数轴可知点在点的左边， ∴． ∵点是的中点， ∴， ， ， ， ∴点表示的数为． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 二.中考真题 （一）选择题（6题） 1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 解：实数的绝对值是， 故选：A． 3．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 4．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 5．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 6．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 解：根据数轴得， ∴， 故选：D． （二）填空题（6题） 7．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（2024·四川广安·中考真题） ． 【答案】0 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，再计算减法运算即可. 解：， 故答案为： 9．（2022·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是 ． 【答案】2或3 【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可． ∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3， 故答案为：2或3 【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键． 10．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）写出一个比小的整数： ． 【答案】2 【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可求解． 解：∵23， ∴比小的整数可以是2，答案不唯一． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的估算，其中“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 11．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 12．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （三）解答题（2题） 13．（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：     （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）先开方，去绝对值，再进行加减运算即可； （2）去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可． 解：（1）原式； （2）去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：． 14．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $